Biến đổi Fourier trong không gian L^p

Trong bài này, tôi sử dụng biến đổi Fourier

\mathcal F f(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\int_{\mathbb R}e^{-ix\xi}f(x)dx.

Khi đó , nếu f\in L^1(\mathbb R) thì biến đổi Fourier \mathcal F f là xác định và

|\mathcal Ff(\xi)|\le C||\mathcal F f||_{L^1}, \forall \xi\in\mathbb R.

Nói cách khác biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^1(\mathbb R) vào L^\infty(\mathbb R).

Còn nếu f\in L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R) ta có đẳng thức Plancherel

||\mathcal F f||_{L^2}=||f||_{L^2}.

Nói cách khác biến đổi Fourier là một ánh xạ đẳng cấu và bảo toàn chuẩn trong L^2(\mathbb R).

Như vậy, từ Lý thuyết nội suy có biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^p(\mathbb R) vào L^q(\mathbb R) với

1\le p\le 2, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1.

Tuy nhiên, điều tương tự không xảy ra khi p>2. Thật vậy, biến đổi Fourier không là ánh xạ từ L^p(\mathbb R) vào L^q(\mathbb R) khi p>2.

Để làm điều này, ta sẽ lấy một dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty bị chặn trong L^p (\mathbb R), p>2 và trong L^q(\mathbb R) dãy chuẩn \{||\mathcal F\varphi_j||_{L^q}\}_{j=1}^\infty tiến ra vô cùng.

Ta chọn dãy \varphi_k(x)=e^{-(1-ik)x^2}. Không khó khăn để thấy biến đổi Fourier \mathcal F \varphi_k thỏa mãn bài toán Cauchy:

2(1-ik)\dfrac{d\mathcal F\varphi_k}{d\xi}(\xi)-\xi\mathcal F \varphi_k(\xi)=0,

với điều kiện ban đầu \mathcal F\varphi(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2(1-ik)}}

nên \mathcal F\varphi_k(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2(1-ik)}}e^{-\frac{(1+ik)\xi^2}{4(1+k^2)}}.

Khi đó chuẩn trong L^p(\mathbb R):

||\varphi_k||_{L^p}=\dfrac{\pi^{1/2p}}{p^{1/2p}};

còn chuẩn trong L^q(\mathbb R)

||\mathcal F\varphi_k||_{L^q}=\dfrac{2^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}(1+k^2)^{\frac{1}{2q}-\frac{1}{4}}\pi^{1/2q}}{q^{1/2q}}.

Lưu ý rằng 1\le q<2 nên khi k tiến ra vô cùng ||\mathcal F\varphi_k||_{L^q} sẽ tiến ra vô cùng.

6 thoughts on “Biến đổi Fourier trong không gian L^p

  1. datuan5pdes

    Biến đổi Fourier của hàm xác định trên đường tròn \mathbb T=\mathbb R / 2\pi\mathbb Z (cũng có thể coi là hàm tuần hoàn chu kỳ 2\pi trên \mathbb R) cũng có tình trạng tương tự trên.

    Cụ thể chuỗi Fourier của một hàm f\in L^1(\mathbb T) có hệ số được tính
    \hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb T}f(x)dx.
    Khi đó, không khó khăn gì có dãy hệ số \{\hat{f}(n)\}_{n=1}^\infty\in \ell^\infty(\mathbb Z)
    ||\{\hat{f}(n)\}||_{\ell^\infty}\le C||f||_{L^1}.
    Nói cách khác, biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^1(\mathbb T) vào \ell^\infty(\mathbb Z).
    Thay cho đẳng Plancherel, ta có đẳng thức Paserval cho f\in L^2(\mathbb T):
    ||\hat{f}(n)||_{\ell^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}||f||_{L^2}.
    Nói cách khác, biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính từ L^2(\mathbb T) vào \ell^2(\mathbb Z).
    Từ Lý thuyết nội suy, biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^p(\mathbb T) vào \ell^q(\mathbb Z) khi 1\le p\le 2.
    Với p>2 thì 1\le q<2. Có một khẳng định rằng, tồn tại một hàm liên tục f\in C(\mathbb T)
    \sum_{n\in\mathbb Z}|\hat{f}(n)|^q=\infty.
    Lưu ý rằng: nếu 1\le k\le 2\le l \le \infty
    C(\mathbb T)\subset L^\infty(\mathbb T)\subset L^l(\mathbb T)\subset L^2(\mathbb T)\subset L^k(\mathbb T) \subset L^1(\mathbb T).

  2. datuan5pdes

    Một cách đối ngẫu, ta cũng có biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ \ell^p(\mathbb Z) vào L^q(\mathbb T) khi 1\le p\le 2. Nói chính xác hơn, với mỗi dãy \{a_n\}_{n=1}^\infty\in\ell^p(\mathbb Z) đều có duy nhất một hàm f\in L^q(\mathbb T) sao cho:
    \hat{f}(n)=a_n||f||_{L^q}\le C||\{a_n\}_{n=1}^\infty||_{\ell^p}.

  3. datuan5pdes

    Từ khẳng định rằng, tồn tại f\in C(\mathbb T) để
    \sum_{n=1}^\infty |\hat{f}(n)|^p=\infty khi 1\le p<2
    cũng dẫn đến biến đổi Fourier từ L^p(\mathbb T) không vào \ell^p(\mathbb Z).
    Tuy nhiên với 2\le p\le \infty biến đổi Fourier của hàm tuần hàm cũng là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^p(\mathbb T) vào \ell^p(\mathbb Z).
    Thật vậy, với 2\le p\le \infty có phép nhúng
    L^p(\mathbb T)\subset L^q(\mathbb T).
    Lại có biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ L^q(\mathbb T) vào \ell^p(\mathbb Z) nên ta có được khẳng định trên.

  4. datuan5pdes

    Biến đổi Fourier của hàm xác định trên \mathbb R không có tính chất trên, nghĩa là nó không là ánh xạ từ L^p(\mathbb R) vào chính nó với mọi 1\le p\le \infty, p\not=2.
    Để làm việc này ta cũng sử dụng ý tưởng chọn dãy \varphi_k(x)=e^{-k^2x^2} hay \varphi_k(x)=e^{-\frac{x^2}{k^2}}.

  5. Pingback: Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s