Tích chập-Tích trực tiếp

Trong phần bài tập của lớp K51A1T có bài chứng minh đẳng thức tích chập:

xH(x)*e^xH(x)=(e^x-x-1)H(x).

Các hàm xH(x), e^xH(x) đều không thuộc L(\mathbb R) và đều không có giá compact nên trong giáo trình của tôi chưa có định nghĩa phép tích chập cho hai hàm kiểu này!

Vậy cần hiểu tích chập này thế nào?

Dưới đây tôi trình bày cách xây dựng tích chập từ tích trực tiếp như trong cuốn “Generalized Functions” của R.P. Kanwal.

Cho f\in \mathcal D'(\mathbb R^m), g\in\mathcal D'(\mathbb R^n).

Khi đó, tích trực tiếp f\otimes g là hàm suy rộng trên \mathbb R^{m+n} được xác định như sau:

\langle f\otimes g (x, y), \varphi(x, y)\rangle=\langle f(x), \langle g(y), \varphi(x, y)\rangle\rangle, \;

\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^{m+n}).

Định nghĩa trên là hợp lý vì \psi(x)=\langle g(y), \varphi(x, y)\rangle\in \mathcal D(\mathbb R^m)

(D^\alpha \psi(x)=\langle g(y), D_x^\alpha \varphi(x, y)\rangle, \alpha\in\mathbb Z^m_+),

supp (\psi) \subset K, với K\subset\mathbb R^m là hình chiếu của supp (\varphi) xuống \mathbb R^m\times \{0\}.

Trong trường hợp f, g\in L(\mathbb R^n)

\langle f*g, \varphi\rangle=\int_{\mathbb R^n} \varphi(x)dx\int_{\mathbb R^n} f(x-y)g(y)dy

=\int_{\mathbb R^n} \big(\int_{\mathbb R^n} f(x-y)\varphi(x)dx\big)g(y)dy

=\int_{\mathbb R^n} \big(\int_{\mathbb R^n} f(u)\varphi(u+y)du\big)g(y)dy (đổi biến u=x-y)

=\langle f\otimes g, \varphi(x+y)\rangle.

Như vậy, ta có thể xây dựng tích chập cho hai hàm suy rộng f, g\in\mathcal D'(\mathbb R^n) từ tích trực tiếp của chúng như sau:

tích chập f*g là một hàm suy rộng trên \mathbb R^n được xác định bởi

\langle f*g, \varphi\rangle=\langle f\otimes g (x, y), \varphi(x + y)\rangle=\langle f(x), \langle g(y), \varphi(x+y)\rangle\rangle,

\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n).

Ta cần kiểm tra tính đúng đắn của định nghĩa, nghĩa là cần xem xét hàm:

\psi(x)=\langle g(y), \varphi(x+y)\rangle có đủ tốt?

Dễ thấy \psi\in C^\infty(\mathbb R^n).

+TH1: f có giá compact thì có ngay tính đúng đắn của định nghĩa.

+TH2: g có giá compact  có

supp(\psi)\subset (supp(\varphi)-supp(g)) compact

nên định nghĩa trên đúng đắn.

+TH3: f, g có giá nằm trong nón dương

K=\{x=(x_1, x_2, \dots, x_n)\in \mathbb R^n|\; x_j\ge 0, j=1, 2, \dots, n\}

supp (\psi)\subset (supp(\varphi)- supp(g))\subset (B_R(0)-K)

(supp(\varphi)\subset B_R(0))

nên supp(\psi)\cap K \subset B_R(0)\cap K compact.

Khi đó có một hàm \phi\in C^\infty_0(\mathbb R^n) sao cho:

supp(\phi)\subset (supp(\psi)\cap K)+B_{2\epsilon}(0)

\phi(x)=1, x\in (supp(\psi)\cap K)+B_\epsilon(0).

Ta hiểu \langle f(x), \psi(x)\rangle chính là \langle f(x), \phi(x)\psi(x)\rangle.

Quay trở lại tích chập xH(x)*e^xH(x)

có giá của xH(x), e^xH(x) đều là nửa trục \mathbb R_+=\{x\in\mathbb R|\; x\ge 0\}

còn hàm

\psi(x)=\langle e^yH(y), \varphi(x+y)\rangle=\int_0^\infty e^y \varphi(x+y)dy

là hàm liên tục và bằng 0 khi x đủ lớn nên tích phân

\langle xH(x), \varphi(x)\rangle=\int_0^\infty x\psi(x)dx

là tích phân xác định.

Như vậy tích chập h(x)=(xH(x)*e^xH(x))(x) được hiểu là hàm suy rộng:

\langle h(u), \varphi(u)\rangle=\int_o^\infty xdx\int_0^\infty e^y \varphi(x+y)dy

=\int_0^\infty xdx\int_x^\infty e^{u-x}\varphi(u)du (đổi biến u=x+y)

=\int_0^\infty e^u\varphi(u)du\int_0^u xe^{-x}dx

=\int_0^\infty (e^u-u-1)\varphi(u)du

hay xH(x)*e^xH(x)=(e^x-x-1)H(x).

Bài chứng minh đẳng thức

\sin{(x)}H(x)*\cos{(x)}H(x)=\dfrac{x\sin{(x)}}{2}H(x)

làm tương tự.

2 thoughts on “Tích chập-Tích trực tiếp

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s