Định lý Paley-Wiener-Shwartz cho tập lồi

Định lý Paley-Wiener khẳng định rằng nếu hàm u\in C^\infty_0(\mathbb R^n) có giá nằm trong hình cầu B_R(0) thì với mỗi số thực N, biến đổi Fourier \psi(\zeta)=\mathcal F u(\zeta)  có đánh giá:

|\psi(\zeta)|\le C_N(1+||\zeta||)^{N}e^{R||Im\zeta||}, \forall \zeta\in\mathbb C^n.

Còn Định lý Paley-Wiener-Shwartz khẳng định nếu hàm suy rộng u\in \mathcal E'(\mathbb R^n)

có giá nằm trong hình cầu B_R(0) thì có một số thực N, biến đổi Fourier \psi(\zeta)=\mathcal F u(\zeta) có đánh giá:

|\psi(\zeta)|\le C_N(1+||\zeta||)^{N}e^{R||Im\zeta||}, \forall \zeta\in\mathbb C^n.

Để ý rằng hàm H(\xi)=R||\xi||, \xi\in\mathbb R^n chính là hàm tựa (supporting function) của hình cầu B_R(0) nghĩa là

B_R(0)=\{ x\in\mathbb R^n|\; \langle x, \xi\rangle\le H(\xi), \forall \xi\in \mathbb R^n\}.

Ngoài ra, trong khi chứng minh yếu tố đánh giá chính là:

\langle x, \xi\rangle\le R||\xi||, \forall x\in B_R(0) \forall \xi\in\mathbb R^n.

Ta lại biết rằng trên mỗi tập lồi compact K\subset\mathbb R^n xác định một hàm tựa:

H(\xi)=\sup\limits_{x\in K}\langle x, \xi\rangle.

Hàm tựa H(\xi) là một hàm lồi, thuần nhất dương.

Ngược lại với mỗi hàm lồi thuần nhất dương H:\mathbb R^n\to \mathbb R đều xác định một tập lồi compact:

K=\{x\in\mathbb R^n|\; \langle x, \xi\rangle\le H(\xi), \forall \xi\in\mathbb R^n\}

có hàm tựa chính là hàm H.

Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc mở rộng Định lý Paley-Wiener-Schwartz cho tập lồi như  sau.

Cho tập lồi compact K với hàm tựa H.

Hàm giải tích \psi: \mathbb C^n \to \mathbb C là biến đổi Fourier của một hàm u\in C^\infty_0(\mathbb R^n) với giá supp u\subset K

khi và chỉ khi

với mỗi số thực N đều có một số dương C_N để

|\psi(\zeta)|\le C_N(1+||\zeta||)^{N}e^{H(Im\zeta)}, \forall \zeta\in\mathbb C^n.

Hàm giải tích \psi: \mathbb C^n \to \mathbb C là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng u\in \mathcal E'(\mathbb R^n) với giá supp u\subset K

khi và chỉ khi

có một số thực N và một số dương C_N để

|\psi(\zeta)|\le C_N(1+||\zeta||)^{N}e^{H(Im\zeta)}, \forall \zeta\in\mathbb C^n.

One thought on “Định lý Paley-Wiener-Shwartz cho tập lồi

  1. datuan5pdes

    Một vài ví dụ về hàm tựa của tập lồi.

    Hình cầu đơn vị trong \mathbb R^n với chuẩn
    ||(x_1, x_2, \dots, x_n)||_{\infty}=\max\{|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|\}
    có hàm tựa
    H(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)=\sum\limits_{j=1}^n|\xi_j|.
    Hình cầu đơn vị trong \mathbb R^n với chuẩn
    ||(x_1, x_2, \dots, x_n)||_{1}=\sum\limits_{j=1}^n|x_j|
    có hàm tựa
    H(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)=||(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)||_{\infty}.
    Hình cầu đơn vị trong \mathbb R^n với chuẩn
    ||(x_1, x_2, \dots, x_n)||_{p}=(\sum\limits_{j=1}^n|x_j|^p)^{1/p}
    có hàm tựa
    H(\xi)=||\xi||_{q}
    trong đó 1<p<\infty, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s