Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

On By datuan5pdesIn Đề thi

kiemtracuoikyK51lan1

Tôi đã chấm xong bài thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng của lớp K51A1T.

Có sáu bài trên 9 điểm (trong đó có hai bài được 10 điểm)!

Có hai bài 1 điểm! Còn lại từ 3 điểm đến 7 điểm!

9 thoughts on “Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T”

  1. datuan5pdes

    Bài 1. Xét ánh xạ f:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathbb C xác định bởi:
    \langle f, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_\epsilon^1\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx.
    Đặt \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} khi x\not=0 và \psi(0)=\varphi'(0).
    Có \psi(x) là hàm liên tục nên:
    \langle f, \varphi\rangle=\int\limits_0^1\psi(x)dx
    là xác định.
    Dễ dàng kiểm tra tính tuyến tính.
    Tính liên tục do:
    |\varphi(x)-\varphi(0)|\le |x|\sup\limits_{y\in\mathbb R}|\varphi'(y)|.
    Từ đó cấp của f nhỏ hơn hay bằng 1.
    Ta sẽ CM cấp của f bằng 1.
    Thật vậy, với \rho(x)=e^{\frac{1}{|x|^2-1}} khi |x|<1
    và \rho(x)=0 khi |x|\ge 1; lấy dãy \varphi_n(x)=\rho(nx) có
    |\langle f, \varphi_n(x)\rangle|=\int\limits_0^1\dfrac{\varphi_n(0)-\varphi_n(x)}{x}dx \ge \rho(0)\int\limits_{1/n}^1\dfrac{1}{x}dx=\rho(0)\; ln(n)
    (vì \varphi_n(x)=\rho(nx)=0 khi |x|\ge 1/n)
    mà |\varphi_n(x)|\le \rho(0)
    nên cấp của f lớn hơn hay bằng 1.
    Giá của f là [0, 1]
    vì
    +)nếu x_0\not\in[0, 1] có một số \epsilon>0 để (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\cap[0, 1]=\emptyset; khi đó
    \langle f, \varphi\rangle =0 với \varphi\in \mathcal D(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon);
    +) nếu x_0\in[0, 1] thì với mọi lân cận mở của x_0 đều chứa khoảng (a, b)\subset(0, 1); khi đó chọn hàm \varphi(x)=\rho(\frac{2x-a-b}{b-a}) có
    supp\varphi\subset (a, b) và \langle f, \varphi\rangle<0.

    Phản hồi
      4. datuan5pdes

        Em viết như này thì tôi đã hiểu.
        Ta có:

        \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}=\psi(x) khi 0<x\le 1

        nên

        \int_\epsilon^1 \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx=\int_\epsilon^1\psi(x)dx\;\;\forall \epsilon\in(0, 1).

        Lại có \psi(x) là hàm liên tục trên đoạn [0, 1] nên khả tích Riemann trên [0, 1] và

        \lim_{\epsilon\to 0_+}\int_\epsilon^1\psi(x)dx=\int_0^1\psi(x)dx.

        Từ đó ta có

        \langle f, \varphi\rangle=\int_0^1\psi(x)dx.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

Gravatar
WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com ( Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter ( Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook ( Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ ( Đăng xuất / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s