Bài tập về sự hội tụ đến hàm Dirac

Trong phần bài tập có bài

\mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\sqrt{\dfrac{2}{\pi\epsilon}}\cos{\dfrac{x^2}{\epsilon}}=\delta,

\mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}=\delta.

Hôm qua, ngày 03/11/2008, tôi có thử làm trên lớp câu sau nhưng vẫn chưa được!

Sau một hồi dẫn giải, điều cần chứng minh trở thành với mỗi \varphi \in \mathcal D(\mathbb R)

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int_0^M \psi(x) \sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0

với \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{x} khi x\not=0,

\psi(x)=0 khi x=0.

Dùng tích phân từng phần

\int_0^M \psi(x)\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx= -\epsilon\psi(x)\cos{\dfrac{x}{\epsilon}}\big|_0^M +\epsilon\int_0^M \psi'(x)\cos{\dfrac{x}{\epsilon}}dx.

Chú ý, \psi(x), \psi'(x) đều bị chặn nên ta có điều phải chứng minh khi cho \epsilon giảm về 0.

Bài còn lại cũng làm tương tự!

9 thoughts on “Bài tập về sự hội tụ đến hàm Dirac

  1. thiennguyen

    thưa thầy em xin lỗi vì không quen dùng latex.em phải copy công thức của thầy rồi sửa lại.em làm 1 tiếng rưỡi sửa đi sửa lại nhưng vẫn sai
    thưa thầy có phải nếu chứng minh hội tụ về hàm dirac như trong bài g_m(x)=c_m (1-x^2)^m khi |x|\le 1 và g_m(x)=0 khi |x|\ge 1 thì phải chứng minh cả tích phân
    \int_{\mathbb R}g_m(x)dx=1. nhưng nếu chứng minh hội tụ
    \mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\sqrt{\dfrac{2}{\pi\epsilon}}\cos{\dfrac{x^2}{\epsilon}}=\delta,
    thì không cần điều kiện đấy nữa ạ.
    tại sao bài này không xét \big|\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\big|\le M như bài hội tụ về hàm Dirac mà lại làm kiểu
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int_0^M \dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{x} \sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0
    em không thấy nó tương đương với tác động của
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int_0^M \varphi(x) \dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0
    mà em thấy cái
    \dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}} nó bằng vô cùng khi x khác 0 không giống hàm Dirac lắm.
    em cảm ơn thầy

  2. datuan5pdes

    Đẳng thức tích phân
    \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}dx=\dfrac{\pi}{2}
    em cứ dùng mà không cần chứng minh lại!
    Trước đây, tôi viết \mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{\pi\epsilon}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}=\delta là sai!
    Cần sửa \mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}} (thay \epsilon bằng x).
    Khi đó, thực chất của việc chứng minh \mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\mathbb R} (\varphi(x)-\varphi(0))\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0
    với \varphi\in\mathcal D(\mathbb R),
    mà với mỗi M>0
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{|x|>M}\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0
    nên ta chỉ cần chứng minh với M>0 sao cho supp\varphi\subset[-M, M]
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{-M}^M (\varphi(x)-\varphi(0))\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0.
    Do tính chẵn của hàm \dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}} theo x nên ta có thể chuyển thành
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{0}^M (\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0))\dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}dx=0.
    Chú ý rằng:
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{-M}^M \dfrac{1}{\pi}\Big|\sin{\dfrac{x}{\epsilon}}\Big|dx\not=0
    nên nếu chỉ dùng |\varphi(x)-\varphi(0)|\le C|x| không cho ta điều phải chứng minh!
    Ta cũng không thể dùng công thức giá trị trung bình như trong sách của R. P. Kanwal vì
    hàm \dfrac{1}{\pi x}\sin{\dfrac{x}{\epsilon}} nói chung đổi dấu!!!

  3. thiennguyen

    nhưng thưa thầy theo định nghĩa của hội tụ trong D’ thì chỉ cần tác động vào 1 hàm của không gian D.f(x)=1 không thuộc không gian D.như thế lẽ ra ta không cần điều kiện \int_{\mathbb R}g_m(x)dx=1 nữa.
    hàm
    \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{x}
    bị chặn vì giới hạn của nó tiến tới 0 bằng 2\varphi'(x) và hàm \varphi(x) bị chặn
    nhưng \psi'(x) em thử đạo hàm thì em không biết là nó tiến tới đâu khi x tiến tới 0
    nên em vẫn chưa biết sao \psi'(x) lại bị chặn.
    em cảm ơn thầy

  4. Pingback: Xấp xỉ đồng nhất | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s