Hội tụ về hàm Dirac (tiếp)

Trong bài giảng ngày 08/09/2009, tôi có yêu cầu chữa bài tập về sự hội tụ tới hàm Dirac của dãy hàm sau:

g_m(x)=c_m (1-x^2)^m khi |x|\le 1g_m(x)=0 khi |x|\ge 1;

trong đó c_m=\dfrac{(2m+1)!}{2^{2m+1}(m!)^2}.

Dĩ nhiên c_m là hằng số để \int_{\mathbb R}g_m(x)dx=1. Thật vậy, điều này được chứng minh qua công thức truy hồi:

I_m=\int_{-1}^1 (1-x^2)^mdx=\int_{-1}^1(1-x^2)^{m-1}dx+\int_{-1}^1 xd\frac{(1-x^2)^m}{2m}

=I_{m-1}-\dfrac{I_m}{2m}.

Đầu tiên nhờ công thức Stirling:

n! xấp xỉ (2\pi)^{1/2} n^{n+1/2} e^{-n} khi n\to\infty

ta có

c_m xấp xỉ (2\pi)^{-1/2}(2m+1)^{1/2} khi m\to\infty\;\;\; (1).

Lại để ý rằng với \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R) có một số dương M để

\big|\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}\big|\le M với mọi x\in\mathbb R.

Khi đó

|\int_{\mathbb R}g_m(x)(\varphi(x)-\varphi(0))dx|\le M\int_{-1}^1 c_m (1-x^2)^m |x| dx

\int_{-1}^1(1-x^2)^m|x|dx=\dfrac{1}{m+1}

nên từ (1) ta có điều phải chứng minh.

2 thoughts on “Hội tụ về hàm Dirac (tiếp)

  1. Pingback: Xấp xỉ đồng nhất | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s