Định lý Wiener – Tauberian

Như trong bài “Định lý Abel – Định lý Tauber ”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2011/04/29/d%e1%bb%8bnh-ly-abel-d%e1%bb%8bnh-ly-tauber/

Định lý Tauber khởi thủy được chứng minh khá nhẹ nhàng. Tuy nhiên để có thể sử dụng để chứng minh Định lý về mật độ số nguyên tố (Prime Number Theorem) cần giảm nhẹ điều kiện của Tauber. J.E. Littlewood đã đưa ra điều kiện giảm nhẹ đó. Việc chứng minh Định lý Tauber với điều kiện Littewood đòi hỏi nhiều kỹ thuật giải tích hơn. Định lý Tauber kiểu này thu hút rất nhiều nhà toán học. Có rất nhiều dạng cũng như nhiều chứng minh thú vị và sâu sắc. Bạn đọc có thể xem trong cuốn “Tauberian Theory” của Jacob Korevaar

http://www.box.net/shared/z6f0ve3n21

Dưới đây, tôi xin trình bày cách tiếp cận của Norbert Wiener: chuyển từ “dãy số”(dãy tổng riêng) sang “hàm số”:

s(x)=\sum\limits_{n\le x}a_n.

Ta nhắc lại Định lý Tauber với điều kiện Littlewood:

Giả thiết:

(+) chuỗi \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n hội tụ điểm đến S(x) với mọi x\in(-1, 1),

(+) có giới hạn trái \lim\limits_{x\to 1^-}S(x)=S(1^-),

(+) na_n<C, \forall n với C là hằng số dương.

Kết luận \sum\limits_{n=0}^\infty a_n hội tụ đến S(1^-).

Ta có thể giả sử S(1^-)=0 (bằng cách thay a_0 bởi a_0-S(1^-)). Ngoài ra tôi sẽ chứng minh khi |na_n|<C như trong bài của David Borwein

tauber

Khi đó ta chuyển sang “hàm số” có

Giả thiết:

(+) S(x)=o(1) khi x\to 1^-,

(+) s(x)=O(1),

Kết luận s(x)=o(1) khi x\to 1^-.

Bước tiếp, nếu đặt x=e^{-t}

S(e^{-t})=\sum\limits_{n=0}^\infty a_ne^{-nt}=\int_0^\infty e^{-ty}ds(y)\stackrel{s(y)=O(1)}{=}t\int_0^\infty e^{-ty}s(y)dy.

Tiếp tục đặt t=e^{-z}x=e^{-e^{-z}}\to 1^{-} khi z\to+\infty

S(e^{-e^{-z}})=o(1) hay K*\phi(z)=o(1) khi z\to+\infty

với K(z)=e^{-z-e^{-z}}\phi(z)=s(e^z).

Định lý Tauber lại được chuyển:

Giả thiết

+) K*\phi(z)=o(1) khi z\to +\infty, với K(z)=e^{-z-e^{-z}}\in L^1(\mathbb R)

+) \phi(z)=O(1) (hàm bị chặn, thuộc không gian L^\infty(\mathbb R)),

+) \phi là dao động chậm (slowly oscillating) ở dương vô cùng, nghĩa là

\forall \epsilon>0 \; \exists x_0>0 \;\forall x_0<x<y<x+\epsilon: \phi(y)-\phi(x)\le 2\epsilon,

Kết luận \phi(z)=o(1) khi z\to+\infty.

Norbert Wiener đã phát biểu Định lý kiểu Tauber như sau

Giả thiết: cho \phi\in L^\infty(\mathbb R), K\in L^1(\mathbb R) thỏa mãn

+) \mathcal F K(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R,

+) K*\phi(z)=o(1) khi z\to+\infty;

Kết luận f*\phi(z)=o(1) khi z\to+\infty với mọi f\in L^1(\mathbb R).

Hơn nữa (theo H.R.Pitt) nếu thêm điều kiện dao động chậm của \phi ở dương vô cùng thì

\phi(z)=o(1) khi z\to+\infty.

\mathcal F(e^{-z-e^{-z}})(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-i\xi z}e^{-z-e^{-z}}dz

\stackrel{u=e^{-z}}{=}\int_0^\infty u^{i\xi}e^{-u}du=\Gamma(1+i\xi)\not=0\;\forall \xi\in\mathbb R

nên áp dụng Định lý Wiener – Tauberian ta có ngay Định lý Tauber dạng Littlewood.

Việc chứng minh phần sau của H. R. Pitt: ta chọn các hàm f\in L^1(\mathbb R) đặc biệt

f_{\epsilon^+}(z)=\dfrac{1}{\epsilon}\chi_{[0, \epsilon]}(z), f_{\epsilon^-}(z)=\dfrac{1}{\epsilon}\chi_{[-\epsilon, 0]}(z).

Bây giờ ta chứng minh Định lý Wiener – Tauberian như trong cuốn “Functional Analysis” của Walter Rudin.

Ký hiệu Y là tập tất cả các hàm f\in L^1(\mathbb R) thỏa mãn

f*\phi(z)=o(1) khi z\to+\infty.

Có:

+) K\in Y,

+) Y đóng trong L^1(\mathbb R),

+) Y bất biến đối với phép toán dịch chuyển, nghĩa là f(x)\in Y thì với mọi y\in\mathbb R\tau_y f(x)=f(x-y)\in L^1(\mathbb R).

Áp dụng Định lý sau đây của Norbert Wiener

“Nếu Y là không gian con đóng, bất biến đối với phép dịch chuyển của L^1(\mathbb R)Z(Y)=\emptyset thì Y=L^1(\mathbb R).”

Ở đây Z(Y)=\cap_{f\in Y}\{\xi\in\mathbb R|\; \mathcal F f(\xi)=0\}. Khi đó từ giả thiết \mathcal F K(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb RK\in Y có ngay Z(Y)=\emptyset. Kết thúc chứng minh Định lý Wiener – Tauberian.

One thought on “Định lý Wiener – Tauberian

  1. Pingback: Định lý Wiener-Tauberian (tiếp) | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s