Trao đổi về bài giảng – Lớp K52A1T

Hôm qua, ngày 06/09/2010, tôi có nói về việc xây dựng một hàm khả vi vô hạn có giá compact.

Tôi đã đưa ra hàm sau:

f(x)=e^{\frac{1}{x^2-1}} khi |x|<1f(x)=0 khi |x|\ge 1

là hàm khả vi vô hạn trên \mathbb R và có giá suppf=[-1, 1].

Tuy nhiên cái tôi muốn là C^\infty_0(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n, khác rỗng.  Khi đó việc xây dựng sẽ thế nào? Cụ thể là các trường hợp sau.

1) \Omega=(a, b), với a<b là các số thực.

2) \Omega là tập mở trên đường thẳng thực.

3) \Omega là tập mở trong \mathbb R^n.

Một câu hỏi khó hơn: Cho K là một tập compact trong \mathbb R^n. Liệu có hàm khả vi vô hạn nào có giá nằm trong (hay chính là) tập K hay không?

Dùng tích chập ta có thể xây dựng được hàm khả vi vô hạn có giá nằm trong một lân cận nào đó của K, cụ thể là tập

K_\epsilon=\{x\in\mathbb R^n|\; d(x, K)<\epsilon\}, với \epsilon là một số dương nào đấy, d(x, K)=\sup_{y\in K}||x-y||.

21 thoughts on “Trao đổi về bài giảng – Lớp K52A1T

  1. mathdiamond

    Thưa thầy !Em là Trần Văn Cương sinh viên lớp k52a1t ạ!Em xin hỏi thầy là tại sao người ta lại đưa ra cách xây dựng các hàm khả vi vô hạn trên \mathbb{R} từ hàm số :
    f(x)=\left\{\begin{array}{l l}e^{\frac{1}{x^2-1}} ,|x|<1\\ 0 ,|x|\ge 1\end{array}\right.
    Phải chăng đó là hướng đi duy nhất và nếu có rất nhiều cách xây dựng từ những hàm số khác thì chúng có khác nhau về bản chất hay không?Còn về vấn đề trình bày cái thầy nói thì em cũng rất muốn được trình bày nhưng vì em nói không được trôi chảy cũng như nói nhanh quá nên mọi người không nghe được.Hơn nữa có một số cái em hiểu chưa được cặn kẽ lắm nên không dám trình bày.Xin thầy trình bày cho bọn em ạ.Cảm ơn thầy nhiều!

  2. datuan5pdes

    Ở đây giá của hàm số f là tập compact [-1, 1]. Đây chính là điểm khó khăn của việc tìm hàm khả vi vô hạn.

    Nếu chỉ cần khả vi vô hạn sẽ có rất nhiều, nhưng có giá compact thì lại không dễ. Đây là cách duy nhất mà tôi được biết cho đến giờ! Rất có thể ở đâu đó có cách khác?

    Về việc trình bày, em đừng ngại những điều em trình bày. Vì nếu ngại như vậy sẽ không bao giờ sửa được! Chỗ nào chưa hiểu em có thể hỏi tôi trước lúc trình bày hay nêu ra trong khi trình bày! Nói nhanh thì tập nói chậm và rõ chữ lại dần là sửa được.

  3. datuan5pdes

    Hai tuần nữa, tức là ngày 11/10/2010, tôi sẽ gọi lên bảng làm bài tập. Bài tập sẽ chủ yếu trong Chương 1 đối với sinh viên K52A1T, và các bài kiểm tra giữa kỳ đối với sinh viên học lại. Hôm đó sẽ bắt đầu từ 7h00.

    ĐATuấn

  4. datuan5pdes

    Nếu bạn Trần Văn Cương muốn trình bày về không gian \mathcal E, \mathcal E' thì nên chuẩn bị đi. Hôm tới, 11/10/2010 tôi trình bày xong phần không gian \mathcal D'. Trước khi trình bày nên trao đổi qua với tôi.

  5. datuan5pdes

    Tuần tới, ngày 18/10/2010, tôi sẽ trình bày nốt phần không gian \mathcal D' sau đó cậu Trần Văn Cương trình bày không gian \mathcal E'. Nếu có gì cậu Trần Văn Cương nên trao đổi với tôi trước khi trình bày thì tốt!

    Về phần bài tập, mọi người lứu ý bài tập trong giờ giảng của tôi (những phần tôi không chứng minh). Các tính phù hợp với cấu trúc tuyến tính của khái niệm hội tụ trong không gian \mathcal D, tính liên tục tuyến tính của phép nhân với hàm khả vi vô hạn, phép lấy đạo hàm. Mọi người cũng nên chuẩn bị những thứ đó trong không gian \mathcal D'.

  6. DIAMOND

    Thưa thầy phần không gian \mathcal{E},\mathcal{E'} mà em trình bày thì trình bày trong mấy buổi à thầy?Một số bạn trong lớp hỏi là những buổi trình bày thì học lúc mấy giờ ạ thầy?Thứ 7 hay Chủ nhật thầy có ở trường không ạ?

  7. datuan5pdes

    Phần không gian \mathcal E trình bày khoảng ba giờ, còn phần không gian \mathcal E' trình bày trong khoảng ba giờ. Tổng cả hai sẽ là ba buổi.

    Từ giờ trở đi, bắt đầu từ 7h00. Tiết đầu dùng để chữa bài tập!

    Thứ Bảy, Chủ Nhật nói chung tôi không ở trường. Thứ Ba, chiều thứ Tư, chiều thứ Năm nói chung tôi không bận gì. Em có thể hẹn trước.

  8. datuan5pdes

    Hôm nay, 25/10/2010, trong phần trình của cậu Trần Văn Cương có một số vấn đề:
    +) tính đóng tương đối trong một tập mở, với lưu ý chính tập mở đó là vừa đóng vừa mở trong nó;

    +) tính compact trong một tập mở lại mang tính tuyệt đối, nghĩa là compact trong một tập mở khi và chỉ khi compact trong toàn bộ không gian;

    +) điểm x thuộc vào giá của hàm suy rộng f nếu với mọi lân cận mở \omega của điểm x đều tìm được hàm \varphi\in C^\infty_0(\omega) để
    \langle f, \varphi\rangle\not= 0.

    Mọi người có thể xem trong bài “Lấy epsilon dương tùy ý”

    http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/10/21/l%E1%BA%A5y-epsilon-d%C6%B0%C6%A1ng-tuy-y/

    để thấy rằng việc kiểm tra x\in suppf
    ta kiểm tra xem
    với mỗi số tự nhiên k ta có thể tìm \varphi_k\in C^\infty_0(B(x, 1/k)\cap \Omega)
    sao cho: \langle f, \varphi_k\rangle\not=0.

    Đặc biệt Định lý cuối buổi trình bày cho thấy không gian con các hàm suy rộng có giá compact \mathcal E' có thể coi như là không gian đối ngẫu của không gian \mathcal E.

  9. em chào thầy ,em muốn hỏi về vấn đề tìm giá ,thông thường thì nhìn vào tập xác định của nó để đoán giá và chứng minh ,nhưng có những trường hợp không dễ làm điều đó thì ý tưởng suy luận là gì ạ ,ví dụ các hàm kiểu như sau:
    (a) chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \delta(x-k),
    (b) chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty a_{k}\delta^{(k)}(x-k^2),
    (c) chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty\frac{a_{k}\delta^{(k)}(x^2-k^2)}{k^3-x^2}
    thì qui tắc và ý tưởng để nghĩ ra hướng đi là gì ạ?

  10. datuan5pdes

    Em cứ tưởng tượng ta có một con sóng vỗ vào bờ. Phần sóng nhô cao là giá của sóng. Ở từng thời điểm khác nhau phần nhô cao của sóng có thay đổi không? Nếu có thì như nào?

  11. Duong Hai Ngoc

    Thua thay!
    Trong phan 1.1.1 mot so ki hieu
    co doan viet :Don vi ao can bac 2 cua -1=i.
    cho nay em chua hieu lam.Neu viet can bac 2 cua -1=can bac 2 cua i^2=+- i nhu vay co sai khong thay?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s