Trong phần bài tập giao cho lớp K51A1T có bài tập liên quan đến hàm suy rộng kiểu như sau:
Để hiểu hàm suy rộng kiểu này ta cần hiểu phép chia hàm Dirac cho hàm là như nào?
Một cách tổng quát ta sẽ xem xét bài toán sau:
Cho hàm và hàm suy rộng
Tìm hàm suy rộng thỏa mãn phương trình
Trong bài này, ta chỉ xét hàm là đa thức với hệ số thực!
Bài toán trên liên quan đến việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng.
Cụ thể như sau, tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng:
với là toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp
với hệ số
là các hằng số.
Biến đổi Fourier hai vế của phương trình vi phân trên:
với là đa thức!
Quay trở lại bài toán chia của hàm suy rộng, giả sử là đa thức một biến cấp
với hệ số thực. Ta có thể viết nó dưới dạng
trong đó, là các số nguyên không âm thỏa mãn
là các số thực phân biệt,
là các số dương phân biệt.
Khi đó hàm là hàm khả vi vô hạn tăng chậm, nghĩa là nó khả vi vô hạn và với mỗi
đạo hàm cấp
của nó thỏa mãn bất đẳng thức
với mọi
và
là các hằng số dương.
Lúc đó nếu hàm suy rộng là nghiệm của phương trình
thì nghiệm của phương trình sẽ là
Bằng cách phủ bằng các khoảng
và tập mở
sao cho
không chứa tất cả các điểm
còn
đôi một rời nhau và mỗi
chỉ chứa đúng một điểm
rồi xây dựng phân hoạch đơn vị
cho phủ mở đó ta có:
Ta chuyển bài toán về từng lân cận
+ trong lân cận không chứa điểm
nào nên hàm
là hàm khả vi vô hạn trên
nên trên
+ trong lân cận chỉ chứa một điểm
nên hàm
là hàm khả vi vô hạn trên
nên trên
nếu
là nghiệm của phương trình
thì
Để giải phương trình trước hết ta giải bài toán khi
Giả sử là nghiệm của bài toán thì với mỗi
có
Lưu ý rằng khi
nằm trong lân cận đủ nhỏ của
nên có một ánh xạ tuyến tính liên tục
sao cho:
Khi đó
nên có dạng
với
là các hằng số phức.
Dễ dàng kiểm tra lại
Như vậy hai nghiệm của phương trình khác nhau một số hạng dạng
Chú ý rằng nên phương trình
có một nghiệm như sau
Vậy phương trình có nghiệm dạng
Tổng hợp lại nghiệm của phương trình có nghiệm
Trở lại việc hiểu thế nào là hàm suy rộng
Đây chính là nghiệm của phương trình
Theo cách như trên với :
với và
là hàm cố định sao cho
trong một lân cận đủ nhỏ của
Khi đó ta có
nên với
là hằng số phức.






Phản hồi gần đây