Archive for Tháng Chín 2007

Không gian cơ bản các hàm khả vi vô hạn- Không gian Frechet

Tháng Chín 29, 2007

Cho \Omega=\cup_{j=1}^\infty \Omega_j, \Omega_j\subset\bar{\Omega}_j\subset\Omega_{j+1}\subset\Omega, j=1, 2, \dots, \Omega_j là các tập mở, bị chặn. Không gian \mathcal E(\Omega)  với sự hội tụ được định nghĩa như sau

ta nói \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty trong \mathcal E(\Omega) hội tụ đến \varphi\in \mathcal E(\Omega) trong \mathcal E(\Omega) nếu

\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{x\in\Omega_j}\sum\limits_{|\alpha|\le j}|D^\alpha\varphi_k(x)-D^\alpha\varphi(x)|=0.

Ta định nghĩa khoảng cách trong không gian \mathcal E(\Omega) như sau

d(\varphi, \psi)=\sum\limits_{j=1}^\infty 2^{-j}\dfrac{\sup\limits_{x\in\Omega_j}\sum\limits_{|\alpha|\le j}|D^\alpha\varphi(x)-D^\alpha\psi(x)|}{1+\sup\limits_{x\in\Omega_j}\sum\limits_{|\alpha|\le j}|D^\alpha\varphi(x)-D^\alpha\psi(x)|}.

Trong bài giảng ngày 28/09/2007, tôi có định nghĩa khoảng cách trong \mathcal E(\Omega) nhưng ở đó thiếu mẫu số!

Nguyên hàm suy rộng

Tháng Chín 26, 2007

Trên đường thẳng \mathbb R, ta có thể định nghĩa nguyên hàm suy rộng cho hàm suy rộng f\in\mathcal D'(\mathbb R) là hàm suy rộng F\in\mathcal D'(\mathbb R)DF=f. Trong giáo trình đã chứng minh, mọi hàm suy rộng đều có nguyên hàm suy rộng, hai nguyên hàm suy rộng của nó sai khác nhau hàm hằng số! Thứ nhất cần hiểu chính xác hàm hằng số là hàm hằng số theo nghĩa thường vì hàm suy rộng hằng số chỉ có duy nhất một hàm suy rộng 0. Thứ hai, vậy phải tìm nguyên hàm suy rộng của một hàm suy rộng như thế nào?

Thắc mắc trong bài giảng

Tháng Chín 9, 2007

Trong bài giảng hôm 07/09/2007, tôi đang chứng minh dở một vấn đề nhỏ sau: W là tập compact chứa trong tập mở  U\subset \mathbb R^n, khi đó có một số \epsilon>0 sao cho W+\bar{B}_\epsilon(0)\subset U.

Tôi vẫn theo hướng như trong bài giảng, nghĩa là với mỗi x\in W\subset U đều có số \epsilon_x>0 sao cho hình cầu B_{\epsilon_x}(x)\subset U. Rõ ràng \{B_{\epsilon_x/3}(x)\}_{x\in W} là một phủ mở của W nên có phủ con hữu hạn \{B_{\epsilon_j}(x_j)\}_{1\le j\le N}, \epsilon_j=\epsilon_{x_j}/3, x_j\in W. Đặt \epsilon=\min\{\epsilon_j|\; j=1,\dots, N\}. Kiểm tra dễ dàng W+\bar{B}_\epsilon(0)\subset U.

Giá (support) và Giá kỳ dị (singular support) của Hàm suy rộng

Tháng Chín 5, 2007

Giá của hàm suy rộng u\in \mathscr D'(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n, là phần bù trong \Omega của tập các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở \omega\subset \Omega sao cho u|_\omega=0. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu là supp(u).

Giá kỳ dị của hàm suy rộng u là phần bù trong \Omega của tập tất cả các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở \omega\subset \Omega và một hàm v\in C^\infty(\Omega) sao cho (u-v)|_\omega=0. Giá kỳ dị  của hàm suy rộng u được ký hiệu là singsupp(u).

Chú ý u|_\omega=0 nghĩa là \langle u, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in C_0^\infty(\omega).

Ví dụ, supp(\delta)=singsupp(\delta)={0};supp(\theta)={x\in \mathbb R|; x\ge 0}, singsupp(\theta)=\{0\}; với \delta là hàm Dirac, \theta là hàm Heaviside trên đường thẳng \mathbb R.


Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.