Kiểm tra giữa kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

kiemtragiuakyK51

Tôi đã chấm xong bài thi giữa kỳ môn Hàm suy rộng và gửi bảng điểm vào hòm thư  của lớp K51A1T trên khoa Toán.

Chỉ có một bài điểm 10 của Hà Trọng Hậu. Thấp nhất là 0,5 điểm.

Cả hai nhóm đều vướng vào chuyện:

\int\limits_0^1 \dfrac{1}{x}dx=+\infty, \int\limits_0^1\dfrac{1}{x^2}dx=+\infty.

22 thoughts on “Kiểm tra giữa kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

  1. datuan5pdes

    Đáp án đề nhóm 1:

    Xét ánh xạ f:\mathcal D(\mathbb R) \to \mathbb C xác định bởi
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon<|x|<1}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx, \varphi\in \mathcal D(\mathbb R).
    Một số người dùng hàm
    \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} khi x\not=0,
    \psi(0)=\varphi'(0);
    hoặc có thể dùng hàm
    \phi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{x} khi x\not=0,
    \phi(0)=2\varphi'(0).
    Chú ý:
    \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon<|x|<1}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx=\int\limits_{|x|<1}\psi(x)dx=\int\limits_{0<x<1}\phi(x)dx.
    Từ đó kiểm tra f\in \mathcal D'(\mathbb R).
    Giá của f bằng [-1, 1]. Khó nhất là kiểm tra 0\in supp f.
    Cấp của f nhỏ hơn 2 vì cỡ của \psi(x), \phi(x) bằng cỡ của \varphi'(x).
    Nguyên hàm suy rộng của fln|x|+C.
    Đạo hàm suy rộng của f là phiếm hàm
    Df:\varphi\to -(\varphi(1)+\varphi(-1)+\int\limits_0^1 \dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{x^2}dx).

      1. datuan5pdes

        Hàm suy rộng trên có thể “xem” như hàm thông thường

        f(x)=\dfrac{1}{x} khi 0<|x|<1,

        f(x)=0 khi |x|>1.

        Ta đoán "mò" nguyên hàm của f

        F(x)=ln|x|+C_1 khi 0<|x|<1,

        F(x)=C_2 khi |x|>1.
        Khớp tại các đầu mút x=\pm 1C_1=C_2=C.

        Như vậy nguyên hàm suy rộng ta đoán có dạng

        \langle F, \varphi\rangle = \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon\le |x|\le 1}\varphi(x) ln|x|dx+
        +\int\limits_{\mathbb R} C\varphi(x)dx.

        Ta còn phải chính xác hóa phán đoán trên bằng việc kiểm tra

        \langle DF, \varphi\rangle=\langle f, \varphi\rangle?

        Việc này em thử tự làm nhé.

      2. datuan5pdes

        Tính đạo hàm suy rộng của hàm suy rộng f chỉ cần dùng định nghĩa và vài phép biến đổi tích phân. Chỉ lưu ý nó sẽ có dạng gần giống f (được coi như 1/x), đạo hàm suy rộng của f được coi như (-1/x^2).

      3. datuan5pdes

        Công thức tích phân suy rộng em vừa viết nói chung không hội tụ!

        Việc có công thức ta chỉ cần biến đổi

        \int\limits_{\epsilon<|x|<1}\dfrac{\varphi^{,}(x)}{x}dx=\int\limits_{-1}^{-\epsilon}\dfrac{\varphi^{,}(x)}{x}dx+\int\limits_\epsilon^1\dfrac{\varphi^{,}(x)}{x}dx

        nhờ tích phân từng phần.

        Lưu ý sau khi biến đổi sẽ xuất hiện

        \dfrac{\varphi(\epsilon)+\varphi(-\epsilon)}{\epsilon}.

        Số hạng này sẽ không hội tụ khi cho \epsilon giảm về 0.

        Ta cần thêm bớt số hạng

        \dfrac{2\varphi(0)}{\epsilon}=-\int\limits_\epsilon^1\dfrac{2\varphi(0)}{x^2}dx.

  2. datuan5pdes

    Đáp án đề nhóm 2:
    Xét ánh xạ f:\mathcal D(\mathbb R)\to \mathbb C xác định như sau:
    \langle f, \varphi\rangle=\iint\limits_{|x|<1, |y|<1}(x+y)\varphi(x, y)dxdy.
    Giá của f[-1, 1]\times[-1, 1] là tập compact nên cấp của nó bằng 0.
    Đạo hàm suy rộng D^{(1, 0)}f xác định như sau:
    \varphi\to \int\limits_{-1}^1 ((y-1)\varphi(-1, y)-(y+1)\varphi(1, y) +\int\limits_{-1}^1\varphi(x, y)dx)dy.
    Để chứng minh \mathcal D'_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\dfrac{2n}{\pi}}\cos{(nx^2)}=\delta
    ta dùng hàm
    \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{x^2} khi x\not=0,
    \psi(0)=\varphi"(0)
    là hàm bị chặn.
    Khi đó điều phải chứng minh tương đương với
    \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^M \sqrt{\dfrac{2n}{\pi}}\cos{(nx^2)}x^2\psi(x)dx=0
    với mọi M>0 sao cho supp\varphi\subset[-M, M]
    \int\limits_{\mathbb R}\cos{(x^2)}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}.

      1. datuan5pdes

        Dãy \varphi_n dùng để chứng minh f có cấp không nhỏ hơn 1? (tôi không nhớ lắm!). Từ đó kết hợp với việc f có cấp nhỏ hơn 2 (nghĩa là nhỏ hơn hay bằng 1) ta được f có cấp bằng 1.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s