Sự hội tụ của dãy cos(nx^m) (tiếp)

Theo bài trước ta đã biết trong \mathcal D' (\mathbb R) dãy \{\cos{(nx^m)}\}, khi m=1, 2, hội tụ đến 0. Tôi có hỏi rằng với m=3 thì sao? Câu trả lời với m\in\mathbb N dãy \{\cos{(nx^m)}\} hội tụ về 0.

Câu trả lời này được chứng minh nhờ

– khai triển Taylor

\varphi(x)=\sum\limits_{k=0}^{m-2}\dfrac{x^k}{k!}\varphi^{(k)}(0)+ x^{m-1}\psi(x)

với \psi(x) là hàm khả vi liên tục đến cấp 1;

– sự hội tụ về 0 của tích phân \int_0^A x^k\cos{(nx^m)}dx với mọi A>0k=0, 1, \dots, m-2 cố định khi n tiến ra vô cùng.

Liệu với m<1 thì sao? Với m=0 dãy \{\cos{n}\} phân kỳ trong \mathcal D'(\mathbb R).

Với m\in\mathbb R, m>1 thì sao? Câu trả lời như với m=1, 2!

Chẳng hạn với m=\dfrac{4}{3}\varphi\in\ C^\infty_0(\mathbb R), supp\varphi\subset[-A, A]

+) \varphi(x)=\varphi(0)+x\psi(x);

+) \int\limits_{-A}^A\varphi(x)\cos{(nx^{4/3})}dx=

\int\limits_{-A}^0(\varphi(0)+x\psi(x))\cos{(nx^{4/3})}dx+

+\int\limits_{0}^A(\varphi(0)+x\psi(x))\cos{(nx^{4/3})}dx;

+) \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^A\cos{(nx^{4/3})}dx=0;

+) |\int\limits_{0}^\sigma x\psi(x)\cos{(nx^{4/3})}dx|<\epsilon

(\epsilon>0, \sigma>0 được chọn phụ thuộc \epsilon);

+) \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{\sigma}^A x^{2/3}\psi(x)\cos{(nx^{4/3})}dx^{4/3}=0.

Chú ý rằng trong trường hợp m\in\mathbb R, m>1 hàm x^m nói chung chỉ xác định khi x>0 nên ta có thể hiểu hàm \cos{(nx^m)} như hàm chẵn bằng cách thác triển đối xứng qua trục tung!

3 thoughts on “Sự hội tụ của dãy cos(nx^m) (tiếp)

  1. thiennguyen

    thưa thầy, khi nào rỗi rãi thầy có thể post 1 số bài giới thiệu sơ lược thêm về các ứng dụng của biến đổi Fourier trong thực tế (ví dụ như truyền và xử lý tín hiệu). em nhớ có lần trên lớp khi giảng đến biến đổi Fourier thầy cũng có nói qua nhưng em thấy còn hơi mù mờ. cảm ơn thầy

  2. datuan5pdes

    Khi 0<m<1 ta cũng có dãy \{\cos(nx^m)\}_{n=1}^\infty hội tụ về 0 trong \mathcal D^{,}. Cách chứng minh gần giống trường hợp m=1 như sau.

    Ta cũng dùng tích phân từng phần với chú ý

    d\sin(nx^m)=nmx^{m-1}\cos(nx^m)dx

    ta có

    \int\limits_0^A \varphi(x)\cos(nx^m)=-\dfrac{1}{nm}\int\limits_0^A \Big(x^{1-m}\varphi(x)\Big)^{,}\sin(nx^m)dx.

    Chú ý tiếp

    |\sin(nx^m)|\le 1,

    \Big(x^{1-m}\varphi(x)\Big)^{,}=(1-m)x^{-m}\varphi(x)+x^{1-m}\varphi^{,}(x),

    \int_0^A x^{-m}dx=\dfrac{A^{1-m}}{1-m}<+\infty.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s