Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

kiemtracuoikyK51lan1

Tôi đã chấm xong bài thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng của lớp K51A1T.

Có sáu bài trên 9 điểm (trong đó có hai bài được 10 điểm)!

Có hai bài 1 điểm! Còn lại từ 3 điểm đến 7 điểm!

9 thoughts on “Đề thi cuối kỳ môn Hàm suy rộng K51A1T

  1. datuan5pdes

    Bài 1. Xét ánh xạ f:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathbb C xác định bởi:
    \langle f, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_\epsilon^1\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx.
    Đặt \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x} khi x\not=0\psi(0)=\varphi'(0).
    \psi(x) là hàm liên tục nên:
    \langle f, \varphi\rangle=\int\limits_0^1\psi(x)dx
    là xác định.
    Dễ dàng kiểm tra tính tuyến tính.
    Tính liên tục do:
    |\varphi(x)-\varphi(0)|\le |x|\sup\limits_{y\in\mathbb R}|\varphi'(y)|.
    Từ đó cấp của f nhỏ hơn hay bằng 1.
    Ta sẽ CM cấp của f bằng 1.
    Thật vậy, với \rho(x)=e^{\frac{1}{|x|^2-1}} khi |x|<1
    \rho(x)=0 khi |x|\ge 1; lấy dãy \varphi_n(x)=\rho(nx)
    |\langle f, \varphi_n(x)\rangle|=\int\limits_0^1\dfrac{\varphi_n(0)-\varphi_n(x)}{x}dx \ge \rho(0)\int\limits_{1/n}^1\dfrac{1}{x}dx=\rho(0)\; ln(n)
    (vì \varphi_n(x)=\rho(nx)=0 khi |x|\ge 1/n)
    |\varphi_n(x)|\le \rho(0)
    nên cấp của f lớn hơn hay bằng 1.
    Giá của f[0, 1]

    +)nếu x_0\not\in[0, 1] có một số \epsilon>0 để (x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)\cap[0, 1]=\emptyset; khi đó
    \langle f, \varphi\rangle =0 với \varphi\in \mathcal D(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon);
    +) nếu x_0\in[0, 1] thì với mọi lân cận mở của x_0 đều chứa khoảng (a, b)\subset(0, 1); khi đó chọn hàm \varphi(x)=\rho(\frac{2x-a-b}{b-a})
    supp\varphi\subset (a, b)\langle f, \varphi\rangle<0.

      1. datuan5pdes

        Em viết như này thì tôi đã hiểu.
        Ta có:

        \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}=\psi(x) khi 0<x\le 1

        nên

        \int_\epsilon^1 \dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x}dx=\int_\epsilon^1\psi(x)dx\;\;\forall \epsilon\in(0, 1).

        Lại có \psi(x) là hàm liên tục trên đoạn [0, 1] nên khả tích Riemann trên [0, 1]

        \lim_{\epsilon\to 0_+}\int_\epsilon^1\psi(x)dx=\int_0^1\psi(x)dx.

        Từ đó ta có

        \langle f, \varphi\rangle=\int_0^1\psi(x)dx.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s