Công thức tổng Poisson (Poisson summation formula)

Công thức tổng Poisson (trong phần bài tập) được phát biểu dưới dạng

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}= 2\pi\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi),

trong đó hai chuỗi ở hai vế của đẳng thức hội tụ trong \mathcal D'(\mathbb R).

Để chứng minh, ta lấy \varphi\in \mathcal D(\mathbb R) xét tác động của hai chuỗi đó lên \varphi

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}, \varphi\rangle= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n),

F\varphi(n)=(2\pi)^{-1/2}\int\limits_{\mathbb R}e^{-inx}\varphi(x)dx,

\langle \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n2\pi), \varphi\rangle= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi).

Dạng thường phát biểu của Công thức Poisson

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} F\varphi(n).

Ta sẽ chứng minh Công thức Poisson này. Xét chuỗi hàm

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(x+n2\pi).

Do giá của \varphi là tập compact nên tổng trên là tổng hữu hạn. Do đó chuỗi hàm trên hội tụ đều đến hàm \psi liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi. Khi đó, khai triển Fourier của \psi(x)

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}, c_n=(2\pi)^{-1}\int\limits_0^{2\pi}e^{-iny}\psi(y)dy

hội tụ điểm đến \psi(x), hay

\psi(x)= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}(2\pi)^{-1}\int\limits_{0}^{2\pi}e^{-iny}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_0^{2\pi}e^{-iny}\varphi(y+k2\pi)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\int_{k2\pi}^{(k+1)2\pi}e^{-iny}\varphi(y)dy

=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}e^{inx}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-iny}\varphi(y)dy

do đó

\psi(0)=(2\pi)^{-1}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\int_{\mathbb R}e^{-iny}\varphi(y)dy

hay

\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n2\pi)= (2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}F\varphi(n).

3 thoughts on “Công thức tổng Poisson (Poisson summation formula)

  1. datuan5pdes

    Từ Công thức Poisson người ta sẽ chứng minh được rằng
    nếu f\in \mathcal D' mà giá của nó và biến đổi Fourier của nó là các tập compact thì nó đồng nhất bằng 0.
    Đây là kết quả của M. Benedicks trong bài báo
    “On Fourier transforms of functions support on sets of finite Lebesgue measure,” J. Math. Anal. Appl. 106 (1985), 180-183.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s