Hàm suy rộng có cấp vô hạn

Trên đường thẳng \mathbb R xét hàm suy rộng:

\langle f, \varphi\rangle=\sum_{j=1}^\infty \varphi^{(j)}(j)

trong đó \varphi^{(j)} được hiểu là đạo hàm cấp j của hàm \varphi.

Buổi sáng ngày 05/10/2009, tôi có trao đổi với nhóm trình bày về việc chứng minh f là hàm suy rộng cấp vô hạn. Cụ thể, ta sẽ chỉ ra dãy hàm \phi_j\in\mathcal D(\mathbb R) sao cho

|\langle f, \phi_j\rangle|>j \sum_{k\le j} \sup_{x\in \mathbb R}|\phi^{(k)}_j(x)|.

Như trong giáo trình, Ví dụ 11, ta chọn \phi_j(x)=(x-j)^j \phi(\frac{x-j}{\epsilon_j}) với \epsilon_j>0 được chọn sau.

Ta có thể chọn \epsilon_j<1/2.

Trong buổi trao đổi, điều vướng mắc nằm ở chỗ

\phi^{(k)}_j(k)=0 khi k\not=j.

Để ý rằng supp\phi_j \subset supp\phi(\frac{x-j}{\epsilon_j})\subset (j-\epsilon_j, j+\epsilon_j)

0<\epsilon_j<1/2 nên

supp\phi^{(k)}_j\subset supp\phi_j\subset (j-1/2, j+1/2).

Từ đó, khi số nguyên k\not=j

\phi^{(k)}_j(k)=0.

6 thoughts on “Hàm suy rộng có cấp vô hạn

  1. Hà trọng Hậu

    thầy cho bọn em hỏi!bọn em cần chứng minh [x]’=iii(x)
    hàm [x] khả tích trên những đoạn [n,n+1]
    ta có được :=-=-∑∫[x]f'(x)dx trong đó tích phân lấy trên đoạn [n,n+1],
    tổng chạy n=-∞ đến +∞!vì f là hàm thuộc không gian hàm cơ bản nên nó chỉ có giá trị khác 0 trong một khoảng hữu hạn,nên bọn em thấy thực chất
    -∑∫[x]f'(x)dx là hữu hạn!nhưng tác động của hàm iii(x) :
    lại cho ta bằng vô cùng tại những điểm nguyên thuộc giá của f!đến đây bọn em không biết chứng minh [x]’=iii(x) là như thế nào hả thầy?

  2. datuan5pdes

    Đầu tiên ta cần hiểu
    III(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(x-n)
    là gì?
    Nó là hàm suy rộng xác định như sau:
    \varphi\to \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\varphi(n).
    Tổng trên về mặt hình thức là tổng vô hạn, nhưng thực chất chỉ là tổng hữu hạn vì \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R).
    Tiếp đến ta cần hiểu đạo hàm suy rộng của hàm phần nguyên [x] là gì?
    Lấy \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R). Do giá của \varphi compact nên có một số nguyên dương N_0 để supp\varphi\subset [-N_0, N_0].
    Khi đó [x]' được xác định
    \varphi\to -\int_{-N_0}^{N_0}[x]\varphi'(x)dx=\sum\limits_{k=-N_0}^{N_0-1}\int_k^{k+1}k\varphi'(x)dx
    hay
    \langle [x]', \varphi\rangle=\sum_{k=N_0+1}^{N_0-1}\varphi(k).
    Lưu ý rằng lúc đó:
    \langle III(x), \varphi\rangle=\sum_{k=N_0+1}^{N_0-1}\varphi(k).

  3. Hà trọng Hậu

    Trước khi hỏi thầy bọn em cũng đã biến đổi ra đến
    =tổng tích phân lấy trên mỗi đoạn nguên [k,k+1] của kf'(x)dx nhưng hàm f có phải hàm tuyến tính đâu mà có được k[f(k+1)-f(k)]=kf(1)=f(k) ạ???

  4. datuan5pdes

    Nếu tôi hiểu không nhầm thì em hỏi định nghĩa thế nào là hàm suy rộng \delta^+, \delta^-, Pf(1/x)?
    Các định nghĩa này, nằm ở trang 25, 26 trong sách của Ram. P. Kanwal.
    Cụ thể như sau:
    Pf(1/x): \varphi\to \langle Pf(1/x), \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int_{|x|>\epsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx,
    \delta^+: \varphi \to \langle \delta^+, \varphi\rangle=-\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{\varphi(x)}{x+i\epsilon}dx,
    \delta^-: \varphi \to \langle \delta^-, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{\varphi(x)}{x-i\epsilon}dx
    với \varphi\in \mathcal D(\mathbb R).
    Các tích phân này khá giống tích phân suy rộng, nghĩa là cần chỉ ra một điều các tích phân này hội tụ khi \epsilon giảm dần về 0.
    Đặc biệt Pf(1/x) được định nghĩa như là giá trị chính của tích phân.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s