Định lý Titchmarsh về tích chập

Vào năm 1926, E. C. Titchmarsh khẳng định điều sau đây

Cho \phi, \varphi là các hàm liên tục trên [0, +\infty) sao cho với mọi x\in[0, +\infty)

\int\limits_0^x \phi(x-y)\varphi(y)dy = 0

thì hoặc \phi hoặc \varphi đồng nhất 0.

Thực ra ta có thể hiếu \phi, \varphi là các hàm xác định trên toàn trục số \mathbb R với

\phi(x)=\varphi(x)=0, x\le 0.

Khi đó ta phát biểu lại như sau

nếu \phi*\varphi=0 thì hoặc \phi=0 hoặc \varphi=0.

Dưới đây tôi sẽ trình bày cách chứng minh của Ryll-Nardzewski (như trong cuốn “Fuctional Analysis” của K. Yoshida).

Cách chứng minh dựa vào sự kiện sau:

nếu hàm liên tục f: [0, T]\to \mathbb C thỏa mãn

hoặc |\int_0^T e^{nt}f(t)dt|\le M, \forall n=0, 1, \dots,

hoặc |\int_0^T t^{n}f(t)dt|=0, \forall n=0, 1, \dots,

với M là hằng số dương không phụ thuộc vào n,

thì f(t)=0, \forall t\in[0, T].

Tôi sẽ không trình bày việc chứng minh kết quả thú vị trên ở đây mà sẽ đi vào chứng minh Định lý Titchmarsh về tích chập.

Việc chứng minh được trình bày qua hai bước sau:

+) Bước 1: sẽ chứng minh nếu hàm liên tục \phi:[0, +\infty)\to\mathbb C thỏa mãn

\int_0^x \phi(x-y)\phi(y)dy=0, \forall 0<x<2T

thì \phi(x)=0, \forall 0<x<T

nhờ việc chứng minh được

|\int_0^T e^{ny}\phi(T-y)dy|<M, \forall n=0, 1, \dots.

+) Bước 2: từ việc chứng minh được

\int_0^x \phi(x-y)y^n\varphi(y)dy=0, \forall n=0, 1, \dots,

và áp dụng kết quả ở phần đầu dẫn đến \phi(x-y)\varphi(y)=0, \forall 0<y<x<\infty.

Từ đó ta có ngay điều phải chứng minh.

Ta đi cụ thể vào từng bước.

+) Bước 1: để chứng minh

|\int_0^T e^{ny}\phi(T-y)dy|<M, \forall n=0, 1, \dots

ta dựa vào việc đánh giá tích phân trên hình vuông Q= [-T, T]\times[-T, T]

|\int_{-T}^T e^{ny}\phi(T-y)dy|^2=\iint_{Q} e^{n(x+y)}\phi(T-x)\phi(T-y)dxdy.

Ta sẽ chia hình vuông này thành hai tam giác

\Delta_1=\{(x, y)\in Q|\; x+y\ge 0\}\Delta_2=\{(x, y)\in Q|\; x+y\le 0\}.

Lưu ý

\iint_{\Delta_1}e^{n(x+y)}\phi(T-x)\phi(T-y)dxdy=

(đổi biến u=T-x, v=T-x-y)

=\int_{0}^{2T}e^{n(2T-v)}dv \int_0^v \phi(v-u)\phi(u)du=0,

|\iint_{\Delta_2}e^{n(x+y)}\phi(T-x)\phi(T-y)dxdy|=2M^2T^2

(trên \Delta_2x+y\le 0, và M=\sup_{x\in [0, 2T]}|\phi(x)|)

nên

|\int_{-T}^T e^{ny}\phi(T-y)dy|^2\le 2M^2T^2 hay |\int_{-T}^T e^{ny}\phi(T-y)dy|\le \sqrt{2}MT.

Lại có |\int_{-T}^0 e^{ny}\phi(T-y)dy|\le MT (vì -T\le y\le 0) nên

|\int_0^T e^{ny}\phi(T-y)dy|\le (\sqrt{2}+1)MT.

+) Bước 2: Ta đặt \phi_n(y)=y^n\phi(y), \varphi_n(y)=y^n\varphi(y).

Khi đó dễ dàng kiểm tra với 0\le x<+\infty

(\phi_1*\varphi)(x) + (\phi*\varphi_1)(x)=x(\phi*\varphi)(x)=0

nên

\phi*[\varphi_1*(\phi_1*\varphi+\phi*\varphi_1)]=0.

Do tính kết hợp và giao hoán nên

(\phi*\varphi)*(\phi_1*\varphi_1)+(\phi*\varphi_1)*(\phi*\varphi_1)=0

\phi*\varphi=0 nên (\phi*\varphi_1)*(\phi*\varphi_1)=0.

Từ bước 1 có \phi*\varphi_1=0.

Tiếp tục quá trình trên có \phi*\varphi_n=0 hay

\int_0^x \phi(x-y)y^n\varphi(y)dy=0, \forall n=0, 1, \dots.

One thought on “Định lý Titchmarsh về tích chập

  1. Pingback: Định lý Titchmarsh về tích chập (tiếp) « Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s