Hợp thành của hàm suy rộng Dirac và hàm thông thường

Trong  phần bài tập giao cho lớp K51A1T có những bài yêu cầu tính toán các hàm suy rộng kiểu

\delta(x^2-a^2), \delta(\sin{x}).

Thoạt nhìn tôi chưa hiểu các hàm suy rộng kiểu này!

Để hiểu chúng  ta đi từng bước như sau.

Xét hàm g: \Omega_1\to\Omega_2 là phép vi phôi (nghĩa là khả vi vô hạn, song ánh và ánh xạ ngược g^{-1} cũng khả vi vô hạn), với \Omega_1, \Omega_2 là các tập mở trong \mathbb R^n.

Dễ dàng kiểm tra ánh xạ \varphi \to \varphi o g là ánh xạ tuyến tính liên tục từ \mathcal D(\Omega_2)\to \mathcal D(\Omega_1).

Từ đó, không khó khăn gì ta có ánh xạ biến mỗi hàm suy rộng f\in \mathcal D'(\Omega_2) thành hàm suy rộng f o g trên \Omega_1 xác định bởi

\langle f(g(x)), \varphi(x)\rangle=\langle f(y), |Jg^{-1}(y)|\varphi(g(y))\rangle

là ánh xạ tuyến tính liên tục!

Hàm suy rộng \delta(g(x)) được hiểu như sau.

Lấy một dãy hàm \varphi_k\in C^\infty_0(\mathbb R^n) sao cho \delta=\mathcal D'_{-}\lim\limits_{k\to\infty}\varphi_k.

Từ đó, ta có \delta(g(x))=\mathcal D'_{-}\lim\limits_{k\to\infty}\varphi_k(g(x)).

Trong trường hợp \Omega_2 không chứa gốc ta sẽ hiểu hàm Dirac như hàm suy rộng 0 trong \mathcal D'(\Omega_2) vì mỗi hàm \varphi\in C_0^\infty(\Omega_2) có thể coi như hàm xác định trên toàn không gian \mathbb R^n với giá nằm trong \Omega_2. Như vậy, \delta(g(x))=0 trong \Omega_1.

Trong trường hợp \Omega_2 chứa  gốc nghĩa là sẽ có một điểm x_0\in \Omega_1 để g(x_0)=0. Ta có

\langle \varphi_k(g(x)), \varphi(x)\rangle=\langle \varphi_k(y), |Jg^{-1}(y)|\varphi(g(y))\rangle

nên

\lim\limits_{k\to\infty}\langle \varphi_k(g(x)), \varphi(x)\rangle=\langle\delta(y), |Jg^{-1}(y)|\varphi(g(y))\rangle=\dfrac{\varphi(x_0)}{|Jg(x_0)|}.

Như vậy, ta có thể hiểu được \delta(x+a) là hàm suy rộng:

\langle \delta(ax-b), \varphi(x)\rangle=\dfrac{\varphi(b/a)}{a} với g(x)=ax+b, a\not=0.

Quay trở lại việc tìm hiểu hàm suy rộng kiểu \delta(x^2-a^2), \delta(\sin{x}) ta cần xét tới hàm g\in C^\infty(\mathbb R; \mathbb R) có tính chất tập các điểm tới hạn \{x|\; g'(x)=0\} không chứa không điểm của g. Khi đó, hàm suy rộng \delta(g(x)) được hiểu như nào?

Nếu g không có không điểm nào thì \delta(g(x))=0.

Nếu g có không điểm thì tập không điểm của g là tập rời rạc vì nếu nó có điểm tụ thì tại đó g và đạo hàm của nó cùng bằng 0. Ta có thế đánh số tập không điểm của g gồm: x_1, x_2, \dots (có thế vô hạn đếm được hoặc hữu hạn).

Tại mỗi điểm x_k đều có một lân cận (x_k-\epsilon_k, x_k+\epsilon_k) không chứa bất kỳ x_j, j\not=k, và đạo hàm g' không đổi  dấu hay hàm g:(x_k-\epsilon_k, x_k+\epsilon_k)\to g(x_k-\epsilon_k, x_k+\epsilon_k) là một phép vi phôi. Khi đó, trên (x_k-\epsilon_k, x_k+\epsilon_k) hàm suy rộng \delta(g(x)) xác định bởi:

\langle \delta(g(x)), \varphi(x)\rangle=\dfrac{\varphi(x_k)}{|g'(x_k)|}, \varphi\in C_0^\infty(x_k-\epsilon_k, x_k+\epsilon_k).

Trên tập U_0=\mathbb R\setminus (\cup_{k}(x_k-\frac{\epsilon_k}{2}, x_k+\frac{\epsilon_k}{2})) hàm g không có không điểm nên \delta(g(x))=0 trên đó!

Xây dựng một phân hoạch đơn vị \{\psi_k\} ứng với phủ \{U_k\} của đường thẳng thực \mathbb R.

Khi đó, trên \mathbb R hàm suy rộng \delta(g(x)) được hiểu như sau

\langle \delta(g(x)), \varphi(x)\rangle=\langle\delta(g(x)), \sum\limits_{k}\psi_k(x)\varphi(x)\rangle=\sum\limits_{k}\dfrac{\varphi(x_k)}{|g'(x_k)|}.

Lưu ý rằng tổng sau là tổng hữu hạn vì giá của \varphi là tập compact và trong mỗi tập compact chỉ chứa hữu hạn không điểm của g.

Như vậy, hàm suy rộng \delta(x^2-a^2) được hiểu

\langle \delta(x^2-a^2), \varphi(x)\rangle=\dfrac{\varphi(a)+\varphi(-a)}{2a}

và hàm suy rộng \delta(\sin(x)) được hiểu

\langle \delta(\sin(x)), \varphi(x)\rangle=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\varphi(k\pi).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s