Không gian Schwartz- Đặc trưng khác

Không gian Schwartz \mathcal S(\mathbb R^n) được định nghĩa là không gian các hàm \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) thỏa mãn

\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\beta D^\alpha \varphi(x)|\le C_{\alpha, \beta}, \forall \alpha, \beta\in\mathbb Z^n_+\;\; (1).

Năm 1993, gần nửa thế kỷ ra đời của không gian Schwartz, bài báo

Chung, Jaeyoung; Chung, Soon-Yeong; Kim, Dohan Une caractérisation de l’espace $scr S$ de Schwartz. (French) [A characterization of the Schwartz space $scr S$] C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 316 (1993), no. 1, 23–25,

N5471009_PDF_29_29

N5471009_PDF_30_30

N5471009_PDF_31_31

đã đưa ra điều kiện giảm nhẹ để một hàm khả vi vô hạn thuộc vào không gian Schwartz.

Họ tách điều kiện của Schwartz thành hai điều kiện nhẹ hơn

\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\beta\varphi(x)|\le C_\beta, \sup_{x\in\mathbb R^n}|D^\alpha\varphi(x)|\le C_\alpha, \forall \alpha, \beta\in\mathbb Z^n_+\;\; (2).

Điều kiện

\sup_{x\in\mathbb R^n}|D^\alpha \varphi(x)|\le C_{\alpha}, \forall \alpha\in\mathbb Z^n_+

được suy ra bởi

\sup_{\xi\in\mathbb R^n}|\xi^\alpha \mathcal F\varphi(\xi)|\le C_{\alpha}, \forall \alpha\in\mathbb Z^n_+.

Thật vậy, có |D^\alpha \varphi(x)|=|\mathcal F^{-1}\big(\xi^\alpha\mathcal F\varphi(\xi)\big)(x)|.

|\xi^\alpha\mathcal F\varphi(xi)|\le C'_\alpha (1+||\xi||^2)^{-n}, \forall \xi\in\mathbb R^n,

nên \xi^\alpha\mathcal F\varphi(\xi)\in L^1(\mathbb R^n).

Do đó, D^\alpha\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R^n).

Như vậy, các tác giả trên đã đi đến kết luận rằng ta có thể đặc trưng không gian Schwartz là không gian các hàm khả vi vô hạn thỏa mãn các điều kiện

x^\alpha\varphi(x), \xi^\alpha\mathcal F\varphi(\xi)\in L^\infty(\mathbb R^n), \forall \alpha\in\mathbb Z^n_+\;\; (3).

Nếu \varphi\in\mathcal S(\mathbb R^n) rõ ràng \varphi thỏa mãn các điều kiện (3).

Nếu \varphi\in C^\infty(\mathbb R^n) thỏa mãn các điều kiện (3) thì nó thỏa mãn điều kiện (2).

Ta sẽ chứng minh điều kiện (2) suy ra (1) bằng quy nạp cho trường hợp 1-chiều. Đối với trường hợp nhiều chiều (chẳng hạn 2-chiều) dành cho độc giả.

Trước hết, ta lướt qua ý tưởng chứng minh.

Ta quy nạp theo |\alpha|, nghĩa là ở mỗi bước quy nạp

(i) Giả thiết quy nạp x^\beta D^\gamma \varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R^n), \forall |\gamma|<k, \beta\in\mathbb Z^n_+,

(ii)Kết luận x^\beta D^\alpha\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R^n), \forall |\alpha|=k, \beta\in\mathbb Z^n_+.

Để chứng minh

x^\beta D^\alpha \varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R^n)

ta để ý

\big(x^\beta D^\alpha\varphi(x)\big)^{n+1}=\int\limits_0^{x_n}dy_n\dots \int\limits_0^{x_1}\partial_n\dots\partial_1 \big(y^\beta D^\alpha\varphi(y)\big)^{n+1}dy_1

Như vậy, do D^\gamma\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R^n), \forall \gamma\in\mathbb Z^n_+, ta chỉ cần chứng minh

x^\beta D^\alpha\varphi(x)\in L^1(\mathbb R^n).

Lại do (1+||x||^2)^{-n}\in L^2(\mathbb R^n) nên từ Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta chỉ cần chứng minh

x^\alpha D^\alpha\varphi(x)\in L^2(\mathbb R^n).

Bây giờ, ta đi vào cụ thể từng bước khi số chiều 1.

Từ điều kiện (3) ta có ngay

x^l\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R), \forall l\in\mathbb Z_+.

Như vậy, bước đầu của phép chứng minh quy nạp hoàn thành!

Giả thiết quy nạp

x^l D^j\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R), \forall j<k, \forall l\in\mathbb Z_+.

Ta sẽ chứng minh

x^l D^k\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R), \forall l\in\mathbb Z_+.

Từ giả thiết quy nạp có x^l D^j\varphi(x), j<k, l\in\mathbb Z_+, là hàm giảm về 0 khi |x| tiến ra vô cùng. Do đó, từ Công thức tích phân từng phần

\int\limits_{\mathbb R} |x^lD^k\varphi(x)|^2dx=\big|{\int\limits_\mathbb R} \sum_{j=0}^k x^{2l-j} \bar{\varphi}(x)D^{2k-j}\varphi(x)dx|.

Mà theo (3)

x^l\varphi(x), D^j\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R), \forall j, l\in\mathbb Z_+,

(1+|x|^2)^{-1}\in L^1(\mathbb R)

nên x^l D^k\varphi(x)\in L^2(\mathbb R), \forall l\in\mathbb Z_+.

Từ Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz và (1+|x|^2)^{-1}\in L^2(\mathbb R)

\big(\int\limits_{\mathbb R}|x^l D^k\varphi(x)|dx\big)^{2} \le \int\limits_{\mathbb R}(1+|x|^2)^{-2}dx\int\limits_{\mathbb R}|(1+x^2)x^l D^k\varphi(x)|^2dx

nên x^l D^k\varphi(x)\in L^1(\mathbb R), \forall l\in \mathbb Z_+.

Lại có, khi l>0,

|(x^l D^k\varphi)^2|=|\int_0^x D(t^{2l} (D^k\varphi(t))^2)dt|\le

\le \int_0^x|2lt^{2l-1}(D^k\varphi(t))^2|dt+\int_0^x|2t^{2l}D^k\varphi(t)D^{k+1}\varphi(t)|dt\le

\le \int_{\mathbb R}|2lD^k\varphi(t)||t^{2l-1}D^k\varphi(t)|dt+

+\int_{\mathbb R}|2D^{k+1}\varphi(t)||t^{2l}D^{k}\varphi(t)|dt,

D^j\varphi(t)\in L^\infty(\mathbb R), t^jD^k\varphi(t)\in L^1(\mathbb R), \forall j\in \mathbb Z_+

nên x^lD^k\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R).

Khi l=0 thì D^k\varphi(x)\in L^\infty(\mathbb R) là giả thiết (3).

Vậy ta đã kết thúc chứng minh khi số chiều 1.

Với trường hợp số chiều n\ge 2 ta cần phải xử lý các đa chỉ số.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s