Sự hội tụ của các dãy cos(nx), cos(nx^2)

Như đã biết dãy \{\cos{(nx)}\}\{\cos{(nx^2)}\} không hội tụ điểm vì dãy số \{\cos{n}\} có tập các giới hạn riêng là đoạn [-1, 1]. Tuy nhiên, nếu coi chúng như các dãy hàm suy rộng thì chúng đều hội tụ về 0 trong không gian \mathcal D'(\mathbb R).

Thật vậy, trước hết ta sẽ chứng minh \mathcal {D'}_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\cos{(nx)}=0, nghĩa là với mỗi \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R) với supp \varphi\subset [-A, A]\; (A>0) ta cần chỉ ra

\lim\limits_{n\to \infty}\int\limits_{-A}^{A}\varphi(x)\cos{(nx)}dx=0.

Ta dùng tích phân từng phần \varphi(x)\cos{(nx)}dx=\varphi(x)\dfrac{d(\sin{(nx)})}{n}

\int\limits_{-A}^{A}\varphi(x)\cos{(nx)}dx=\varphi(x)\dfrac{\sin{(nx)}}{n}\Big|_{-A}^{A}-\dfrac{1}{n}\int\limits_{-A}^{A}\varphi'(x)\sin{(nx)}dx

với lưu ý \varphi(-A)=\varphi(A)=0|\varphi'(x)\sin{(nx)}|\le \sup_{x\in[-A, A]}|\varphi'(x)| là bị chặn

ta có ngay điều phải chứng minh!

Trường hợp dãy \cos{(nx^2)} phức tạp hơn đôi chút với lưu ý \cos{(nx^2)} là hàm chẵn và \int\limits_0^\infty \cos{y^2}dy hội tụ ta có

\int\limits_{-A}^A \varphi(x)\cos{(nx^2)}dx=

=2\varphi(0)\int\limits_{0}^A\cos{(nx^2)}dx+\int\limits_{0}^A \psi(x)\cos{(nx^2)}dx^2

với \psi(x)=\dfrac{\varphi(x)+\varphi(-x)-2\varphi(0)}{2x} khi x\not=0\psi(0)=0 là hàm khả vi liên tục đến cấp 1.

3 thoughts on “Sự hội tụ của các dãy cos(nx), cos(nx^2)

  1. datuan5pdes

    Trường hợp các dãy \{\sin{(nx)}\}, \{\sin{(nx^2)}\} cũng hội tụ đến 0 trong \mathcal D'(\mathbb R). Từ đó có dãy e^{inx}, e^{inx^2} cũng hội tụ về 0 trong \mathcal D'(\mathbb R).
    Có thể lý giải sự hội tụ của chuỗi e^{inx} như sau.
    Với \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R)supp\varphi\subset[-T, T] thì
    c_n=\dfrac{1}{2T}\int\limits_{-T}^{T}e^{-in\pi\frac{x}{T}}\varphi(x)dx
    là hệ số Fourier của chuỗi
    \sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\pi\frac{x}{T}}.
    Chuỗi này hội tụ điểm đến \varphi(x) trong [-T, T] nên dãy \{2Tc_n\} hội tụ!
    Người ta đã mở rộng trường hợp dãy \{\sin{(nx)}\} cho dãy \{f(nx)\} với hàm liên tục f tuần hoàn chu kỳ T và \int_0^T f(x)dx=0. Thực ra hàm liên tục f chỉ cần có nguyên hàm bị chặn là đủ!

    Với trường hợp \{\cos{(nx^2)}\} ta dựa vào sự kiện \mathcal D'_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\dfrac{2n}{\pi}}\cos{(nx^2)}=\delta\mathcal D'_{-}\lim\limits_{n\to\infty}a_n\delta=0 với dãy số \{a_n\} hội tụ về 0.
    Liệu dãy \{\cos{(nx^3)}\} có hội tụ trong \mathcal D'(\mathbb R)?

  2. nguyenvanphan

    em thua thay em dang hoc mon do do va tich phan co bai nay ma em chua lam duoc ,thay giup em voi ah :dung dinh nghia tinh tich phan cua ham f:(o;1]->R voi f xac dinh boi f(x)=1/n voi x thuoc (1/n ; 1/n+1) , o day NUY la do do lebesgue .em cam on thay a.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s