Độ đo Radon – Hàm suy rộng có cấp 0

Cho \Omega là tập mở trong \mathbb R^n.

Tập \sigma-đại số Borel \sigma(\Omega)\sigma-đại số bé nhất chứa tất cả các tập mở trong \Omega.

Không gian C_0(\Omega) là không gian các hàm liên tục có giá compact trong \Omega, với tôpô đều (tôpô lấy chuẩn sup).

Có hai cách nói về độ đo Radon như sau.

– Thứ nhất: theo Lý thuyết độ đo:

+ xuất phát từ độ đo Borel là độ đo xác định trên \sigma(\Omega),

+ độ đo Radon \mu là độ đo Borel, hữu hạn trên tất cả các tập compact,

chính quy ngoài trên mọi tập Borel E:

\mu(E)=\inf\{\mu(U)| ; E\subset U, U mở \},

chính quy trong trên mọi tập mở E:

\mu(E)=\sup\{\mu(K)|; K\subset E, K compact\};

+ độ đo dấu Radon (signed Radon measures) là hiệu của hai độ đo Radon;

+ độ đo phức Radon (complex Radon measures) là độ đo giá trị phức với phần thực và ảo là các độ đo dấu Radon.

-Thứ hai theo cách Lý thuyết hàm suy rộng:

+độ đo Radon \mu: hàm suy rộng dương, nghĩa là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên \mathcal D(\Omega) sao cho

\langle \mu, \varphi\rangle=\int_\Omega \varphi(x)d\mu\ge 0, \forall \varphi\ge 0;

+độ đo phức Radon \mu: hàm suy rộng cấp 0, nghĩa là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên \mathcal D(\Omega) và thỏa mãn

|\langle \mu, \varphi\rangle|=|\int_\Omega \varphi(x)d\mu|\le C\sup_\Omega |\varphi(x)|, \forall \varphi\in\mathcal D(\Omega);

và như vậy, nó có thể thác triển lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên C_0(\Omega).

7 thoughts on “Độ đo Radon – Hàm suy rộng có cấp 0

  1. HN2282

    Thưa thầy liệu với hai định nghĩa trên có tương đương với nhau không
    Với cách định nghĩa thứ nhất độ đo là một hàm tập từ tập các tập hợp trên \Omega vào tập số thực
    còn với cách định nghĩa thứ hai thì nó lại là phiếm hàm từ tập các hàm liên tục có giá compact vao tập C

  2. Pingback: Cấp của hàm suy rộng | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  3. Pingback: Độ đo Monge-Ampere | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  4. Pingback: Hàm Dirac – cực điểm trong tập các độ đo Borel xác suất | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s