Thắc mắc trong bài giảng

Trong bài giảng hôm 07/09/2007, tôi đang chứng minh dở một vấn đề nhỏ sau: W là tập compact chứa trong tập mở  U\subset \mathbb R^n, khi đó có một số \epsilon>0 sao cho W+\bar{B}_\epsilon(0)\subset U.

Tôi vẫn theo hướng như trong bài giảng, nghĩa là với mỗi x\in W\subset U đều có số \epsilon_x>0 sao cho hình cầu B_{\epsilon_x}(x)\subset U. Rõ ràng \{B_{\epsilon_x/3}(x)\}_{x\in W} là một phủ mở của W nên có phủ con hữu hạn \{B_{\epsilon_j}(x_j)\}_{1\le j\le N}, \epsilon_j=\epsilon_{x_j}/3, x_j\in W. Đặt \epsilon=\min\{\epsilon_j|\; j=1,\dots, N\}. Kiểm tra dễ dàng W+\bar{B}_\epsilon(0)\subset U.

6 thoughts on “Thắc mắc trong bài giảng

  1. algeomath

    Thầy ạ, em nghĩ kỹ em thấy chứng minh của thầy rất đúng rồi ạ, nhưng em vẫn có chỗ lăn tăn là ta có thể chọn \epsilon=\min\{\epsilon_x|\ x\in W\} được không ạ? vì \epsilon_x>0 nên trên một tập vô hạn vẫn có thể tồn tại cực tiểu ?, nhưng em nghĩ làm thế không đúng vì nếu đúng thì cm sẽ đúng cho tập bất kỳ sẽ mâu thuẫn với ví dụ của thầy về tập \frac{1}{x}, tuy vậy ở đây em thấy ta có thể thay tính compact bằng đk gì đó nhẹ hơn cho tập \epsilon=\min\{\epsilon_x|\ x\in W\} có giá trị cực tiểu, nhưng em vẫn chưa nghĩ ra ạ.

  2. datuan5pdes

    Trong bài giảng, phần chứng minh tồn tại phân hoạch đơn vị khi xây dựng họ hàm \psi_j, có một chỗ tôi nói “cứ tiếp tục như thế”. Một vài câu hỏi đơn giản đặt ra: bước tiếp sau của “cứ tiếp tục như thế” là gì? Kết thúc của nó bằng bước nào?

  3. Đề nghị các bạn sinh viên nắm rõ giá của một hàm liên tục supp(\varphi), \varphi là một hàm liên tục. Cụ thể, x\in supp(\varphi) nghĩa là gì? x\not\in supp(\varphi) nghĩa là gì? Khi đó, chứng minh các tính chất sau của giá supp(\varphi+\psi)\subset \big(supp(\varphi)\cup supp(\psi)\big), supp(\phi\varphi)\subset supp(\varphi), supp(D^\alpha \varphi)\subset supp(\varphi), \forall \alpha\in\mathbb Z_+.
    Trường hợp đặc biệt của tính chất thứ hai khi \phi là hàm hằng số!
    Câu hỏi đặt ra định nghĩa giá đó có tốt cho một hàm đo được không? Tại sao?

  4. algeomath

    Thưa thầy để em thử cm, em nghĩ nó cung không khó lắm ạ?
    supp(\varphi)=cl\{x\in\Omega|\varphi(x)\not=0\}
    Như vậy x\not\in supp(\varphi)\Rightarrow x\not\in cl\{x\in\Omega|\varphi(x)\not=0\} \Rightarrow x\in int\{x\in\Omega|\varphi(x)=0\}

    Vớix\in\Omega giả sử x\in supp(\varphi+\psi)\Rightarrow \varphi(x)\psi(x)\not=0\Rightarrow \varphi(x)\not=0 \vee \psi(x)\not=0\Rightarrow x\in\big(supp(\varphi)\cup supp(\psi)\big)

    Tương tự \varphi(x)\cdot\psi(x)\not=0\Rightarrow \varphi(x)\not=0D^\alpha \varphi(x)\not=0\Rightarrow \varphi(x)\not=0

    Theo em hiểu ý thầy đ/n tốt tức là nếu ta có một dãy hàm đơn giản hội tụ đến một hàm đo được thì dãy tập giá của các hàm đo được sẽ “hội tụ” về giá của hàm đo được đó phải không ạ? Nhưng dãy tập “hội tụ” thì em chưa hiểu rõ lắm ạ?

    Thầy cho em hỏi thêm là trong giáo trình khi thầy đ/n không gian thầy luôn đ/n sự hội tụ (liên tục) trước và chỉ ra cấu trúc tuyến tính của nó phù hợp với sự hội tụ, nhưng theo em nghĩ là tuy ta có sự hội tụ nhưng topo “phù hợp” với sự hội tụ đó có thể không duy nhất phải không ạ? Hay nói cách khác là trong một không gian có hay không hai cách trang bị topo khác nhau mà khi ta lấy cùng một dãy điểm thì theo topo này nó hội tụ còn theo topo kia thì không?

    Tức là thầy đ/n lớp không gian rộng hơn là chỉ ra một topo cụ thể phải không ạ? Em vẫn còn một số chỗ lăn tăn là các không gian hàm cơ bản thực chất vẫn là các không gian vector trên trường phức ta có thể chỉ một cơ sở trực giao của nó không ạ?

  5. datuan5pdes

    Thứ nhất, từ định nghĩa giá việc x\in supp(\varphi) thì \varphi(x)\not=0 là không đúng. Phản ví dụ đơn giản lấy hàm \rho(x) như trong giáo trình thì với ||x||=1x\in supp(\rho), \rho(x)=0.

    Thứ hai, câu hỏi về sự đúng đắn của định nghĩa giá khi hàm của ta quan tâm chỉ là hàm đo được, nghĩa là liệu có hai hàm đo được bằng nhau hầu khắp nơi, nói cách khác là trùng nhau trong không gian các hàm đo được, thì giá của chúng theo định nghĩa có trùng nhau hay không? Câu trả lời là không? Cho phản ví dụ? Như vậy cần phải định nghĩa giá cho hàm đo được như thế nào?
    Cuối cùng, tôi chỉ đưa ra khái niệm hội tụ chứ không xây dựng tôpô vì việc xây dựng là khá cồng kềnh, phức tạp chứ không phải là có nhiều tôpô với cùng kiểu hội tụ như trong định nghĩa! Chỉ có duy nhất một tôpô cho ta sự hội tụ trong \mathcal{D}!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s