Trong phần bài tập giao cho lớp K51A1T có những bài yêu cầu tính toán các hàm suy rộng kiểu
Thoạt nhìn tôi chưa hiểu các hàm suy rộng kiểu này!
Để hiểu chúng ta đi từng bước như sau.
Xét hàm là phép vi phôi (nghĩa là khả vi vô hạn, song ánh và ánh xạ ngược
cũng khả vi vô hạn), với
là các tập mở trong
Dễ dàng kiểm tra ánh xạ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ
Từ đó, không khó khăn gì ta có ánh xạ biến mỗi hàm suy rộng thành hàm suy rộng
trên
xác định bởi
là ánh xạ tuyến tính liên tục!
Hàm suy rộng được hiểu như sau.
Lấy một dãy hàm sao cho
Từ đó, ta có
Trong trường hợp không chứa gốc ta sẽ hiểu hàm Dirac như hàm suy rộng
trong
vì mỗi hàm
có thể coi như hàm xác định trên toàn không gian
với giá nằm trong
Như vậy,
trong
Trong trường hợp chứa gốc nghĩa là sẽ có một điểm
để
Ta có
nên
Như vậy, ta có thể hiểu được là hàm suy rộng:
với
Quay trở lại việc tìm hiểu hàm suy rộng kiểu ta cần xét tới hàm
có tính chất tập các điểm tới hạn
không chứa không điểm của
Khi đó, hàm suy rộng
được hiểu như nào?
Nếu không có không điểm nào thì
Nếu có không điểm thì tập không điểm của
là tập rời rạc vì nếu nó có điểm tụ thì tại đó
và đạo hàm của nó cùng bằng
Ta có thế đánh số tập không điểm của
gồm:
(có thế vô hạn đếm được hoặc hữu hạn).
Tại mỗi điểm đều có một lân cận
không chứa bất kỳ
và đạo hàm
không đổi dấu hay hàm
là một phép vi phôi. Khi đó, trên
hàm suy rộng
xác định bởi:
Trên tập hàm
không có không điểm nên
trên đó!
Xây dựng một phân hoạch đơn vị ứng với phủ
của đường thẳng thực
Khi đó, trên hàm suy rộng
được hiểu như sau
Lưu ý rằng tổng sau là tổng hữu hạn vì giá của là tập compact và trong mỗi tập compact chỉ chứa hữu hạn không điểm của
Như vậy, hàm suy rộng được hiểu
và hàm suy rộng được hiểu






Phản hồi gần đây