Từ hàm lũy thừa đến hàm mũ

Trên một trường số hay trên một đại số (chẳng hạn trường số thực $\mathbb R$ , phức $\mathbb C$ , đại số các ma trận vuông thực hay phức, đại số các toán tử bị chặn trên không gian Banach thực hay phức) một trong các cách xây dựng hàm mũ là như sau:

+) với phép nhân (không nhất thiết giao hoán, như trong đại số các ma trận) ta định nghĩa được hàm lũy thừa:

$x^n=x*x*\dots *x,$ ( $n$ lần)

+) với phép cộng ta định nghĩa được đa thức, tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm lũy thừa, trong đó có dạng đặc biệt:

$S_n(x)=1+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{x^k}{k!},$

+) qua phép lấy giới hạn ta thu được hàm mũ:

$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x).$

Việc chuyển qua giới hạn cho ta sự khác biệt về độ tăng ở vô cùng giữa hàm lũy thừa và hàm mũ:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ với mọi $n\in\mathbb N$ cố định.

Điều này thể hiện khá rõ trong các bài viết

“Hàm e^x và e^{1/x}”

và

“Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier”.

Trong bài “Hàm e^x và e^{1/x}” có hai sự kiện:

+ thứ nhất

-) $S_{-}\lim\limits_{n\to\infty} n^{-k}\rho(x-n)$ không tồn tại với mọi $k\in \mathbb N$ cố định,

-) $S_{-}\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\rho(x-n)=0$ ,

+ thứ hai

-) $\mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty} n^{-k}\rho(2n(x-1/n))$ không tồn tại với mọi $k\in \mathbb N$ cố định,

-) $\mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty} e^{-n}\rho(2n(x-1/n))=0$ .

Còn trong bài “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier” thể hiện

chuỗi Fourier

$\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n e^{inx}$

hội tụ trong $S^{,}(\mathbb R)$

khi và chỉ khi

$c_n=O(|n|^K)$ với $K$ là số thực nào đó, nghĩa là

có một số dương $C$ và số thực $K$ để

$|c_n|\le C|n|^K$ với mọi $n\in \mathbb Z.$

Điều này tương đương với:

chuỗi

$\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_n \delta(x-n)$

hội tụ trong $S^{,}(\mathbb R)$

khi và chỉ khi

$c_n=O(|n|^K)$ với $K$ là số thực nào đó.

Sự kiện này nói rằng tốc độ tăng của $|c_n|$ cỡ đa thức (thấp hơn cỡ mũ)! Điều này cũng thể hiện ở tên gọi của $S^{,}$ : “hàm suy rộng tăng chậm”.

Để chứng minh sự kiện này có một cách sử dụng sự kiện thứ nhất trong bài “Hàm e^x và e^{1/x}”.

Một sự kiện khác cũng liên quan đến sự chuyển biến từ hàm lũy thừa sang hàm mũ. Sự kiện này liên quan đến hàm khả vi vô hạn. Như đã biết hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ khả vi vô hạn thì ta có thể lập chuỗi Taylor, chẳng hạn tại $x=0$ :

$\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k.\;\;\;(1)$

Tuy nhiên, có hai câu hỏi đặt ra:

+) chuỗi Taylor $(1)$ có hội tụ không?

+) chuỗi Taylor $(1)$ hội tụ thì có hội tụ đến hàm $f$ (dĩ nhiên tính ngoài điểm $x=0$ )?

Hàm $f$ được gọi là giải tích tại $x=0$ nếu chuỗi Taylor $(1)$ hội tụ đến hàm $f$ trong một lân cận của điểm $0$ .

Hàm $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ khi $x\not=0$ và $f(0)=0$ là hàm khả vi vô hạn và không giải tích tại $x=0.$

Hàm này liên quan đến nhiều sự kiện, chẳng hạn hàm khả vi vô hạn có giá compact. Tuy nhiên, dưới đây tôi muốn nói đến sự kiện khác:

“Tính giải được địa phương của toán tử vi phân”.

Ta quan tâm đến toán tử vi phân trong $\mathbb R^n$

$P(x, D)=\sum\limits_{|\alpha|\le m} a_\alpha(x)D^\alpha, m\in\mathbb N.$

Toán tử vi phân $P(x, D)$ được gọi là giải được địa phương tại $x_0\in\mathbb R^n$ nếu có một tập mở $\Omega\subset\mathbb R^n$ chứa $x_0$ để

với bất kỳ hàm $f\in C^\infty_0(\Omega)$ đều có hàm suy rộng $u\in\mathcal D^{,}(\Omega)$ sao cho

$P(x, D)u=f$ theo nghĩa suy rộng trong $\Omega.$

Toán tử vi phân với hệ số hằng là toán tử giải được địa phương.

Toán tử vi phân elliptic cũng giải được địa phương.

Năm 1956, Hans Lewy tìm thấy toán tử đầu tiên không giải được địa phương trong $\mathbb R^3$

$L=\partial_{x_1}+i\partial_{x_2}+i(x_1+ix_2)\partial_{x_3}.$

Lars Hormander tìm ra điều kiện cần cho tính giải được địa phương:

Nếu $P(x, D)$ giải được địa phương tại $x_0$

thì với mọi $\xi\in\mathbb R\setminus\{0\}$ thỏa mãn

$P(x_0, \xi)=0$ ta có $C(x, \xi)=[P(x_0, \xi), \overline{P}(x_0, \xi)]=0$ ,

trong đó

$[P(x_0, \xi), \overline{P}(x_0, \xi)]=P(x_0, \xi) \overline{P}(x_0, \xi)-\overline{P}(x_0, \xi) P(x_0, \xi).$

Các bạn thử kiểm tra điều kiện cần của Hormander cho toán tử Lewy.

Toán tử đơn giản nhất không giải được địa phương là toán tử Mizohata trong mặt phẳng $\mathbb R^2$

$L_1=\partial_{x_1}+ix_1\partial_{x_2}$

không thỏa mãn điều kiện cần của Hormander tại các điểm trên đường thẳng $x_1=0$ .

Lưu ý hệ số của các toán tử trên đều là đa thức.

Louis Nirenberg và Francois Treves tiếp tục quan sát toán tử trong mặt phẳng

$L_k=\partial_{x_1}+ix_1^k\partial_{x_2}.$

Khi $k>1$ điều kiện cần của Hormander không còn hiệu nghiệm.

Cùng với cách nhìn của Hormander nhưng tinh tế hơn, Nirenberg và Treves tách toán tử thành hai phần thực và ảo:

$A=Re L_k=\partial_{x_1}, B=Im L_k=x_1^k\partial_{x_2}$ .

Tiếp đến xét chuỗi các toán tử:

$C_1=[A, B], C_{p+1}=[A, C_p]$ .

Bạn đọc tính toán lại xem có phải

$C_p(x, \xi)=\dfrac{k!}{(k-p)!}x_1^{k-p}(i\xi_2)$ khi $p\le k$ ,

$C_p(x, \xi)=0$ khi $p>k$ .

Đặt $k_0(x, \xi)$ là số $k$ bé nhất để

$C_k(x, \xi)\not=0.$

Từ đó rút ra:

+) $k_0(x, \xi)=k$ là số chẵn (kể cả $0$ ) thì $L_k$ (trường hợp elliptic) giải được địa phương,

+) $k_0(x, \xi)=k$ là số lẻ thì $L_k$ không giải được địa phương.

Cách làm này cũng bị mắc khi Nirenberg và Treves xem xét toán tử

$\partial_{x_1}+ie^{-\frac{1}{x_1^2}}\partial_{x_2}$ .

Vướng mắc này giúp hai ông đưa ra giả thuyết về tính giải được địa phương Nirenberg-Treves.

Bạn đọc có thể xem chi tiết hơn ở bài báo sau của Francois Treves

Treves_Local Solvability_PDEs

Like this:

Be the first to like this post.

Explore posts in the same categories: Tham khảo

This entry was posted on Tháng Một 10, 2012 at 11:21 sáng and is filed under Tham khảo. You can subscribe via RSS 2.0 feed to this post's comments. You can comment below, or link to this permanent URL from your own site.

Gửi phản hồi Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (yêu cầu) (Address never made public)

Tên (yêu cầu)

Trang web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Thay đổi )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

Lý thuyết Hàm Suy Rộng