Hàm Dirac

Hàm suy rộng là một cách mở rộng thêm vào lớp hàm thông thường, lớp hàm đo được, khả tích địa phương, các hàm không thông thường khác mà đại diện là hàm Dirac \delta được xác định, theo cách thông thường như sau

\delta(x)= 0 nếu x\not=0;\delta(0)=+\infty;

sao cho \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1.

33 thoughts on “Hàm Dirac

  1. bmgt

    Những kiến thức cơ bản, dù là đơn giản hay có phần phức tạp, đều rất cần thiết cho việc học và nghiên cứu Toán học nói chung, mà ở đây là Giải tích toán học. Hy vọng chúng ta sẽ cùng trao đổi để có thêm kiến thức trong tương lai.

  2. datuan5pdes

    Định nghĩa trên rõ ràng là chưa chính xác theo nghĩa toán học. Cụ thể là cần phải chính xác kỳ dị tại 0.
    Lý thuyết Hàm suy rộng muốn chính xác hóa điều này.

  3. trungkstn

    Chào thầy. Em là dân kỹ thuật thôi nhưng quả thực hàm dirac sử dụng rất nhiều trong kỹ thuật. Với em chỉ cần nắm các kết quả là OK rồi. Em thấy có nhiều công thức ký hiệu giống hàm dirac mà em suy nghĩ lại thấy nó như là hàm đơn vị. Ví dụ như để lấy mẫu tín hiệu thì người ta có hàm: X_{d}(t)=T_{0}\sum_{i=0}^{N-1}x(i)\delta(t-iT_{0} (Xét trong khoảng thời gian [0,T] chia ra làm N đoạn mỗi đoạn có độ dài T_{0})

  4. datuan5pdes

    Hàm X_d(t) là hàm tác động lên một hàm thử, trong vật lý còn gọi là hàm trạng thái, \varphi(t) thu được kết quả giá trị
    \sum\limits_{i=0}^{N-1}x(i)\varphi(iT_0).
    Nói cách khác, qua X(d) tín hiệu nhận được là tổ hợp của tín hiệu tại N điểm 0, T_0, \dots, (N-1)T_0.

  5. trungkstn

    Tiện thể thày nói cho em ý nghĩa của DFT với FFT nhé. Em không được học mấy cái này mà chỉ học có mỗi về chuỗi Fourier hồi đại cương nên lúc đọc sách thấy mơ màng😀

  6. trungkstn

    Em vẫn không hiểu sao công thức em viết hôm qua để đặc trưng cho quá trình lấy mẫu thầy nhỉ😦. Thầy có thể entry một bài về vấn đề này không. Em tìm trên google thấy mỗi blog của thầy có nên em comment để hỏi thử.

  7. datuan5pdes

    Về DFT (discrete Fourier transform ), FFT (fast Fourier transform ) chúng đều liên quan đến chuỗi Fourier hồi em học đại cương.

    -DFT chính là chuỗi Fourier. Ý nghĩa của nó: ta có thể hiểu một hàm thông qua dãy phổ (dãy các hệ số Fourier) của nó. Về mặt Vật lý, theo tôi hiểu, để nghiên cứu trạng thái một vật thể ta dùng các sóng truyền đến vật đó. Ta sẽ nhận được các sóng phản hồi. Từ đó ta thu được các hệ số Fourier hay còn gọi là phổ.

    -FFT là thuật toán để tính chuỗi Fourier do Gauss đề ra. Sau này, có rất nhiều thuật toán FFT.

    Em có thể xem DFT, FFT qua trang wikipedia.org.

  8. datuan5pdes

    Về quá trình lấy mẫu, theo tôi hiểu, ta có một trạng thái cần tìm hiểu. Ta không thể tìm hiểu nó trong một khoảng thời gian liên tục. Ta chỉ có thể thấy nó ở những thời điểm rời rạc. Như vậy, có thể thấy rằng X_d là quá trình lấy mẫu ở N thời điểm, có trọng x_i, i=0, 1, \dots, N-1.

  9. datuan5pdes

    Về việc hàm Dirac được cho bởi
    \delta(t)=1 khi t=0

    \delta(t)=0 khi t\not=0,
    có thể độ đo ở đây khá đặc biệt (độ đo nguyên tử).
    Cái chính của hàm Dirac tích phân trên toàn không gian bằng 1; và bằng 0 tại tất cả các điểm trừ một điểm.

  10. datuan5pdes

    Để trả lời bằng cách khác có thể như sau:
    Ta có một quá trình truyền nhiệt trong không gian với hàm u(x,t) là nhiệt độ tại vị trí x trong không gian, vào thời điểm t\ge 0.
    Giả sử thời điểm ban đầu t=0 có nhiệt độ u(x, 0)=f(x).
    Như vậy tại thời điểm t>0
    u=\mu_t(f)(=\mu_t*f(x)).
    Khi đó, có thể hiểu tại thời điểm ban đầu
    \mu_0(f)=f, \forall f
    hay
    \mu_0=\delta_0.

  11. datuan5pdes

    Như vậy, có thể hiểu một cách nôm na, trạng thái tại thời điểm t>0 của một quá trình Poisson cho bởi
    \mu_t(f)
    với f là trạng thái ban đầu.
    Khi đó, tại thời điểm ban đầu
    \mu_0(f)=f nên \mu_0=\delta_0.

  12. laphongroi

    Thưa thầy, thầy có thể cho em vài ví dụ hay bài toán dẫn tới hàm suy rộng không ạ? Như các bài toán dẫn tới PDE có trong cuốn PTĐHR của thầy Nguyễn Mạnh Hùng đó ạ. em cảm ơn thầy ạ.

    1. datuan5pdes

      Trong PDEs có bài toán sau:

      Tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng hệ số hằng.

      Đây là bài toán khó nếu không dùng hàm suy rộng!

      Em có thể tìm hiểu thêm trong bài báo

      “Applications of Distributions to PDE theory”, pp. 241-248, Vol. 77, No. 3, Mar., 1970, The American Mathematical Monthly, của F. Treves.

  13. mim.hus52

    Em chào thầy ạ, thưa thầy, thầy có thể chỉ giúp em về “Sobolev Embedding Theorem” và những vấn đề đơn giản nhất cần quan tâm khi học về không gian này không ạ, em cảm ơn thầy nhiều!

    1. datuan5pdes

      Các Định lý nhúng trong không gian Sobolev về bản chất là các bất đẳng thức. Ngoài ra phép nhúng compact đòi hỏi một vài kỹ thuật giải tích hàm.

      Những vấn đề cần thiết khi học về không gian Sobolev gồm:

      -) độ đo, tích phân Lebesgue,

      -) đạo hàm suy rộng, có thể cả hàm suy rộng,

      -) một số nguyên lý cơ bản trong Giải tích hàm.

      Biến đổi tích phân và tính toán một số tích phân suy rộng quan trọng cũng không thể thiếu.

  14. abc

    em chào thầy ạ, thưa thầy em đang học về phương trình tuyến tính và phi tuyên ( phuông trình parbolic) nhung em van chưa nhân thấy rõ ràng sự khác nhau của 2 dạng phương trình này ạ. Thầy giải thích cho em nhé, nếu có thể thầy có thể nói cho em về lớp nghiệm của 2 dạng phương trình này không ạ. Em cảm ơn thầy ạ.^^!

    1. datuan5pdes

      Nói về cái này mà không cụ thể thì rất khó. Phương trình tuyến tính là TH riêng của phi tuyến. Còn về lớp nghiệm thì tôi không rõ em muốn nói gì vì không có phương trình cụ thể.

  15. datpham

    chào thầy ! em đang bắt đầu đọc về lí thuyết hàm suy rộng và cũng tò mò về bài toán trong vật lí làm nảy sinh ra lí thuyết này ( bài toán cụ thể chứ không phải từ mong muốn tổng quát hóa thuần túy mang tính lý thuyết) thầy có thể giải thích giúp dùm em không ạ ?
    cảm ơn thầy nhiều !

    1. datuan5pdes

      Cảm ơn em vì câu hỏi thú vị và khó. Tôi mới chỉ biết hàm Dirac có xuất xứ từ Vật lý. Ngoài ra việc tìm hiểu các nghiệm trong các phương trình đạo hàm riêng (thường có nguồn gốc Vật lý) đòi hỏi phải hiểu khái niệm lấy đạo hàm phải “mềm dẻo” hơn. Một ví dụ dễ nói, hiện tượng shock của nghiệm của phương trình Burger

      u_t+(u^2)_x=0.

      Để hiểu hơn em thử tham khảo cuốn

      http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Demidov2001en.pdf

      hay bài

      http://electronics.etfbl.net/journal/Vol17No2/xPaper_02.pdf

      hoặc

      http://myreckonings.com/wordpress/2007/12/07/heavisides-operator-calculus/

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s