Ứng dụng phép chia trong hàm suy rộng giải thích Định lý Massera cho PTVP hệ số hằng

Định lý Massera khẳng định điều sau:

Phương trình vi phân cấp n hệ số hằng

a_n x^{(n)}(t)+\dots+a_1x^{,}(t)+a_0x(t)=f(t)\;\;\;(1)

với a_n, \dots, a_1, a_0 là các hằng số và f(t) là hàm tuần hoàn

nếu có nghiệm bị chặn thì sẽ có nghiệm tuần hoàn.

Ta sẽ dùng phép biến đổi Fourier và phép chia trong hàm suy rộng để giải thích kết quả trên.

Dùng phép biến đổi Fourier \mathcal F u(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-i\xi t}u(t)dt cả hai vế của (1) ta được

P(i\xi)\mathcal Fx(\xi)=\mathcal Ff(\xi)

với đa thức đặc trưng

P(\xi)=a_n\xi^n+\dots + a_1\xi+a_0.

Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ sở \omega thì biến đổi Fourier của f có dạng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k \delta(\xi-k\frac{2\pi}{\omega}).

Như vậy biến đổi Fourier của nghiệm của phương trình sẽ là tổng của các số hạng dạng

\dfrac{c_k}{P(i\xi)}\delta(\xi-k\frac{2\pi}{\omega}). với những k\in\mathbb Zc_k\not=0.

Nếu P(ik\frac{2\pi}{\omega})\not=0 với mọi k\in\mathbb Zc_k\not=0 thì với những k đó

d_k\delta(\xi-k\frac{2\pi}{\omega})

với d_k=\dfrac{c_k}{P(ik\frac{2\pi}{\omega})}

nên nghiệm sẽ là tổng của các số hạng dạng

\mathcal F^{-1}[d_k\delta(\xi-k\frac{2\pi}{\omega})](t)=\dfrac{d_k}{2\pi}e^{ikt\frac{2\pi}{\omega}}

là các hàm tuần hoàn chu kỳ \omega.

Như vậy nghiệm có được khi P(ik\frac{2\pi}{\omega})\not=0 với mọi k\in\mathbb Zc_k\not=0 thì phương trình có duy nhất nghiệm tuần hoàn.

Trong trường hợp có một số k\in\mathbb Zc_k\not=0 để P(ik\frac{2\pi}{\omega})=0 chẳng hạn có

c_{k_0}\not=0P(i\xi)=(\xi-k_0\frac{2\pi}{\omega})^{m_0}Q(\xi)

trong đó Q(k_0\frac{2\pi}{\omega})\not=0

thì

\dfrac{1}{P(i\xi)}\delta(\xi-k_0\frac{2\pi}{\omega})=\dfrac{2}{Q(k_0\frac{2\pi}{\omega})}\big(\delta^{(m_0)}(\xi-k_0\frac{2\pi}{\omega})+

+\sum\limits_{j=0}^{m_0-1}h_j\delta^{(j)}(\xi-k_0\frac{2\pi}{\omega})\big)

với các hệ số h_k tùy ý.

Khi đó nghiệm sẽ là tổng của các số hạng trong đó có số hạng dạng

e^{ik_0t\frac{2\pi}{\omega}}\sum\limits_{j=0}^{m_0}h_j t^j, h_{m_0}\not=0

không bị chặn.

Do đó trong trường hợp này nghiệm của phương trình là không bị chặn.

Như vậy hoặc phương trình có nghiệm tuần hoàn hoặc phương trình có nghiệm không bị chặn (tăng cỡ đa thức)!

11 thoughts on “Ứng dụng phép chia trong hàm suy rộng giải thích Định lý Massera cho PTVP hệ số hằng

  1. datuan5pdes

    Nếu tôi hiểu không nhầm ta cần tìm giá của hàm suy rộng T:\mathcal D(\mathbb R^2)\to \mathbb C xác định bởi
    \langle T, \phi\rangle=\int_0^\infty [\phi(x, e^{-1/x^2})-\phi(x, 0)]e^{1/x}dx với \phi\in\mathcal D(\mathbb R^2)\to\mathbb C.

    Trước hết ta cần xem định nghĩa trên có ổn không? Nghĩa là:
    +) tích phân \int_0^\infty [\phi(x, e^{-1/x^2})-\phi(x, 0)]e^{1/x}dx có xác định không?
    +) có là ánh xạ tuyến tính
    \langle T, \lambda\varphi+\mu\phi\rangle=\lambda\langle T,\varphi\rangle+\mu \langle T, \phi\rangle?
    +) có liên tục
    \mathcal D_{-}\lim\limits_{k\to\infty}\phi_k=0\Rightarrow \langle T, \phi_k\rangle=0?

    Cuối cùng nếu các điều trên được kiểm tra thì giá
    supp T=\{(x, e^{-1/x^2})|\; x\ge 0\}\cup \{(x, 0)|\; x\ge 0\}.

  2. distribution

    Em nghĩ tích phân
    \int_{0}^{\infty} [\phi(x,e^{-1/x^2}) -\phi(x,0)]e^{1/x}dx = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{e^{-1/x^2}} \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t} e^{1/x} dtdx <
    sup(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t})\int_{0}^{\infty} e^{-1/x^2 + 1/x}dx
    xác định.

    Tính tuyến tính và liên tục là dễ dàng kiểm tra.
    Nhân tiện thầy cho em hỏi hàm này có giá (cấp?) bằng bao nhiêu ạ?
    theo như trên thì giá(cấp?) của hàm này không vượt quá 1, em đoán nó không có giá(cấp?) 0 nhưng không lấy được ví dụ dãy {\phi_n(x,y)}

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s