Giá (support) và Giá kỳ dị (singular support) của Hàm suy rộng

Giá của hàm suy rộng u\in \mathscr D'(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n, là phần bù trong \Omega của tập các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở \omega\subset \Omega sao cho u|_\omega=0. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu là supp(u).

Giá kỳ dị của hàm suy rộng u là phần bù trong \Omega của tập tất cả các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở \omega\subset \Omega và một hàm v\in C^\infty(\Omega) sao cho (u-v)|_\omega=0. Giá kỳ dị  của hàm suy rộng u được ký hiệu là singsupp(u).

Chú ý u|_\omega=0 nghĩa là \langle u, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in C_0^\infty(\omega).

Ví dụ, supp(\delta)=singsupp(\delta)={0};supp(\theta)={x\in \mathbb R|; x\ge 0}, singsupp(\theta)=\{0\}; với \delta là hàm Dirac, \theta là hàm Heaviside trên đường thẳng \mathbb R.

17 thoughts on “Giá (support) và Giá kỳ dị (singular support) của Hàm suy rộng

  1. algeomath

    Thầy ạ, em là Quang Hùng lớp K49 A1, em đang suy nghĩ về câu hỏi của thầy trên lớp, là với một tập compact S chứa trong tập mở \Omega thì luôn tồn tại \epsilon lân cận của S chứa trong \Omega.
    Em có biết một chứng minh thế này, ta xét hàm biến sd(s,\mathbb R^{n}\setminus A) rõ ràng hàm này liên tục trên S nên đạt cực tiểu trên đó, ta hãy chọn \epsilon bé hơn giá trị cực tiểu này là xong. Em nghĩ là với chứng minh này ta chỉ cần A bị chặn và S bất kỳ là đủ khi đó ta thay cực tiểu bởi cận dưới đúng.

    Nhưng em nghĩ tập compact có thể không cần thiết, em có thể đưa ra ví dụ \epsilon lân cận của tập y=e^x chứa trong \{(x,y)\in\mathbb R^{2}\mid y>0\} nhưng rõ ràng y=e^x không compact.

    Thầy xem lại cho em xem đúng không ạ🙂 ?

  2. datuan5pdes

    Trong ch­ứng minh của Hùng rõ ràng là giả thiết tập S compact là cần thiết cho việc hàm d(s, \mathbb R^n\setminus A) đạt cực tiểu trong S. Cần chứng minh rõ ràng tính liên tục của hàm d(s, \mathbb R^n\setminus A) trên S.

    Khi giả thiết về compact không có thì có thể hàm d(s, \mathbb R^n\setminus A), sau khi lấy cận dưới trên tập S là dương thực sự như trường hợp Hùng đưa ra. Nhưng trong trường hợp đó với tập \{y=\frac{1}{x}|\; x>0\} chứa trong \{(x, y)|\; y>0\} thì nó bằng 0. Nói cách khác có thể giảm nhẹ điều kiện compact bằng một điều kiện khác nhưng không thể bỏ nó đi hoàn toàn! Vậy điều kiện giảm nhẹ đó là gì?

  3. algeomath

    Vâng em cám ơn thầy, em hiểu rồi ạ, đúng là hàm d(s, \mathbb R^n\setminus A) phải thực sự dương trên S rõ ràng là S compact thì thỏa man đk này nhưng có thể tính compact vẫn mạnh quá nó chưa phải đk đủ, thầy để em nghĩ thêm ạ🙂.

    1. hien

      Em cam on Thay nhieu.Thay co the giai giup em bai tap 22 trang 51 sach Generalized Functions: Theory and Technique cua Ram P.Kanwal khong a?em da giai nua thang roi ma ko ra. mong thay giup em. Chuc thay giang sinh vui ve!

      1. hien

        Em cam on thay nhieu! em cung lam theo huong do roi nhung trong qua trinh lam vi trong R2 va R3 nen em ko bieu dien duoc. Thay co the giai cu the hon giup em duoc ko a? Mong thay giup do.

    1. datuan5pdes

      Công thức

      \int\limits_{\mathbb R} f(x-y)g(y)dy

      chỉ có nghĩa khi tích phân này xác định.

      Chẳng hạn:

      +) f\in L^1_{loc}, g\in L^1_{compact}, (chẳng hạn f(x)=1, g(x)=\kappa_{[0,1]}),

      +) f, g \in L^1, (chẳng hạn f(x)=g(x)=\dfrac{1}{1+x^2}),

      +) f, g \in L^1_{loc} và giá của chúng đều nằm trong nửa trục dương [0, +\infty) (chẳng hạn f(x)=g(x)=H(x) là hàm Heviside).

      Hàm Heviside

      H(x)=1 khi x\ge 0,
      H(x)=0 khi x<0

      được coi là hàm suy rộng theo cách

      \langle H, \varphi\rangle = \int\limits_{\mathbb R} H(x)\varphi(x)dx.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s