Định lý Paley – Wiener cho tập không lồi

2008-02

Trong tổ Giải tích, thầy Vũ Nhật Huy (và thầy hướng dẫn Hà Huy Bảng) có một số kết quả về Định lý Paley – Wiener cho tập không lồi. Qua đôi lần thầy Huy trao đổi, tôi tìm tòi trên mạng thì được biết bài báo gần đây

“Real Paley-Wiener theorems and local spectral radius formulas”, Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010), 3613-3640

của hai tác giả Nils Byrial Andersen và Marcel de Jeu.

12 thoughts on “Định lý Paley – Wiener cho tập không lồi

  1. tih

    Thay oi cho em hoi van de nay voi.
    Trong giao trinh ham suy rong, trong chung minh Dinh Ly Paley- Wiener- Schwartz co de cap den tong Riemann
    \phi_h(\xi) = (2\pi)^{\frac{-n}{2}}\sum_j\varphi_k(jh)(f_{\xi}, e^{-i(jh, \xi)}) hoi tu den (2\pi)^{\frac{-n}{2}}\int_{x\in R^n}\varphi_k(x)(f_{\xi}, e^{-i(jh, \xi)}) khi h dan ve 0
    Vi sao nhu vay? thay giai thich giup em voi. E cam on.

      1. datuan5pdes

        Em muốn hiện ra công thức thì phải viết thêm chữ latex giữa dấu $ đầu tiên và công thức!
        Trước hết ta đặt \phi(x)=\varphi_k(x)\langle f_\xi, e^{-i\langle x, \xi\rangle}\rangle.

        Dễ có \phi\in C^\infty_0(\mathbb R^n) nên có một hình hộp chữ nhật đủ lớn B=\{x|\; |x_j|\le R, j=1, 2, \dots, n\} chứa giá của \phi.

        Khi đó

        +) \int\limits_{\mathbb R^n}\varphi_k(x)\langle f_\xi, e^{-i\langle x, \xi\rangle}\rangle dx=\int\limits_B \phi(x)dx (Tích phân bội Riemann),

        +) h^n\sum\limits_{J\in\mathbb Z^n}\varphi_k(hJ)\langle f_\xi, e^{-i\langle hJ, \xi\rangle}\rangle=h^n\sum\limits_{hJ\in B}\phi(hJ),
        J=(j_1, \dots, j_n) (Tổng Darboux).

        (Trong bài giảng tôi thiếu h^n)

        Biểu thức tổng thứ hai không gì khác chính là tổng Darboux của biểu thức tích phân thứ nhất với

        +) phân hoạch hình chữ nhật B bởi các điểm chia trên mỗi trục 0x_j, j=1, 2, \dots, n:

        -R\le -mh <\dots<-h <0 <\dots<mh\le R,
        với m là số nguyên lớn nhất để mh\le R,

        ta được (2m)^n các hình hộp con

        B_J=\prod_{k=1}^n[j_kh, (j_k+1)h], J=(j_1, \dots, j_n),
        -m\le j_k\le m-1, k=1, \dots, n,

        +) trên mỗi hình hộp B_J, ta chọn điểm

        x_J=hJ=(hj_1, \dots, hj_n),

        ta có \phi(x_J)=\phi(hJ)=\phi(hj_1, \dots, hj_n),

        +) tôi quên chưa nhân với thể tích mỗi hình hộp B_Jh^n.

  2. tih

    Em cam on thay.
    Thay cho em hoi van de nay nua. Trong dinh ly 1.11 bai giang cua thay phat bieu. Gia su f la phiem ham tuyen tinh bi chan tren E(\Omega). “Bi chan tren E(\Omega)” o day hieu la sao vay thay??.
    Toan tu A: X den Y bi chan thi X, Y la cac khong gian dinh chuan nhung o day E(\Omega) ko de cap den dieu do.

    1. datuan5pdes

      Đã có lần tôi phải xóa đi rất nhiều câu hỏi của em vì hỏi không đúng chỗ! Nếu còn lần khác tôi xin lỗi em trước vì sẽ phải xóa đi.

      Khi viết công thức em viết tách chữ latex và công thức ra. Viết như em đến người còn không hiểu huống hồ máy tính!

      Trong trường hợp không gian \mathcal E

      tuyến tính bị chặn=tuyến tính liên tục.

      Tuyến tính bị chặn nghĩa là: bảo toàn các phép toán tuyến tính + biến tập bị chặn thành tập bị chặn. Tuy nhiên trong giáo trình tôi chưa có khái niệm bị chặn. Do \mathcal E là không gian khả metric nên khái niệm bị chặn khá đơn giản như sau:

      tập con A\subset\mathcal E là tập bị chặn nếu có một số dương R để tập A nằm trong hình cầu tâm tại gốc (hàm đồng nhất không) bán kính R.

      Dĩ nhiên trong chứng minh chỉ dùng tuyến tính liên tục.

    1. datuan5pdes

      Câu trả lời ở trên của tôi chưa chính xác. Điều này tôi càng thấy cảm giác của tôi đúng. Em hỏi cho vui chứ không cần xem câu trả lời đã hợp lý hay chưa?

      Cụ thể việc định nghĩa tập bị chặn trong không gian \mathcal E của tôi ở trên là sai!

  3. datuan5pdes

    Cụ thể chỗ sai đấy như sau.

    Ta viết \Omega=\cup_{k=1}^\infty \Omega_k, với
    \Omega_k\subset\bar{\Omega}_k\subset\Omega_{k+1}\subset\Omega,
    \Omega_k là tập mở, \bar{\Omega}_k là tập compact.

    Khi đó, ta thường hay định nghĩa khoảng cách trong \mathcal E(\Omega)

    d(\varphi, \psi)=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{2^{-k}||\varphi-\psi||_{C^k(\bar{\Omega}_k)}}{1+||\varphi-\psi||_{C^k(\bar{\Omega}_k)}},

    trong đó
    ||\varphi-\psi||_{C^k(\bar{\Omega}_k)}=\sum\limits_{|\alpha|\le k}\sup\limits_{x\in\bar{\Omega}_k}|D^\alpha(\varphi-\psi)(x)|.

    Dễ thấy cả không gian \mathcal E(\Omega) nằm trong hình cầu tâm tại gốc, bán kính 1!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s