Month: Tháng Tư 2012

Sự hội tụ trong S’

datuan5pdes13 bình luận

Trong giáo trình môn Hàm suy rộng có hai cách tương đương để định nghĩa sự hội tụ trong S^{,}.

Cách thứ nhất, ta coi mỗi hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,} là một hàm suy rộng tăng chậm, nghĩa là f\in S^{,}, nếu

|\langle f, \varphi\rangle|\le C\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}(1+||x||^2)^m\sum\limits_{|\alpha|\le m}|D^\alpha \varphi(x)|, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)\;\;\;(1)

với C>0, m\in\mathbb Z_+ là các hằng số.

Khi đó dãy f_k\in S^{,} được gọi là hội tụ đến 0 trong S^{,} nếu:

+) \lim\limits_{k\to\infty}\langle f_k, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n),

+) có các hằng số C>0, m\in\mathbb Z_+ chung cho các f_k để có (1).

Cách thứ hai, ta nhìn S^{,} như không gian đối ngẫu của S nghĩa là mỗi hàm suy rộng tăng chậm là một phiếm hàm tuyến tính liên tục từ S(\mathbb R^n) vào \mathbb C. Khi đó sự hội tụ trong S^{,} được phát biểu như sau

dãy f_k\in S^{,} được gọi là hội tụ đến 0 trong S^{,} nếu

\lim\limits_{k\to\infty}\langle f_k, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in S(\mathbb R^n).

Ta cũng biết

nếu f_k\in S^{,} hội tụ về 0 trong S^{,}

thì S^{,}_{-}\lim\limits_{k\to\infty}f_k*\varphi=0, \forall \varphi\in S.

Câu hỏi ngược lại được đặt ra:

nếu S^{,}_{-}\lim\limits_{k\to\infty}f_k*\varphi=0, \forall \varphi\in S

thì  f_k\in S^{,} hội tụ về 0 trong S^{,}? Tiếp tục đọc →