Định lý “Edge of the Wedge”

Định lý “Edge of the Wedge” liên quan đến cái gọi là hyperfunctions. Hyperfunctions trên \mathbb R được định nghĩa là hàm chỉnh hình trên \mathbb C\setminus \mathbb R chia thương cho không gian các hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức \mathbb C, nghĩa là hai hyperfunctions bằng nhau nếu hiệu của chúng có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên \mathbb C. Hoặc hiểu một cách nôm na, hyperfunction là bước nhảy từ nửa mặt phẳng dưới lên nửa mặt phẳng trên của hàm chỉnh hình trên \mathbb C\setminus\mathbb R.

Định lý “Egde of the Wedge” tìm điều kiện để hai hyperfunctions bằng nhau. Nói cách khác, Định lý “Edge of the Wedge” cho ta một đặc trưng cho phần tử không của không gian các hyperfunctions.

Định lý được phát biểu như sau.

Cho S là một nón mở trong \mathbb R^n và số thực dương r.

Đặt V=\{x\in S|\; ||x||<r\}, -V=\{-x|\; x\in V\}.

Lấy E là một tập mở trong \mathbb R^n.

Đặt W^+=E+iV, W^-=E-iV.

Khi đó, định lý “Edge of the Wedge” khẳng định rằng có một tập mở \Omega\subset \mathbb C^n chứa W^+\cup E \cup W^- sao cho:

nếu hàm liên tục f: W^+\cup E \cup W^- \to \mathbb C chỉnh hình trong W^+\cup W^- và tồn tại giới hạn sau:

\mathcal D'_{-}\lim\limits_{y\to 0} f(.+ iy)

hay cụ thể hơn tồn tại giới hạn

\lim\limits_{y\to 0}\int_E f(x+iy)\varphi(x)dx

với mọi \varphi \in C_0^\infty(E), chú ý y\in V\cup (-V),

thì hàm f có thể thác triển thành hàm chỉnh hình trên \Omega.

One thought on “Định lý “Edge of the Wedge”

  1. datuan5pdes

    Có thể thấy hyperfunction xuất hiện khi có bước nhảy từ nửa mặt phẳng phức dưới lên nửa mặt phẳng phức trên.

    Hàm suy rộng được khởi xướng từ P. M. A. Dirac bắt đầu từ hàm Dirac cũng xuất hiện khi có bước nháy!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s