Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

On Tháng Một 12, 2010Tháng Một 13, 2010 By datuan5pdesIn Đề thi

kiemtracuoikyK51lan1

Tôi đã chấm xong bài thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng của lớp K51A1T.

Có sáu bài trên 9 điểm (trong đó có hai bài được 10 điểm)!

Có hai bài 1 điểm! Còn lại từ 3 điểm đến 7 điểm!

Liên quan

9 thoughts on “Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T”

datuan5pdes

Bài 1. Xét ánh xạ $f:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathbb C$ xác định bởi:
$\langle f, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_\epsilon^1\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx.$
Đặt $\psi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}$ khi $x\not=0$ và $\psi(0)=\varphi'(0).$
Có $\psi(x)$ là hàm liên tục nên:
$\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_0^1\psi(x)dx$
là xác định.
Dễ dàng kiểm tra tính tuyến tính.
Tính liên tục do:
$|\varphi(x)-\varphi(0)|\le |x|\sup\limits_{y\in\mathbb R}|\varphi'(y)|.$
Từ đó cấp của $f$ nhỏ hơn hay bằng $1.$
Ta sẽ CM cấp của $f$ bằng $1.$
Thật vậy, với $\rho(x)=e^{\frac{1}{|x|^2-1}}$ khi $|x|<1$
và $\rho(x)=0$ khi $|x|\ge 1;$ lấy dãy $\varphi_n(x)=\rho(nx)$ có
$|\langle f, \varphi_n(x)\rangle|=\int\limits_0^1\dfrac{\varphi_n(0)-\varphi_n(x)}{x}dx \ge \rho(0)\int\limits_{1/n}^1\dfrac{1}{x}dx=\rho(0)\; ln(n)$
(vì $\varphi_n(x)=\rho(nx)=0$ khi $|x|\ge 1/n$ )
mà $|\varphi_n(x)|\le \rho(0)$
nên cấp của $f$ lớn hơn hay bằng $1.$
Giá của $f$ là $[0, 1]$
vì
+)nếu $x_0\not\in[0, 1]$ có một số $\epsilon>0$ để $(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\cap[0, 1]=\emptyset;$ khi đó
$\langle f, \varphi\rangle =0$ với $\varphi\in \mathcal D(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon);$
+) nếu $x_0\in[0, 1]$ thì với mọi lân cận mở của $x_0$ đều chứa khoảng $(a, b)\subset(0, 1);$ khi đó chọn hàm $\varphi(x)=\rho(\frac{2x-a-b}{b-a})$ có
$supp\varphi\subset (a, b)$ và $\langle f, \varphi\rangle<0.$

Tháng Một 12, 2010 at 1:36 chiều Phản hồi
datuan5pdes

Bài 2. Có $xe^{-x^2}=-\dfrac{1}{2}D(e^{-x^2})$
và $x^2e^{-x^2}=\dfrac{1}{4}D^2(e^{-x^2})+\dfrac{1}{2}e^{-x^2}$
nên
$xe^{-x^2}*x^2e^{-x^2}=-\dfrac{1}{8}D^3(e^{-x^2}*e^{-x^2})-\dfrac{1}{4}D(e^{-x^2}*e^{-x^2}).$
Mà $e^{-x^2}\in L^1(\mathbb R)$ nên
$(e^{-x^2}*e^{-x^2})(x)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-y^2}e^{-(x-y)^2}dy=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}.$
Do đó
$xe^{-x^2}*x^2e^{-x^2}=\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}(x^3e^{-\frac{x^2}{2}}-xe^{-\frac{x^2}{2}})$

Tháng Một 12, 2010 at 2:10 chiều Phản hồi
datuan5pdes

Bài 3. Có biến đổi Fourier của hàm Dirac $\mathcal F \delta =1$ là hàm hằng nên
$\delta \in W^k(\mathbb R^4)$
khi và chỉ khi
$(1+\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2+\xi_4^2)^k\in L^1(\mathbb R^4)$
hay
$\int_{0}^\infty d\xi_1\int_{0}^\infty d\xi_2\int_{0}^\infty d\xi_3\int_{0}^\infty (1+\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2+\xi_4^2)^kd\xi_4<+\infty$
mà
$\int_{0}^\infty d\xi_1\int_{0}^\infty d\xi_2\int_{0}^\infty d\xi_3\int_{0}^\infty (1+\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2+\xi_4^2)^kd\xi_4=$
$=\int_{0}^\infty d\xi_1\int_{0}^\infty d\xi_2\int_{0}^\infty (1+\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2)^{k+1/2}d\xi_3\int_{0}^\infty (1+t_4^2)^kdt_4$
(đổi biến $t_4=(1+\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2)^{-1/2}\xi_4$ )
$=\int_{0}^\infty (1+t_1^2)^{k+3/2}d t_1\int_{0}^\infty (1+t_2)^{k+1}d t_2\times$
$\times \int_{0}^\infty (1+t_3^2)^{k+1/2}dt_3\int_{0}^\infty (1+t_4^2)^kdt_4.$
Do đó với $k<-2$ hàm $\delta\in W^k(\mathbb R^4)$
và $k\ge-2$ hàm $\delta\not\in W^k(\mathbb R^4)$

Tháng Một 12, 2010 at 2:23 chiều Phản hồi
nguyen the

Thay oi! thay co the giai thich tai sao $=\int\psi (x)dx$.

Tháng Mười 29, 2011 at 10:33 sáng Phản hồi
1. datuan5pdes
  
  Tôi không hiểu em viết gì?
  
  Tháng Mười 29, 2011 at 12:09 chiều Phản hồi
  1. nguyen the
    
    Thay co the giai thich cho em cho chuyen tu sang tich phan tu 0 den 1 của ham psi.
    
    Tháng Mười 29, 2011 at 12:25 chiều
  2. datuan5pdes
    
    Thứ nhất em viết có dấu đi. Thứ hai em viết câu cho đầy đủ. Tôi vẫn chưa hiểu em muốn hỏi gì?
    
    Tháng Mười 29, 2011 at 1:01 chiều
  3. nguyen the
    
    Em chưa học latex nên em viết rất khó! em muốn hỏi chỗ tác động của f lên phi $=\int \psi(x)dx$ .
    
    Tháng Mười 29, 2011 at 2:54 chiều
  4. datuan5pdes
    
    Em viết như này thì tôi đã hiểu.
    Ta có:
    
    $\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}=\psi(x)$ khi $0<x\le 1$
    
    nên
    
    $\int_\epsilon^1 \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx=\int_\epsilon^1\psi(x)dx\;\;\forall \epsilon\in(0, 1).$
    
    Lại có $\psi(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[0, 1]$ nên khả tích Riemann trên $[0, 1]$ và
    
    $\lim_{\epsilon\to 0_+}\int_\epsilon^1\psi(x)dx=\int_0^1\psi(x)dx.$
    
    Từ đó ta có
    
    $\langle f, \varphi\rangle=\int_0^1\psi(x)dx.$
    
    Tháng Mười 29, 2011 at 10:43 chiều

Trả lời Hủy trả lời

Nhập bình luận của bạn tại đây...

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

Thư điện tử (bắt buộc) (Địa chỉ của bạn được giấu kín)

Tên (bắt buộc)

Trang web

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com ( Đăng xuất / Thay đổi )

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter ( Đăng xuất / Thay đổi )

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook ( Đăng xuất / Thay đổi )

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ ( Đăng xuất / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s

	datuan5pdes on Sách “Giáo trình Lý thuy…
	datuan5pdes on Định lý nhúng – Hàm lũy…
	datuan5pdes on Các đặc trưng của không gian S…
	Các đặc trưng của kh… on Không gian W^s([0, \infty)) kh…
	Các đặc trưng của kh… on Các đặc trưng của không gian S…

H	B	T	N	S	B	C
« Th12				Th2 »
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31

Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

Like this:

Liên quan

9 thoughts on “Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T”

Trả lời Hủy trả lời