Đề thi – Đáp án đề thi cuối kỳ lớp K53A1T

Đã đăng Tháng Một 16, 2012 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Đề thi

HSR1

Tôi đã chấm xong bài thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng cho lớp K53A1T.

Nhìn chung điểm nằm trong khoảng từ 3 đến 6.

Có hai điểm 10 (trên 10), một điểm 9,5.

Comments: 2 phản hồi

Từ hàm lũy thừa đến hàm mũ

Đã đăng Tháng Một 10, 2012 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Tham khảo

Trên một trường số hay trên một đại số (chẳng hạn trường số thực \mathbb R, phức \mathbb C, đại số các ma trận vuông thực hay phức, đại số các toán tử bị chặn trên không gian Banach thực hay phức) một trong các cách xây dựng hàm mũ là như sau:

+) với phép nhân (không nhất thiết giao hoán, như trong đại số các ma trận) ta định nghĩa được hàm lũy thừa:

x^n=x*x*\dots *x, (n lần)

+) với phép cộng ta định nghĩa được đa thức, tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm lũy thừa, trong đó có dạng đặc biệt:

S_n(x)=1+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{x^k}{k!},

+) qua phép lấy giới hạn ta thu được hàm mũ:

e^x=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x).

Việc chuyển qua giới hạn cho ta sự khác biệt về độ tăng ở vô cùng giữa hàm lũy thừa và hàm mũ:

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0 với mọi n\in\mathbb N cố định.

Điều này thể hiện khá rõ trong các bài viết

“Hàm e^x và e^{1/x}”

và

“Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier”.

Trong bài “Hàm e^x và e^{1/x}” có hai sự kiện:

+ thứ nhất

-) S_{-}\lim\limits_{n\to\infty} n^{-k}\rho(x-n) không tồn tại với mọi k\in \mathbb N cố định,

-) S_{-}\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\rho(x-n)=0,

+ thứ hai

-) \mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty} n^{-k}\rho(2n(x-1/n)) không tồn tại với mọi k\in \mathbb N cố định,

-) \mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\rho(2n(x-1/n))=0.

Còn trong bài “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier” thể hiện

chuỗi Fourier

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n e^{inx}

hội tụ trong  S^{,}(\mathbb R)

khi và chỉ khi

c_n=O(|n|^K) với K là số thực nào đó, nghĩa là

có một số dương C và số thực K để

|c_n|\le C|n|^K với mọi n\in \mathbb Z.

Điều này tương đương với:

chuỗi

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n \delta(x-n)

hội tụ trong  S^{,}(\mathbb R)

khi và chỉ khi

c_n=O(|n|^K) với K là số thực nào đó.

Sự kiện này nói rằng tốc độ tăng của |c_n| cỡ đa thức (thấp hơn cỡ mũ)! Điều này cũng thể hiện ở tên gọi của S^{,}: “hàm suy rộng tăng chậm”.

Để chứng minh sự kiện này có một cách sử dụng sự kiện thứ nhất trong bài “Hàm e^x và e^{1/x}”.

Một sự kiện khác cũng liên quan đến sự chuyển biến từ hàm lũy thừa sang hàm mũ. Sự kiện này liên quan đến hàm khả vi vô hạn. Như đã biết hàm f: \mathbb R \to \mathbb R khả vi vô hạn thì ta có thể lập chuỗi Taylor, chẳng hạn tại x=0:

\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.\;\;\;(1)

Tuy nhiên, có hai câu hỏi đặt ra:

+) chuỗi Taylor (1) có hội tụ không?

+) chuỗi Taylor (1) hội tụ thì có hội tụ đến hàm f (dĩ nhiên tính ngoài điểm x=0)?

Hàm f được gọi là giải tích tại x=0 nếu chuỗi Taylor (1) hội tụ đến hàm f trong một lân cận của điểm 0.

Hàm f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} khi x\not=0 và f(0)=0 là hàm khả vi vô hạn và không giải tích tại x=0.

Hàm này liên quan đến nhiều sự kiện, chẳng hạn hàm khả vi vô hạn có giá compact. Tuy nhiên, dưới đây tôi muốn nói đến sự kiện khác:

“Tính giải được địa phương của toán tử vi phân”.

Ta quan tâm đến toán tử vi phân trong \mathbb R^n

P(x, D)=\sum\limits_{|\alpha|\le m} a_\alpha(x)D^\alpha, m\in\mathbb N.

Toán tử vi phân P(x, D) được gọi là giải được địa phương tại x_0\in\mathbb R^n nếu có một tập mở \Omega\subset\mathbb R^n chứa x_0 để

với bất kỳ hàm f\in C^\infty_0(\Omega) đều có hàm suy rộng u\in\mathcal D^{,}(\Omega) sao cho

P(x, D)u=f theo nghĩa suy rộng trong \Omega.

Toán tử vi phân với hệ số hằng là toán tử giải được địa phương.

Toán tử vi phân elliptic cũng giải được địa phương.

Năm 1956, Hans Lewy tìm thấy toán tử đầu tiên không giải được địa phương trong \mathbb R^3

L=\partial_{x_1}+i\partial_{x_2}+i(x_1+ix_2)\partial_{x_3}.

Lars Hormander tìm ra điều kiện cần cho tính giải được địa phương:

Nếu P(x, D) giải được địa phương tại x_0

thì với mọi \xi\in\mathbb R\setminus\{0\} thỏa mãn

P(x_0, \xi)=0 ta có C(x, \xi)=[P(x_0, \xi), \overline{P}(x_0, \xi)]=0,

trong đó

[P(x_0, \xi), \overline{P}(x_0, \xi)]=P(x_0, \xi) \overline{P}(x_0, \xi)-\overline{P}(x_0, \xi) P(x_0, \xi).

Các bạn thử kiểm tra điều kiện cần của Hormander cho toán tử Lewy.

Toán tử đơn giản nhất không giải được địa phương là toán tử Mizohata trong mặt phẳng \mathbb R^2

L_1=\partial_{x_1}+ix_1\partial_{x_2}

không thỏa mãn điều kiện cần của Hormander tại các điểm trên đường thẳng x_1=0.

Lưu ý hệ số của các toán tử trên đều là đa thức.

Louis Nirenberg và Francois Treves tiếp tục quan sát toán tử trong mặt phẳng

L_k=\partial_{x_1}+ix_1^k\partial_{x_2}.

Khi k>1 điều kiện cần của Hormander không còn hiệu nghiệm.

Cùng với cách nhìn của Hormander nhưng tinh tế hơn, Nirenberg và Treves tách toán tử thành hai phần thực và ảo:

A=Re L_k=\partial_{x_1}, B=Im L_k=x_1^k\partial_{x_2}.

Tiếp đến xét chuỗi các toán tử:

C_1=[A, B], C_{p+1}=[A, C_p].

Bạn đọc tính toán lại xem có phải

C_p(x, \xi)=\dfrac{k!}{(k-p)!}x_1^{k-p}(i\xi_2) khi p\le k,

C_p(x, \xi)=0 khi p>k.

Đặt k_0(x, \xi) là số k bé nhất để

C_k(x, \xi)\not=0.

Từ đó rút ra:

+) k_0(x, \xi)=k là số chẵn (kể cả 0) thì L_k (trường hợp elliptic) giải được địa phương,

+) k_0(x, \xi)=k là số lẻ thì L_k không giải được địa phương.

Cách làm này cũng bị mắc khi Nirenberg và Treves xem xét toán tử

\partial_{x_1}+ie^{-\frac{1}{x_1^2}}\partial_{x_2}.

Vướng mắc này giúp hai ông đưa ra giả thuyết về tính giải được địa phương Nirenberg-Treves.

Bạn đọc có thể xem chi tiết hơn ở bài báo sau của Francois Treves

Treves_Local Solvability_PDEs

Comments: Be the first to comment

Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier

Đã đăng Tháng Một 2, 2012 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Tham khảo

Hàm số f \in C(\mathbb R ;\mathbb C) được gọi là hàm tuần hoàn chu kỳ T>0 nếu

f(x+T)=f(x). \forall x\in\mathbb R.

Khi đó, hàm f có chuỗi Fourier tương ứng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z} f_k e^{\frac{2\pi i kx}{T}},

trong đó f_k=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-\frac{2\pi i kx}{T}}dx (được gọi là hệ số Fourier).

Chuỗi Fourier này sẽ hội tụ điểm đến hàm f khi hàm đủ tốt! (Nói đủ tốt ở đây là cần thiết vì nếu chỉ liên tục thì Paul du Bois Reymond đã chỉ ra phản ví dụ vào năm 1873. Vào những năm 1920 Nikolai Luzin đã đưa ra giả thuyết rằng chuỗi Fourier sẽ hội tụ hầu khắp nơi. Gần nửa thế kỷ sau, năm 1966, Lennart Carleson mới chứng minh được giả thuyết này. Bạn đọc có thể tham khảo thêm ở trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_Fourier_series.)

Hàm số có biến là số thực, hàm suy rộng có biến là hàm số. Ở đây nảy sinh câu hỏi:

thế nào là hàm suy rộng tuần hoàn?

Trước hết, ta hình dung lại hàm tuần hoàn qua cách hiểu hình ảnh:

hàm tuần hoàn chu kỳ T là hàm mà đồ thị của nó không thay đổi khi ta dịch chuyển nó một véc-tơ song song với trục hoành có độ dài T.

Để định nghĩa hàm suy rộng tuần hoàn ta trước hết định nghĩa phép dịch chuyển (như trong cuốn “Generalized functions” của R. P. Kanwal).

Cho hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) và số thực y. Ta định nghĩa phép dịch chuyển

T_y: \mathcal D^{,}(\mathbb R)\to \mathcal D^{,}(\mathbb R)

như sau:

\langle T_yf(x), \varphi(x)\rangle=\langle f(x), T_y\varphi(x)\rangle, T_{-y}\varphi(x)=\varphi(x+y).

Nếu f là hàm thông thường thì nó cũng được hiểu là hàm suy rộng, một cách tự nhiên, bởi công thức tích phân. Khi đó phép dịch chuyển T_yf(x) cho ta một hàm suy rộng mà về bản chất nó cũng là hàm thông thường

T_yf(x)=f(x-y).

Nếu f=\delta (hàm Dirac) thì qua phép dịch chuyển T_y có hàm suy rộng

\langle T_y\delta(x), \varphi(x)\rangle=\langle \delta(x), \varphi(x+y)\rangle=\varphi(y)

được ký hiệu \delta(x-y) hay \delta_y.

Phép dịch chuyển T_y là một đẳng cấu (tuyến tính+liên tục) trên \mathcal D^{,}(\mathbb R) với nghịch đảo T_{-y}. Hơn nữa \{T_y\}_{y\in\mathbb R} lập thành một nhóm nhân

với phép nhân là phép hợp thành

T_yT_z=T_{y+z},

với đơn vị

T_0=Id.

Bây giờ ta có thể định nghĩa hàm suy rộng f có chu kỳ p>0 như sau:

T_pf=f theo nghĩa suy rộng

nghĩa là

\langle f(x), \varphi(x+p)\rangle=\langle f(x), \varphi(x)\rangle.

Từ tính chất nhóm của các toán tử dịch chuyển \{T_y\}_{y\in\mathbb R}:

nếu có p>q để T_pf=T_qf

thì T_{q-p}f=f hay f là hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ (q-p).

Hàm thông thường tuần hoàn khi được hiểu theo nghĩa suy rộng cũng là hàm tuần hoàn theo nghĩa suy rộng. Chẳng hạn các hàm e^{imx} hay hàm suy rộng dạng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z} c_k e^{i k x} với c_k=O(|k|^N), với N nào đó, khi |k|\to\infty.

Dưới đây tôi sẽ chỉ ra rằng bất kỳ hàm suy rộng có chu kỳ 2\pi đều có dạng trên.

Hàm Dirac \delta(x) là hàm suy rộng không tuần hoàn vì nói chung với \varphi\in\mathcal D(\mathbb R) ta không có

\varphi(y)=\varphi(0) với y cố định.

Tuy nhiên ta lại có mối quan hệ mật thiết giữa hàm tuần hoàn và hàm Dirac qua phép biến đổi Fourier. Cụ thể như sau

\mathcal F \delta_y(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\langle \delta_y(x), e^{-ix\xi}\rangle=(2\pi)^{-1/2}e^{-iy\xi},

\mathcal F^{-1} \delta_y(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\langle \delta_y(x), e^{ix\xi}\rangle=(2\pi)^{-1/2}e^{iy\xi},

nên

\mathcal F (e^{iyx})(\xi)=(2\pi)^{1/2} \delta_y(\xi).

Vấn đề tiếp theo là định nghĩa chuỗi Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ p. Ta vấp phải vài khó khăn:

-) thế nào là \int\limits_0^p f(x)e^{-\frac{2\pi i kx}{p}}dx?

-) trong khi ta chỉ có \langle f, \varphi\rangle (có thể hiểu \int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi(x)dx),

-) và \varphi(x) có giá compact còn e^{-\frac{2\pi i kx}{p}} có giá là toàn bộ đường thẳng \mathbb R.

Lưu ý f là hàm suy rộng tuần hoàn nên ta có thể chuyển “tích phân” trên toàn đường thẳng \mathbb R thành tổng của đếm được các tích phân trên cùng một chu kỳ bằng cách phân rã đường thẳng thành các chu kỳ con rồi tổng hợp lại. Như vậy, ta cẩn một phân hoạch đặc biệt. Tôi dùng phân hoạch như trong cách trình bày của M. J. Lighthill (trang 69 cuốn “Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions”). Bạn đọc có thể lấy cuốn sách theo đường link

http://ifile.it/2slwzu

Bạn đọc cũng có thể tìm thấy phân hoạch này trong Luận văn Thạc sỹ của Phạm Vân Hà

(http://datuan5pdes.wordpress.com/2011/03/16/lu%E1%BA%ADn-van-cao-h%E1%BB%8Dc-c%E1%BB%A7a-ph%E1%BA%A1m-van-ha/).

Để đơn giản ký hiệu ta giả sử hàm suy rộng f tuần hoàn với chu kỳ 2\pi. Khi đó ta sử dụng phân hoạch đơn vị như trong luận văn của Phạm Vân Hà:

\{((n2\pi, (n+2)2\pi), \chi(x+n2\pi))\}_{n\in\mathbb Z}

nghĩa là:

+) \chi\in C_0^\infty(\mathbb R; [0,1]),

+) supp\chi\subset[-2\pi, 2\pi],

+) \sum\limits_{n\in\mathbb Z}\chi(x+n2\pi)=1, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó, nếu f\in C(\mathbb R) tuần hoàn chu kỳ 2\pi thì hệ số Fourier của nó

f_k=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)e^{-i kx}dx

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)\chi(x+n2\pi)e^{-i kx}dx

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{n2\pi}^{(n+1)2\pi}f(y-n2\pi)\chi(y)e^{-i k(y-n2\pi)}dy (đổi biến y=x+n2\pi)

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{n2\pi}^{(n+1)2\pi}f(y)\chi(y)e^{-i ky}dy (các hàm f(x), e^{-i kx} tuần hoàn chu kỳ 2\pi)

=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(y)\chi(y)e^{-i ky}dy

=\dfrac{1}{2\pi}\langle f(x), \chi(x)e^{-i kx}\rangle.

Lưu ý, lúc này

\chi(x)e^{-i kx}\in C_0^\infty(\mathbb R), supp \chi(x)e^{-i kx}\subset [-2\pi, 2\pi]

và

\chi(x)f(x)\in\mathcal E^{,}(\mathbb R), supp \chi(x)f(x)\subset [-2\pi, 2\pi].

Lúc này ta có thể định nghĩa chuỗi Fourier cho hàm suy rộng tuần hoàn f với chu kỳ 2\pi như sau

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}

với hệ số Fourier

f_k=(2\pi)^{-1}\langle f(x), \chi(x)e^{-i kx}\rangle=(2\pi)^{-1}\langle \chi(x)f(x), e^{-ikx}\rangle=

=(2\pi)^{-1/2}\mathcal F(\chi f)(k).

Nếu f\in C(\mathbb R) thì từ đẳng thức Paserval có

chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\mathcal F(\chi f)(k) e^{ikx}

hội tụ đến f trong L^2(0, 2\pi).

Từ đó, do tính tuần hoàn sự hội tụ trên dẫn đến hội tụ trong \mathcal D^{,}(\mathbb R). Bạn đọc tự làm chi tiết nhé!

Trong trường hợp f là hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ 2\pi ta cũng có

chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}

hội tụ đến f trong \mathcal D^{,}(\mathbb R),

nghĩa là

\lim\limits_{M\to+\infty\atop N\to+\infty}\langle \sum\limits_{k=-N}^M f_ke^{i kx}, \varphi\rangle=\langle f, \varphi\rangle, \forall \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R).

Chứng minh chi tiết điều này bạn đọc có thể xem trong cuốn sách của Lighthill mà tôi giới thiệu ở trên (hay dùng gợi ý: sử dụng đẳng thức Poisson). Trong cuốn sách cũng chứng minh hệ số f_k=O(|k|^N), với N nào đó, khi |k|\to\infty.

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ 2\pi là

(2\pi)^{1/2}\sum\limits_{k\in\mathbb Z} f_k \delta_{k}(\xi)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\mathcal F(\chi f)(k)\delta(\xi-k).

Comments: 1 phản hồi

Hàm e^x và e^{1/x}

Đã đăng Tháng Mười Hai 19, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Bài tập

Ngày 16/12/2011, bạn Thảo (K53A1T) đã đưa ra lời giải đáp cho bài

e^x \not\in S^{,}(\mathbb R).

Bạn đã dùng ra dãy

\varphi_n(x)=e^{-n}\rho(x-n).

Dãy trên có tính chất:

+) S_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n=0,

+) \langle e^x, \varphi_n\rangle=\int\limits_{-1}^1 e^x \rho(x)dx=C>0 (không phụ thuộc n).

Dãy \{\varphi_n\}_{n=1}^\infty được xác định như trên khác so với    dãy \{\psi_n\}_{n=1}^\infty được xây dựng trong phản hồi trả lời thắc mắc của bạn Trường ở trang

http://datuan5pdes.wordpress.com/2011/09/06/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-l%E1%BB%9Bp-k53a1t/

Sự khác biệt nằm ở hệ số e^{-n} và n^{-1}. Bạn đọc thử tự đưa ra giải thích chi tiết.

Một bài kiểu như trên cũng được ra cho lớp K53A1T:

không có hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) nào để

f=e^{1/x} khi x\not=0

hay

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{1/x}\varphi(x)dx, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R), 0\not\in supp\varphi

cũng được giải kiểu như bài trên.

Cụ thể ta chọn dãy như sau:

\phi_n(x)=e^{-n/2}\rho(2n(x-1/n)).

Bạn đọc thử tự chứng minh

+) \mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\phi_n=0,

+) \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{1/(2n)}^{3/(2n)}e^{1/x}e^{-n/2}\rho(2n(x-1/n))dx=+\infty.

Cũng giống bài trước nếu chỉ dùng hệ số n^{-1} thì

\mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty}n^{-1}\rho(2n(x-1/n))\not=0.

Các bạn thử giải thích chi tiết xem.

Comments: Be the first to comment

Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản

Đã đăng Tháng Mười Hai 5, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Tham khảo

Trong giáo trình cho sinh viên năm thứ 4 ngành Toán, tôi mới đưa ra khái niệm hội tụ trong các không gian hàm mà chưa đưa ra khái niệm tô-pô trong đó. Để đưa ra khái niệm này ta chỉ cần đưa ra cơ sở các tập mở chứa gốc 0, từ đó lấy giao hữu hạn hay hợp vô hạn các tập này ta được tất cả các tập mở chứa gốc và dùng phép dịch chuyển ta được tất cả các tập mở.

Đầu tiên ta xây dựng cơ sở các tập mở cho không gian hàm cơ bản \mathcal D(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n.

Ta phân tích

\Omega=\cup_{k=0}^\infty \Omega_k

trong đó, \Omega_k\subset\overline{\Omega}_k\subset\Omega_{k+1}\subset\Omega, \Omega_0=\emptyset, \Omega_k là các tập mở bị chặn.

Chẳng hạn khi \Omega=\mathbb R^n thì

\Omega_k=B_k(0)=\{x\in\mathbb R^n|\; ||x||<k\} là các hình cầu mở tâm tại gốc bán kính k.

Hoặc khi \Omega=(0, 1) thì

\Omega_k=(\dfrac{1}{k+2}, \dfrac{k+1}{k+2}).

Với mỗi cặp dãy \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty thỏa mãn:

+) \epsilon_k giảm dần về 0,

+) m_k tăng dần ra +\infty,

ta đặt V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty) là tập các hàm \varphi\in\mathcal D(\Omega) thỏa mãn

|D^\alpha\varphi(x)|\le \epsilon_k, \forall x\not\in\Omega_k, |\alpha|< m_k.

Tập các V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty) với các cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty khác nhau lập thành cơ sở lân cận tại gốc của \mathcal D(\Omega).

Khi đó \mathcal D_{-}\lim\limits_{l\to\infty}\varphi_l=0 nếu

với mỗi cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty đều có l_0 để

\varphi_l\in V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty), \forall l\ge l_0

hay

|D^\alpha\varphi_l(x)|\le \epsilon_k, \forall x\not\in\Omega_k, |\alpha|< m_k, \forall k, \forall l\ge l_0.

Việc chứng minh định nghĩa về sự hội tụ trên tương đương với định nghĩa trong giáo trình, cụ thể:

-) có một tập compact K để supp\varphi_l\subset K, \forall l,

-) \lim\limits_{l\to\infty}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha\varphi_l(x)|=0, \forall \alpha\in\mathbb Z^n_+

xin được dành cho bạn đọc.

Lúc này có thể nói thế nào là tập bị chặn trong \mathcal D(\Omega).

Trước hết, một cách tổng quát, tập B trong không gian véc-tơ tô-pô X,

với cơ sở tập mở là các tập V_j, j\in J,

là tập bị chặn nếu với mỗi j\in J có một số dương \lambda_j để

B\subset \lambda_j V_j.

Tập B\subset \mathcal D(\Omega) là tập bị chặn nếu

với mỗi cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty đều có số dương \lambda để

B\subset \lambda V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty).

Ta cũng có cách định nghĩa khác tương đương như  sau.

Tập B\subset \mathcal D(\Omega) là tập bị chặn nếu

-) có một tập compact K\subset \Omega để

supp\varphi\subset K, \forall \varphi\in B,

-) có một dãy số dương, tăng \{M_0, M_1, \dots, M_k, \dots\} để

\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha\varphi(x)|\le M_k, \forall |\alpha|\le k.

Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều, hình cầu đóng không là tập compact nên tập bị chặn nói chung không compact tương đối. Với không gian \mathcal D(\Omega) lại khác. Từ Định lý Azela – Ascoli, tập bị chặn trong \mathcal D(\Omega) là tập compact tương đối.

Bạn đọc thử tự xây dựng cơ sở tập mở và tập bị chặn cho các không gian \mathcal E(\Omega), S(\Omega).

Comments: Be the first to comment

Đề thi giữa kỳ môn Hàm suy rộng Lớp K53A1T

Đã đăng Tháng Mười Một 9, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Đề thi

kiemtragiuakyK53N1_2

kiemtragiuakyK53N3_4

Tôi đã chấm xong bài thi của lớp K53A1T.

Nhìn chung điểm dải từ 2 đến 8. Duy nhất có một bài của cậu Phạm Văn Thắng được 10 điểm.

Comments: 3 phản hồi

Thông báo thời gian thi giữa kỳ lớp K53A1T

Đã đăng Tháng Mười Một 2, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Thông báo

Lớp K53A1T sẽ thi giữa kỳ môn Hàm suy rộng

từ 13h00 đến 13h50

thứ Ba, ngày 08/11/2011

tại phòng 104T4.

Vậy tôi nhờ lớp trưởng lớp K53A1T thông báo giúp tôi về thời gian thi.

ĐATuấn

Comments: 2 phản hồi

Số không Liouville – Hai tính chất thú vị

Đã đăng Tháng Mười Một 2, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Tham khảo

Năm 1884, Joseph Liouville, là người đầu tiên, đưa ra một lớp các số siêu việt mà sau này chúng ta gọi là số Liouville. Số siêu việt là số không đại số. Số đại số là gì các bạn có thể xem

http://bomongiaitich.wordpress.com/2011/10/26/s%E1%BB%91-vo-t%E1%BB%B7-s%E1%BB%91-d%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-s%E1%BB%91-sieu-vi%E1%BB%87t/

Nếu số vô tỷ \alpha là số đại số thì Liouville đã chứng tỏ một kết quả sâu sắc:

có một số tự nhiên n, có một số dương A để với bất kỳ các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{A}{q^n}.

Liouville xây dựng lớp số Liouville là các số thực \alpha thỏa mãn

với bất kỳ số tự nhiên n đều có các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{q^n}.

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh số

\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!}

là số Liouville.

Số Liouville không phải số đại số. Tuy nhiên số không Liouville vẫn có thể là số siêu việt!

Bạn đọc có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

Trong phần tiếp theo tôi không cố gắng tìm số siêu việt không là số Liouville mà tôi đưa ra một số tính chất thú vị của số không Liouville.

Số thực \alpha là không Liouville nếu

có một số tự nhiên n, có một số dương A để với bất kỳ các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{A}{q^n}.\;\;(1)

Trong trường hợp \alpha là số vô tỷ thì n\ge 2.

Tính chất thứ nhất:

Số vô tỷ \alpha là số không Liouville khi và chỉ khi

có hai số dương L, M sao cho với mọi số nguyên p, q(|p|+|q|>0)

|q\alpha -p|>\dfrac{L}{(p^2+q^2)^M}. \;\;(2)

Trước hết ta CM điều kiện cần, nghĩa là giả sử có (1) và phải CM (2).

Với p, q\in\mathbb Z, q>1, từ (1) ta có

|q\alpha -p|>\dfrac{A}{q^{n-1}}\ge \dfrac{A}{(p^2+q^2)^{(n-1)/2}}.

Với p, q\in\mathbb Z, q<-1, thì với \bar{p}=-p, \bar{q}=-q, từ (1) ta có

|q\alpha -p|=|\bar{q}\alpha-\bar{p}|>\dfrac{A}{q^{n-1}}\ge \dfrac{A}{(p^2+q^2)^{(n-1)/2}}.

Với q=\pm 1, p\in\mathbb Z có

|q\alpha-p|=|\alpha \pm p|=C> \dfrac{C}{2(p^2+1)^{(n-1)/2}}

với C=\min\{\{\alpha\}, \{-\alpha\}\}.

Với q=0, p\in\mathbb Z\setminus\{0\} có

|q\alpha-p|=|p|>\dfrac{1}{2}|\ge \dfrac{1}{2|p|^{n-1}}.

Chọn M=\dfrac{n-1}{2}, L=\min\{A, C/2, 1/2\} ta có (2).

Ta chứng minh nốt điều kiện đủ: nghĩa là giả sử có (2) ta cần chứng minh (1).

Với p, q\in \mathbb Z, q>1 thỏa mãn

|q\alpha-p|\le 1

thì

p^2+q^2\le Cq^2 với C=1+(1+|\alpha|)^2.

Khi đó, từ (2) có

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{L}{q(p^2+q^2)^M}\ge \dfrac{L}{C^M q^{2M+1}}.

Với p, q\in \mathbb Z, q>1 thỏa mãn

|q\alpha-p|>1

thì

|\alpha-\dfrac{p}{q}|>\dfrac{1}{q}\ge \dfrac{1}{q^{2M+1}}.

Chọn A=\min\{1, \dfrac{L}{C^M}\}, n=[2M]+2 ta có (1).

Từ tính chất (2), S. J. Greenfield & N. R. Wallach đã dẫn đến điều kiện cần và đủ cho tính hypoelliptic của toán tử vi phân trên xuyến \mathbb T^2

P_\alpha(D)=D_1-\alpha D_2, trong đó \alpha là số vô tỷ,

D_j=i^{-1}\dfrac{\partial}{\partial \theta_j}, j=1, 2, (\theta_1, \theta_2)\in \mathbb T^2,

là \alpha không Liouville.

Ta thử xem tính hypoelliptic ở đây là gì?

Có lẽ nó bắt nguồn từ tính chất của toán tử elliptic:

Cho P(D) là toán tử vi phân elliptic trên xuyến \mathbb T^2, f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2). Khi đó, nếu Pf\in C^\infty(\mathbb T^2) thì f\in C^\infty(\mathbb T^2).

Với \alpha là số phức với phần ảo khác không ta có toán tử P_\alpha là elliptic cấp 1, nghĩa là

có một hằng số C>0 sao cho với bất kỳ (p, q)\in\mathbb Z^2, |p|+|q|\not=0,

|P_\alpha(p, q)|\ge C(|p|^2+|q|^2)^{1/2}.

Người ta đã lấy tính chất trên của toán tử elliptic làm định nghĩa cho khái niệm hypoelliptic. Cụ thể như sau.

Toán tử vi phân P(D) trên xuyến \mathbb T^2 được gọi là hypoelliptic nều

với f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2), Pf\in C^\infty(\mathbb T^2) suy ra f\in C^\infty(\mathbb T^2).

Để chứng minh kết quả thú vị:

“Toán tử vi phân P_\alpha(D), \alpha là số vô tỷ, là hypoelliptic

khi và chỉ khi

\alpha là số không Liouville.”

S. J. Greenfield & N. R. Wallach, trong bài báo

Greenfield1

sử dụng hai kết quả sau

-) Cho f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2). Khi đó, f\in C^\infty(\mathbb T^2) khi và chỉ khi

với mỗi số nguyên k đều có số dương C_k để

\sum\limits_{|p|+|q|>0}\hat{T}(p, q)(|p|^2+|q|^2)^k<C_k.

-) Toán tử vi phân P(D) trên xuyến \mathbb T^2 là hypoelliptic khi và chỉ khi

có các số dương L, M để

|P(p, q)|>\frac{L}{(|p|^2+|q|^2)^M} khi p, q\in\mathbb Z, |p|, |q| đủ lớn.

Sau này, A. A. Himonas và một số nhà Toán học khác phát triển tiếp lên cho trường hợp nhiều chiều, và toán tử vi phân với hệ số biến thiên. Bạn đọc có thể tham khảo bài báo sau của Himonas

Himonas1

Kết quả liên quan đến tính hypoelliptic tôi được biết đến nhờ Luận văn Cao học dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Minh Trí, Viện Toán học.

Tính chất 1 của số vô tỷ không Liouville liên quan đến tính hypoelliptic của toán tử vi phân trên xuyến. Tính chất 2 của số vô tỷ không Liouville lại liên quan đến ideal sinh bởi hai hàm nguyên (hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức) đặc biệt trong vành M các hàm nguyên thỏa mãn:

|f(z)|\le C(1+|z|)^b e^{b|\Im z|}, \;\forall z\in\mathbb C,

trong đó C, b là các hằng số dương nào đó.

Vành M, theo Định lý Paley – Wiener – Schwartz, chính là ảnh của \mathcal E(\mathbb R) qua phép biến đổi Fourier.

Vậy tính chất 2 cụ thể là gì?

Tính chất 2:

Số vô tỷ \alpha là số không Liouville

khi và chỉ khi

có các số dương C, d (d\ge 2) sao cho với mọi số nguyên khác không k:

|1-e^{-2i\pi k\alpha}|^{-1}\le C|k|^{d-1}.\;\;(3)

Chứng minh tính chất này người ta dựa vào bất đẳng thức cơ bản sau:

4||x||\le |1-e^{-2i\pi x}|\le 2\pi||x||, \forall x\in\mathbb R,

trong đó ||x||=\min\{\{x\}, \{-x\}\} (khoảng cách từ x đến số nguyên gần nhất).

(Bạn đọc thử tự chứng minh với gợi ý: |1-e^{-2i\pi x}|=2\sin(\pi||x||), 0\le ||x||\le 1/2 và hàm \dfrac{\sin x}{x} là hàm liên tục, khác 0 trên [0, \pi/2].)

Ta CM điều kiện cần trước: nghĩa là giả sử có (1), cần chứng minh (3).

Lấy k\in\mathbb Z\setminus\{0\}.

TH1: k>1, từ (1) có

|k\alpha - p|>\dfrac{A}{k^{n-1}}, \forall p\in\mathbb Z

nên

||k\alpha||>\dfrac{A}{k^{n-1}}.

TH2: k<-1 ta đặt \bar{k}=-k, từ TH1 ta cũng có

||k\alpha||>\dfrac{A}{k^{n-1}}.

TH3: k=\pm 1 có

|k\alpha-p|=|\alpha-p|\ge C_1 |k|^{-n+1}, \forall p\in\mathbb Z

trong đó C_1=||\alpha||.

Do đó

||k\alpha||>\dfrac{1}{C_1k^{n-1}}.

Từ

|1-e^{-2i\pi k \alpha}|\ge 4 ||k\alpha||

và kết quả của các TH trên ta chọn d=n, C=\max\{\dfrac{1}{4A}, \dfrac{C_1}{4}\} ta có (3).

Ta CM điều kiện đủ: giả sử có (3), ta CM (1).

Điều này khá hiển nhiên dựa vào

|1-e^{-2i\pi q \alpha}|\le 2\pi ||q\alpha||\le 2\pi |q\alpha -p|, \forall p, q\in\mathbb Z (q>1).

Từ tính chất (3), E. K. Petersen & G. H. Meisters đã đưa ra kết quả thú vị, trong bài báo

Meisters1

như sau.

Với a, b\in\mathbb R\setminus\{0\}, đặt

f_a(z)=\dfrac{1-e^{-2i\pi az}}{2i\pi z}, f_b(z)=\dfrac{1-e^{-2i\pi bz}}{2i\pi z}

là các hàm nguyên thuộc vành M.

Khi đó ideal sinh bởi f_a, f_b trùng với M

khi và chỉ khi

\dfrac{a}{b} là số vô tỷ, không Liouville.

Để có kết quả này, E. K. Petersen & G. H. Meisters đã sử dụng kết quả sau của L. Hormander:

Ideal sinh bởi f_a, f_b trùng với M

khi và chỉ khi

có các số dương c, \lambda để với mọi số phức z

|f_a(z)|+|f_b(z)|\ge c(1+|z|)^{-\lambda}e^{-\lambda |\Im z|}.

Comments: Be the first to comment

Thông báo thi giữa kỳ K53A1T

Đã đăng Tháng Mười 25, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Thông báo

Tôi đã thông báo trên lớp sẽ tổ chức thi giữa kỳ môn Hàm suy rộng cho lớp K53A1T vào ngày 08/11/2011.

Nội dung thi gồm:

- các bài tập tính toán và bài tập lý thuyết về các không gian \mathcal D, \mathcal D^{,}, \mathcal E, \mathcal E^{,};

- đặc biệt các bài kiểm tra hàm suy rộng, tính giá, tính cấp, tính đạo hàm suy rộng, tính nguyên hàm suy rộng, kiểm tra sự hội tụ.

Thời gian thi 50 phút.

Tôi quên chưa hỏi lớp:

Tách ra làm hai nhóm thi vào hai giờ khác nhau

hay thi cùng lúc nhưng với vài ba đề thi khác nhau?

Trong trường hợp tách ra làm hai nhóm thi hai giờ khác nhau thì tôi nhờ lớp trưởng lớp K53A1T chia nhóm giúp tôi. Thời gian thi cụ thể:

Nhóm 1: 13h00- 13h50, ngày 08/11/2011,

Nhóm 2: 14h00-14h50, ngày 08/11/2011.

Trong trường hợp thi cùng một lúc thì thời gian thi cụ thể:

13h00- 13h50, ngày 08/11/2011.

ĐATuấn

 

TB. Tuần sau, ngày 01/11/2011, tôi sẽ chữa bài tập và dùng để lấy điểm thường xuyên. Rất mong các bạn tích cực làm bài và chữa bài. Đặc biệt các bạn học lại.

Comments: 4 phản hồi

Cấu trúc địa phương của hàm suy rộng

Đã đăng Tháng Mười 6, 2011 bởi datuan5pdes
Chuyên mục: Tham khảo

Trong phần giới thiệu về nguồn gốc hàm suy rộng, hàm Dirac là một ví dụ điển hình và cũng là một trong những lý do chính để các nhà Toán học đưa ra khái niệm hàm suy rộng. Một trong những cách hàm Dirac xuất hiện là “đạo hàm” hàm Heavisde (hàm số được định nghĩa tại từng điểm)! Trong phần tiếp của bài này tôi sẽ chỉ ra đây chính là cách tạo ra bất kỳ hàm suy rộng nào, một cách địa phương! Cụ thể, bất kỳ một hàm suy rộng nào, trên từng tập compact, nó đều được sinh ra bằng cách đạo hàm suy rộng một số hữu hạn lần hàm thông thường!

Để đỡ phức tạp, tôi chỉ đưa ra chứng minh cho trường hợp một chiều. Chứng minh trong trường hợp nhiều chiều bạn đọc có thể tham khảo cuốn sách

“Methods of the Theory of Generalized Functions” của V. S. Vladimirov (trang 35).

Đường link
http://www.box.net/shared/84znrjg2o9a1s1zjrbf1

Trong trường hợp một chiều ta có thể phát biểu một cách khác:

Trên từng compact, sau khi lấy nguyên hàm suy rộng một số hữu hạn lần một hàm suy rộng ta sẽ thu được hàm thông thường!

Ta đi vào chứng minh chi tiết. Lấy f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R), R>0. Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng có một hàm g\in L^\infty (-R, R) sao cho sau khi đạo hàm suy rộng một số hữu hạn lần hàm g ta được hàm f. Một số hữu hạn lần ở đây không gì khác chính là cấp của hàm suy rộng f trên đoạn [-R, R] cộng với 1. Bạn đọc có thể thấy khá rõ kết quả này từ hàm Dirac.

Như đã biết trên mỗi đoạn [-R, R], hàm suy rộng f có cấp hữu hạn, ký hiệu m. Khi đó

|\langle f, \varphi\rangle|\le C\sum\limits_{j=0}^m \sup\limits_{x\in[-R, R]}|D^j\varphi(x)|\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(1)

Với hàm \varphi\in \mathcal D(-R, R), hàm khả vi vô hạn xác định trên \mathbb R, có giá nằm trong (-R, R), ta có bất đẳng thức Poincare:

\sup_{x\in (-R, R)}|\varphi(x)|\le 2R\sup_{x\in (-R, R)}|D\varphi(x)|.

Bất đẳng thức này được chứng minh dễ dàng từ đẳng thức:

\varphi(x)=\int\limits_{-\infty}^x D\varphi(t)dt

và lưu ý supp D\varphi\subset supp\varphi\subset (-R, R).

Cứ như vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức

|\langle f, \varphi\rangle|\le C \sup\limits_{x\in[-R, R]}|D^m\varphi(x)|\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(2)

Cũng tương tự như cách chứng minh bất đẳng thức Poincare, từ (2) ta có:

|\langle f, \varphi\rangle|\le C \int\limits_{-R}^R|D^{m+1}\varphi(x)|dx\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(3)

Ký hiệu U_m=\{D^{m+1}\varphi|\; \varphi\in \mathcal D(-R, R)\}=D^{m+1} \mathcal D(-R, R) là không gian tuyến tính con của không gian L^1(-R, R).

Khi đó, từ (3), áp dụng Định lý Hahn – Banach (xem http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem), ta có thể thác triển ánh xạ:

\psi(x)=(-1)^{m+1}D^{m+1}\varphi(x)\in U_m\mapsto \langle f, \varphi\rangle\in\mathbb C

thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục f^{*}: L^1(-R, R)\to\mathbb C.

Khi đó  theo Định lý biểu diễn F. Riesz, sẽ có một hàm g\in L^\infty(-R, R) để

f^{*}(\psi)=\int_{-R}^R g(x)\psi(x)dx, \;\forall \psi\in L^1(-R, R).

Khi đó, với \psi=D^{m+1}\varphi\in U_m, \varphi\in \mathcal D(-R, R), ta có

\langle f, \varphi\rangle=f^{*}(\psi)=(-1)^{m+1}\int_{-R}^R g(x)D^{m+1}\varphi(x)dx.

Do đó f=D^{m+1}g trên (-R, R).

Đặt h(x)=\int_{-R}^x g(t)dt. Bạn đọc thử chứng minh hai điều sau:

(-) h\in C(-R, R),

(-) đạo hàm suy rộng của h, trên (-R, R), chính là g, nghĩa là

\int_{-R}^R h(x) D\varphi(x)dx=-\int_{-R}^R g(x)\varphi(x)\;\forall \varphi\in \mathcal D(-R, R).

Bạn đọc thử trả lời câu hỏi:

Liệu có thể thay từ “địa phương” bằng “toàn cục”?

Comments: 9 phản hồi

« Bài viết cũ nhất