Công thức tổng Poisson – Định lý Mittag-Leffler

Ta dễ dàng kiểm tra sự hội tụ của chuỗi:

S(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{t^2+n^2}, t\ge 0.

Vậy nó hội tụ đến đâu?

Bằng việc khai triển chuỗi Fourier cho hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi

f(x)=x^2, -\pi\le x\le \pi

ta tính được S(0)=\dfrac{\pi^2}{6}.

Với t>0, việc sử dụng khai triển Fourier là rất khó!!!

Có hai cách tính chuỗi S(t), t>0.

+Thứ nhất, dùng Công thức tổng Poisson:

\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \varphi(2n\pi)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}\sum\limits_{n=-\infty}^\infty F\varphi(n),

với F\varphi(n)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb R}e^{inx}\varphi(x)dx,

cho hàm F\varphi(\xi)= e^{-t|\xi|}, \varphi(x)=2(2\pi)^{-\frac{1}{2}}\dfrac{t}{t^2+x^2}

\dfrac{e^{2\pi t}+1}{e^{2\pi t}-1}=\dfrac{1}{\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^\infty \dfrac{t}{t^2+n^2}.

Vậy S(t)= \dfrac{1}{2t}\Big(\pi\dfrac{e^{2\pi t}+1}{e^{2\pi t}-1}-\dfrac{1}{t}\Big).

+Thứ hai dùng Định lý Mittag-Leffler có:

\pi \cot(\pi z)=\dfrac{1}{z}+ \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2z}{z^2-n^2},

với \cot(\pi z)=\pi i \dfrac{e^{\pi iz}+e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}}

với z=it.

5 thoughts on “Công thức tổng Poisson – Định lý Mittag-Leffler

  1. datuan5pdes

    Định lý Mittag-Leffler (“Complex Analysis” của L. V. Ahlfos, trang 187-188):
    Cho dãy \{b_\nu\} là dãy số phức với \lim\limits_{\nu\to\infty}b_\nu=\infty,P_\nu là các đa thức không có số hạng hằng. Khi đó, tồn tại các hàm phân hình trên toàn mặt phẳng với các cực điểm b_\nu và các phần kỳ kị tương ứng P_\nu\big(\frac{1}{z-b_\nu}\big). Hơn nữa, hàm phân hình tổng quát nhất kiểu như vậy có thể viết dưới dạng:
    f(z)=\sum\limits_{\nu}\Big[P_\nu\big(\dfrac{1}{z-b_\nu}-p_\nu(z)\big)\Big]+g(z)
    trong đó p_\nu(z) là các đa thức được chọn thích hợp, g(z) là hàm chỉnh hình trên toàn không gian.

  2. datuan5pdes

    Trong ứng dụng trên, áp dụng Định lý Mittag-Leffler cho dãy b_n=n, các đa thức P_n(z)=z^2. Hàm phân hình \dfrac{\pi^2}{\sin^2{(\pi z)}} có các cực điểm bội hai tại b_n=n nên phần kỳ dị tương ứng P_n(\frac{1}{z-n})=\dfrac{1}{(z-n)^2}.
    Chuỗi
    \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{(z-n)^2}
    hội tụ khi z\not=n
    nên
    \dfrac{\pi^2}{\sin^2{(\pi z)}}=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{(z-n)^2}+g(z)
    với g(z) là hàm chỉnh hình.
    Từ Định lý Liouville g(z)=0.
    Lấy nguyên hàm hai vế
    \pi cot (\pi z)=\dfrac{1}{z}+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2z}{z^2-n^2}.

  3. datuan5pdes

    Trong cuốn
    “Advanced Calculus” của Gerald B. Folland
    cho ta cách tính tổng S(t)
    nhờ việc khai triển Fourier của hàm số
    e^{tx}, -\pi<x<\pi.
    Khai triển Fourier của hàm e^{tx} trong khoảng (-\pi, \pi) có dạng
    \dfrac{e^{t\pi}-e^{-t\pi}}{2b\pi}+
    +\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nb(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}{n^2+b^2}\cos{(nx)}-
    -\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nn(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}{n^2+b^2}\sin{(nx)}.
    Ta thác triển hàm e^{tx}, -\pi<x<\pi lên thành hàm f(x) tuần hoàn chu kỳ 2\pi toàn đường thẳng. Hàm này liên tục tại x=0 nên
    e^{0t}=1=
    =\dfrac{e^{t\pi}-e^{-t\pi}}{2t\pi}+
    +\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^nt(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}{n^2+t^2}
    hay
    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n^2+t^2}=\dfrac{1}{t(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}-\dfrac{1}{2t^2\pi}.
    Hàm f(x) gián đoạn loại I tại x=\pi nên
    \dfrac{f(\pi_+)+f(\pi_-)}{2}=\dfrac{e^{t\pi}+e^{-t\pi}}{2}=
    =\dfrac{e^{t\pi}-e^{-t\pi}}{2t\pi}+
    +\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{t(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}{n^2+t^2}
    hay
    \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2+t^2}=\dfrac{e^{t\pi}+e^{-t\pi}}{2t(e^{t\pi}-e^{-t\pi})}-\dfrac{1}{2t^2\pi}.

  4. Pingback: Công thức Poisson – Công thức tổng Poisson « Giải tích

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s