Phép chia trong không gian hàm suy rộng

Trong phần bài tập giao cho lớp K51A1T có bài tập liên quan đến hàm suy rộng kiểu như  sau: \dfrac{1}{x}\delta.

Để hiểu hàm suy rộng kiểu này ta cần hiểu phép chia hàm Dirac cho hàm x là như  nào?

Một cách tổng quát ta sẽ xem xét bài toán sau:

Cho hàm P\in \mathcal D(\mathbb R) và hàm suy rộng v\in \mathcal D'(\mathbb R).

Tìm hàm suy rộng u\in\mathcal D'(\mathbb R) thỏa mãn phương trình Pu=v.

Trong bài này, ta chỉ xét hàm P là đa thức với hệ số thực!

Bài toán trên liên quan đến việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng.

Cụ thể như  sau, tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng:

Pu(x)=f(x), x\in \mathbb R^n.

với P=\sum\limits_{|\alpha|\le m}a_\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} là toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp m với hệ số a_\alpha\in \mathbb C, \alpha\in\mathbb Z^n_+, là các hằng số.

Biến đổi Fourier hai vế của phương trình vi phân trên:

P(i\xi)\hat{u}(\xi)=\hat{f}(\xi)

với P(\xi) là đa thức!

Quay trở lại bài toán chia của hàm suy rộng, giả sử P là đa thức một biến cấp m với hệ số thực. Ta có thể viết nó dưới dạng

P(x)=a_0\prod_{j=1}^k (x^2+b_j)^{p_j}\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}

trong đó, k, l, p_j, q_j là các số nguyên không âm thỏa mãn 2\sum\limits_{j=1}^kp_j+\sum\limits_{j=1}^lq_j=m,

a_j là các số thực phân biệt, b_j là các số dương phân biệt.

Khi đó hàm g(x)=\dfrac{1}{a_0\prod_{j=1}^k(x_j^2+b_j)^{p_j}} là hàm khả vi vô hạn tăng chậm, nghĩa là nó khả vi vô hạn và với mỗi n\in\mathbb Z_+ đạo hàm cấp n của nó thỏa mãn bất đẳng thức

|D^n g(x)|\le C_n (1+x^2)^{m_n} với mọi x\in \mathbb R,C_n, m_n là các hằng số dương.

Lúc đó nếu hàm suy rộng w\in\mathcal D'(\mathbb R) là nghiệm của phương trình

\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}w=v

thì nghiệm của phương trình Pu=v sẽ là u=\dfrac{1}{g}w.

Bằng cách phủ \mathbb R bằng các khoảng \omega_j, 1, 2,\dots, l và tập mở \omega_0 sao cho \omega_0 không chứa tất cả các điểm a_j, j=1, 2,\dots, l còn \omega_j, j=1, 2, \dots, l đôi một rời nhau và mỗi \omega_j chỉ chứa đúng một điểm a_j rồi xây dựng phân hoạch đơn vị \psi_j, j=0, 1, \dots, l cho phủ mở đó ta có:

\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}w=\psi_0\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}u+

+\sum\limits_{i=0}^l\psi_i(\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}u).

Ta chuyển bài toán về từng lân cận \omega_j, j=0, 1, \dots, l.

+ trong lân cận \omega_0 không chứa điểm a_j nào nên hàm \dfrac{1}{\prod_{j=1}^l(x-a_j)^{q_j}} là hàm khả vi vô hạn trên \omega_0 nên trên \omega_0:

w=\dfrac{1}{\prod_{j=1}^l (x-a_j)^{q_j}}v;

+ trong lân cận \omega_j, j\in\{1, 2, \dots, l\} chỉ chứa một điểm a_j nên hàm \prod\limits_{1\le i\le l, i\not=j}\dfrac{1}{(x-a_i)^{q_i}} là hàm khả vi vô hạn trên \omega_j nên trên \omega_j nếu

w_j là nghiệm của phương trình (x-a_j)^{q_j}w_j=v

thì w=\dfrac{1}{\prod_{1\le i\le l, i\not=j}(x-a_i)^{q_i}}w_j.

Để giải phương trình (x-a_j)^{q_j}w_j=v, trước hết ta giải bài toán khi v=0.

Giả sử w_j là nghiệm của bài toán thì với mỗi \varphi\in \mathcal D(\omega_j)

\langle w_j, (x-a_j)^{q_j}\varphi\rangle=0.

Lưu ý rằng \psi_j(x)=1 khi x nằm trong lân cận đủ nhỏ của a_j nên có một ánh xạ tuyến tính liên tục L: \mathcal D(\omega_j)\to \mathcal D(\omega_j) sao cho:

\varphi(x)=\psi_j(x)\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}\dfrac{\varphi^{(i)}(0)}{i!}(x-a_j)^i +(x-a_j)^{q_j}L\varphi(x).

Khi đó

\langle w_j, \varphi\rangle=\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}\dfrac{\varphi^{(i)}(0)}{i!}\langle w_j, (x-a_j)^i\psi_j\rangle

nên w_j có dạng w_j=\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}c_{ij}\delta^{(i)}(x-a_j) với c_{ij}, i=0, 1, \dots, q_j-1 là các hằng số phức.

Dễ dàng kiểm tra lại (x-a_j)^{q_j}\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}c_{ij}\delta^{(i)}(x-a_j)=0.

Như vậy hai nghiệm của phương trình (x-a_j)^{q_j}w_j=v khác nhau một số hạng dạng

\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}c_{ij}\delta^{(i)}(x-a_j).

Chú ý rằng L((x-a_j)^{q_j}\varphi)=\varphi nên phương trình (x-a_j)^{q_j}w_j=v có một nghiệm như sau

\langle w_{j0}, \varphi\rangle=\langle v, L\varphi\rangle.

Vậy phương trình (x-a_j)^{q_j}w_j=v có nghiệm dạng

w_j=w_{j0}+\sum\limits_{i=0}^{q_j-1}c_{ij}\delta^{(i)}(x-a_j).

Tổng hợp lại nghiệm của phương trình Pu=v có nghiệm

\dfrac{1}{\prod\limits_{j=1}^{k}(x^2+b_j)^{p_j}}\Big(\sum\limits_{j=1}^l \dfrac{\psi_j(x)}{\prod\limits_{1\le i\le j, i\not=j}(x-a_i)^{q_i}}\big(\omega_{j0}+\sum\limits_{i=1}^{q_j-1}c_{ij}\delta^{(i)}(x-a_j)\big)\Big)

+\dfrac{\psi_0(x)}{P(x)}v.

Trở lại việc hiểu thế nào là hàm suy rộng \dfrac{1}{x}\delta.

Đây chính là nghiệm của phương trình xu=\delta.

Theo cách như trên với \varphi\in\mathcal D(\mathbb R):

\langle \dfrac{1}{x}\delta, \varphi\rangle=\langle \delta, L\varphi\rangle+c\varphi(0)

với L\varphi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\psi(x)\varphi(0)}{x}\psi\in C^\infty_0(\mathbb R; [0, 1]), là hàm cố định sao cho \psi(x)=1 trong một lân cận đủ nhỏ của 0.

Khi đó ta có

L\varphi(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\varphi(x)-\psi(x)\varphi(0)}{x}=\varphi'(0)

nên \dfrac{1}{x}\delta=-\delta'+c\delta với c là hằng số phức.

10 thoughts on “Phép chia trong không gian hàm suy rộng

  1. die

    thầy ơi, cho em hỏi, bọn em được 1 thì bữa sau lên bảng lại thì làm những bài trong nhóm của bọn em thầy giao cho , hay làm những bài tập phần nào hả thầy? nếu làm hết thì nhiều bài tập quá thầy ạ. bọn em cũng chịu khó học nhưng không học làm được chứ không phải bọn em lười đâu thầy ạ, thầy xem xét cho bọn em cố gắng vớt lấy 5 điểm chuyên cần chứ không những bạn thi giữa kì điểm kém rồi mà điểm chuyên cần kém nữa thì chưa thi cuối đã biết là trượt rôif thầy ạ, mong thầy thương bọn em vì năm nay là năm cuối rồi , bọn em hứa sẽ cố gắng thầy ạ

  2. em chào thầy ,thầy cho em hỏi để học tốt môn hàm suy rộng thì cần phải có những kiến thức căn bản về những phần gì ạ ,tại em cũng đã đọc một chút tài liệu của thầy ,thấy trựu tượng ,khó hiểu ,mà năm nay bọn em lại phải học môn này

  3. datuan5pdes

    Tôi nghĩ môn của tôi, hay những môn khác trong Toán, để học tốt cần làm bài tập. Trừu tượng mấy, khó hiểu mấy, nếu chỉ đọc lý thuyết thì càng lùng bùng. Có làm bài tập mới cụ thể được các cái trừu tượng, cái khó hiểu được!
    Nếu bước đầu làm bài tập thấy vấp có thể trao đổi cùng tôi, hay các bạn của mình!

  4. em chào thầy ,em là lớp trưởng lớp k52a1t ,do mấy hôm nay em có việc gia đình phải về quê chưa lên được ,vì thế sáng nay em có nhắn tin vào số 0912017629 để xin thầy tuần sau em đưa thầy danh sách lớp ,nhưng chắc thầy đổi số rồi ạ ,em cũng có dặn bạn lớp phó đời sống đưa thầy tạm danh sách cũ ,nhưng bạn ấy lại để quên điện thoại ở nhà nên không biết

  5. Pingback: Hàm suy rộng Colombeau « Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s