Trao đổi bài giảng lớp K53A1T

Hôm nay, ngày 06/09/2011, tôi bắt đầu dạy cho lớp K53A1T.

Tôi mở đầu vài nét về sự xuất hiện môn học và giới thiệu vài ký hiệu. Đặc biệt lưu ý về không gian C^k(\Omega) và giá của một hàm liên tục. Tôi chưa định nghĩa giá của hàm không liên tục!

Các bạn sinh viên K53A1T có gì thắc mắc có thể viết vào phần “comments” (hay “phản hồi”) phía dưới bài viết.

42 thoughts on “Trao đổi bài giảng lớp K53A1T

    1. datuan5pdes

      Tuần sau tôi sẽ trình bày gọn phần “Kiến thức bổ sung”, cụ thể về “phân hoạch đơn vị”.

      Nếu được tuần sau nữa có thể bắt đầu trình bày về không gian hàm cơ bản \mathcal D(\Omega).

  1. duong hai ngoc

    Thay a! em hoc danh công thức Toán học trong Comments de tien viet hoi thay cho de nhung kho qua mai em van chua hoc dc.thay co the huong dan qua dum em chut it ve cach danh công thức Toán học trong Comments.thanks thay!

  2. datuan5pdes

    Hôm nay, ngày 13/09/2011, tôi nhắc cả lớp về việc kiểm tra 10 phút hoặc 15 phút (có báo trước hoặc lúc nào lớp vắng) để lấy điểm thường xuyên. Các câu hỏi sẽ là các câu tôi hỏi trên lớp hoặc các bạn trong lớp hỏi trên lớp.

    Hôm nay tôi có hỏi về các tính chất của giá liên quan đến các phép toán trên các hàm liên tục hay khả vi (một hay nhiều biến).

  3. datuan5pdes

    Bạn Lưu Xuân Trường trình bày không gian hàm cơ bản \mathcal D(\Omega) nên gặp tôi vào sáng thứ Hai tới (19/09/2011) tại BMGT phòng 305 T3 để trao đổi những thứ cần trình bày.

    Bạn Trường sẽ trình bày theo bố cục:

    – Định nghĩa, tính chất (có chứng minh),

    – Nêu các ví dụ về sự hội tụ trong \mathcal D(\Omega) và không hội tụ trong đó,

    – Nêu định nghĩa dãy Cauchy và chứng minh phác thảo tính đầy đủ của không gian \mathcal D(\Omega)

  4. duong hai ngoc

    Thay ui!
    em nho thay lat
    co vai cho em ko hieu lam
    thay chi bao dum em cai
    CH1:H(x)=1 neu x>=0 va =0 neu xham dirac=H'(x)=0 neu x#0 va = vo cung neu x=0.Cho H'(x)=0 neu x#0 thi ko van de gi.con cho H(x)= vo cung neu x=0 thi lieu co CM dc ko thay?neu CM dc thi fai CM ntn ha thay?
    CH2:Trong “cong thuc co” epxilon la cai gi ha thay?
    fai chang no la 1 so thuc va dan toi 0.
    CH3:tich fan tu +vo cung toi -vo cung cua ham dirac =1 lieu co the CM dc ko thay.Va neu CM dc thi CM ntn ha thay?
    Tam thoi hom nay em hoi nho thay vay thoi
    vi so tg thay thieu.
    mong thay chi bao.
    E thanks thay nhiu!

  5. duong hai ngoc

    Help me! help me!
    Em sap phai thuyet trinh ma chua biet mo te gi.
    Cu ntn em se chang lam gi dc mat
    thay ui!
    thay co the cho em va ca lop muan cuan “Hàm suy rộng ” của Ram P. Kanwal. em lotopho dc ko thay.Chu tim tren mang roi di in thi dat hon tolopho thay a! va so in qua fan ko hoc den. Vay neu dc thay cho chung em muon di tolopho cho tien kiem it usd chut thay.
    chung em thanks thay nhiu!

  6. duong hai ngoc

    Thay ui VD trong sach ve phan khong gian ham suy rong kha kho hieu!
    Em muan co nhung VD don gian hon cho de thuyet trinh
    Thay co VD nao don gian hon,de hieu hon trong SGK ko thay chia se dum em voi ko em die mat,
    E thanks thay nhiu!

  7. duong hai ngoc

    Dung that la ngu moi can hoi nhieu chu hoc gioi thi co khi ko can hoi nhieu nhu em.
    Em hoi nho thay chut nua thay
    trong phan khong gian ham suy rong
    phan DN: ta phai neu bat dc cai gi ha thay,cho nao la trong tam thay ui.
    tuong tu cung vay trong phan dao ham suy rong va nguyen ham suy rong em cung can phai chu tam lam noi bat cho QT nao ha thay
    Em la ng kem nhat trong 3 ng len trinh bay vay nen de tranh tinh trang len thuyet trinh ko lam dc chut nao thi em fai lam fien thay nhieu thoi
    Vay nen mong thay giup do em
    e thanks thay nhieu!

  8. nho

    Em chào thầy.
    Thầy cho em hỏi chút ạ: Giá của một hàm không liên tục là gì ạ?
    Hay supp f’ = A thì supp f là gì ạ? với f là hàm khả vi liên tục cấp 1 trên R

    1. datuan5pdes

      Giá của hàm không liên tục như tôi đã định nghĩa trên lớp như sau:

      với f: \Omega \to \mathbb C có phần bù của giá được xác định bởi
      (supp f)^c= \{x\in \Omega| có một số dương để \epsilon: B_\epsilon(x)\subset \Omega và với hầu khắp nơi y\in B_\epsilon(x)f(y)=0\}.

      Trong nhiều trường hợp khi kiểm tra chữ “hầu khắp nơi” lại trở thành “mọi nơi”!

      Chẳng hạn hàm Heaviside H: \mathbb R \to\mathbb R
      H(x)=1 khi x>0,
      H(x)=0 khi x\le 0.

      Các bạn có thể thấy chữ “hầu khắp nơi” có ý nghĩa khi kiểm ta hàm Dirichlet D: \mathbb R \to \mathbb R
      D(x)=1 khi x hữu tỷ,
      D(x)=0 khi x vô tỷ.

      Tôi không rõ chữ “hay” của em có ý nghĩa gì? Vì f khả vi liên tục đến cấp 1 thì đạo hàm của nó f^{,} là hàm liên tục.
      Khi biết giá của đạo hàm supp f^{,} nói chung ta không biết giá của hàm f như nào. Chẳng hạn f^{,}=0 thì f=C. Tùy vào C ta mới biết giá của f.

      Ngược lại ta lại có supp f^{,}\subset supp f. Các bạn sinh viên thử xem khi nào supp f^{,}=supp f?

      1. D.H.N

        Nguoi hoi hoi cung hay,Nguoi tra loi,tra loi cung hay.Goi mo cau hoi moi lai con hay hon nua!
        Dung that la khong vao binh luan thi that la phi pham cua troi!Tuyet that do,Tuyet that do!

  9. datuan5pdes

    Hôm nay, ngày 20/09, bạn Lưu Xuân Trường bắt đầu trình bày về không gian \mathcal D. Nhìn chung cách trình bày là tốt! Đặc biệt, có lẽ đây là lần đầu tiên từ lúc bắt đầu dạy môn này, tôi thấy mọi người có nhiều đóng góp phong phú cho phần trình bày của bạn Trường. Tôi cảm ơn các bạn sinh viên K53A1T!

    Tuần tới bạn Trường trình bày nốt tính đầy đủ của không gian \mathcal D, sau đó bạn Dương Hải Ngọc trình bày một phần về không gian \mathcal D'.

    Rất có thể tôi cũng kiểm tra vài phút về phần bạn Trường trình bày hôm nay như cách tôi đã làm đầu giờ.

  10. datuan5pdes

    Tôi vừa chấm bài kiểm tra thì thấy trong 4 bài tôi đánh dấu chia điểm chỉ có một bài còn có dấu của tôi. Vậy 3 bạn còn lại nên tự giác nói tên cho tôi. Trong TH không tự giác điểm thường xuyên của 3 bạn đó mặc nhiên là 0 điểm!

  11. datuan5pdes

    Hôm qua, ngày 27/09/2011, bạn Trường vấp phải vấn đề về tính đầy đủ của không gian các hàm liên tục C(K), K là tập compact, với chuẩn sup:

    ||\varphi||_\infty = \sup_{x\in K}|\varphi(x)|.

    Cụ thể, với mỗi dãy Cauchy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty trong C(K), nghĩa là
    \lim\limits_{j\to\infty \atop k\to\infty}||\varphi_j-\varphi_k||_{\infty}=0

    thì có một hàm \varphi\in C(K) để
    \lim\limits_{j\to\infty}||\varphi_j-\varphi||_\infty=0. \; \; \; (1)

    Bạn Trường dùng tính đầy đủ của tập số phức \mathbb C để chỉ ra có một hàm \varphi(x) để dãy hàm \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty hội tụ điểm đến nó.

    Tuy nhiên, còn hai vấn đề bạn Trường chưa giải quyết:

    -) \varphi\in C(K),

    -) có (1).

    Thực ra ta chỉ cần chứng minh (1) rồi dùng tính chất của hội tụ đều suy ra \varphi\in C(K).

    Qua trao đổi với thầy Ninh Văn Thu, tôi học được cách chứng minh khá gọn sau.

    Lấy \epsilon>0 bất kỳ. Ta sẽ chỉ ra một số k_0 để với mọi j\ge k_0

    |\varphi_j(x)-\varphi(x)|\le \epsilon, \forall x\in K.

    Từ giả thiết về dãy Cauchy trong (C(K), ||.||_\infty), ta chọn số k_0 sao cho với j\ge k_0

    |\varphi_j(x)-\varphi_{k_0}(x)|\le \epsilon/3, \forall x\in K.

    Lại từ tính chất hội tụ điểm, với mỗi x\in K có một số j(x)>k_0 (phụ thuộc x) để

    |\varphi_{j(x)}(x)-\varphi(x)|\le \epsilon/3.

    Khi đó với mọi x\in K, j\ge k_0

    |\varphi_j(x)-\varphi(x)|\le |\varphi_j(x)-\varphi_{k_0}(x)|+
    +|\varphi_{j(x)}(x)-\varphi_{k_0}(x)|+|\varphi_{j(x)}(x)-\varphi(x)|\le \epsilon (đpcm).

    1. datuan5pdes

      Ta cũng có thể sử dụng Định lý Azela-Ascoli như sau.

      Đầu tiên, từ tính Cauchy của dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty dẫn đến:

      -) dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty bị chặn đều, nghĩa là
      có số dương M để với mọi j
      ||\varphi_j||_\infty\le M,

      -) dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty liên tục đồng bậc, nghĩa là
      với mọi \epsilon> có một số \delta=\delta(\epsilon)
      sao cho với mọi j nếu ||x-y||<\delta
      |\varphi_j(x)-\varphi_j(y)|<\epsilon.

      Các bạn có thể tự chứng minh xem!

      Khi đó theo Định lý Azela-Ascoli có một dãy con của dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty hội tụ đều đến hàm \varphi\in C(K).

      Tiếp đến lại dùng tính Cauchy của dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty ta có dãy \{\varphi_j\}_{j=1}^\infty hội tụ đều đến \varphi.

      Về Định lý Azela-Ascoli, các bạn có thể tìm hiểu ở trang

      http://en.wikipedia.org/wiki/Arzel%C3%A0%E2%80%93Ascoli_theorem

  12. anlanh_hmt

    Dạ thưa thầy!Em là Tuấn ở lớp K53a1T.Em có xin với thầy trình bày về Không Gian Hàm Suy Rộng \mathcal E^{,}.Trong khi khi đợi và học tiếp các phần trình bày của các bạn và của thầy em muốn chuẩn bị trước cho phần trình bày của mình.Để có vấn đề gì em còn hỏi thầy ngay ạ!xin Thầy cho em biết những phần quan trọng cần chú ý trong phần KHông gian \mathcal E^{,}.Và những vấn đề cần phải trình bày trong đó ạ!

    Và thầy cho em hỏi là ở trong phần Không Gian \mathcal E^{,}. Ở phần chú ý 6 sau định nghĩa Thầy có nói là:với 1 hàm liên tục f thuộc C(\Omega) thì giá thông thường và giá của hàm suy rộng tương ứng với f là bằng nhau.Chú ý này sẽ được hiểu như thế nào ạ!Có phải ở đây là đã xem 1 hàm liên tục là 1 hàm suy rộng không ạ???và nếu coi như thế thì ta sẽ làm như thế nào!Em chỉ thấy có chú ý của thầy ở phần KHông gian hàm suy rộng \mathcal D^{,}. Về việc coi 1 hàm khả tích địa phương là 1 hàm suy rộng…

    Em cảm ơn thầy ạ!

    1. datuan5pdes

      Để hiểu không gian \mathcal E^{,} em cần biết:
      – không gian \mathcal E,
      – giá của hàm suy rộng.

      Bố cục trình bày phần của em như sau:
      – Giá của hàm suy rộng;
      – Định lý về Định nghĩa tương đương của hàm suy rộng có giá compact;
      -Sự hội tụ và tính đầy đủ;
      -Định lý về Định nghĩa tương đương của khái niệm hội tụ.

      Đặc biệt em trình bày cách tìm giá của hàm suy rộng, đưa ra các ví dụ về sự hội tụ trong \mathcal E^{,}.

      Về hàm liên tục, em thử chứng minh xem tính khả tích địa phương của hàm liên tục (khả tích trên từng hình cầu đóng)! Từ đó em sẽ hiểu hàm liên tục là hàm suy rộng như nào!

  13. datuan5pdes

    Hôm nay, ngày 04/10/2011, trong phần bằng nhau của hàm suy rộng tôi có đề cập đến kết quả sau của Paul du Bois Raymond (người đầu tiên tìm ra hàm liên tục có chuỗi Fourier phân kỳ tại một số điểm ):

    Điều kiện cần và đủ của một hàm khả tích địa phương trên \Omega(hàm thông thường) bằng không hầu khắp nơi là
    \int_{\Omega} f(x)\varphi(x)dx=0\; \forall \varphi\in C^\infty_0(\Omega).

    Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh này trong cuốn sách:

    “Methods of the Theory of Generalized Functions” của V. S. Vladimirov (trang 15).

    Đường link
    http://www.box.net/shared/84znrjg2o9a1s1zjrbf1

    Cũng trong cuốn này (trang 18) có đưa ra chứng minh chi tiết cho kết quả

    “Không có hàm thông thường nào biểu diễn được hàm Dirac.”

    1. datuan5pdes

      Nói chung ta chỉ biết supp f^{,}\subset supp f.

      Hàm Heaviside có giá supp H=[0, +\infty), đạo hàm của nó hàm Dirac lại có giá supp\delta=\{0\}. Đạo hàm của hàm Dirac lại có giá supp\delta^{,}=\{0\}.

      Khi nào có dấu bằng là câu hỏi khó!

      Trường hợp f=f^{,} chỉ là một trường hợp nhỏ, vì khi đó ta có f(x)=ce^{x}.
      Trường hợp khác supp f^{,}=\mathbb R. (Ta chỉ nói về hàm một biến cho đơn giản.)
      Trường hợp supp f chỉ gồm hữu hạn điểm (kể cả không có điểm nào!).

  14. datuan5pdes

    Sau khi các bạn trình bày xong không gian \mathcal E^{,} tôi sẽ dành một buổi để chữa bài tập. Sau đó sẽ kiểm tra giữa kỳ.

    Bài tập sẽ chữa gồm các bài tập của chương 1 và các bài trong đề thi giữa kỳ các năm trước. Các bạn nên chuẩn bị để lên bảng. Tôi sẽ tính vào điểm thường xuyên. Đặc biệt các bạn học lại cần làm cho tốt! Các bạn có thể hỏi tôi qua trang web này hoặc gặp tôi trên bộ môn Giải tích (nên hẹn trước).

  15. nho

    Thầy ơi, nếu chứng minh f \in \mathcal E(\Omega), \phi \in C^{\infinite}_0(\Omega) mà supp f giao supp \phi = \emty thì =0 có thể giả thiết supp f = \Omega \ W ; supp \phi = W rồi chia ra 2 trường hợp \omega_{x} \in \Omega \ W và \omega_{x} \notin \Omega \ W chứng minh có được không ạ?

    1. datuan5pdes

      Tùy từng trường hợp. Khi ánh xạ được cho có công thức có dạng:

      – giới hạn,
      – tích phân suy rộng (miền lấy tích phân là miền không bị chặn)

      thì cần thiết phải xem nó có tồn tại hay không? Nói cách khác cần biết thực sự công thức đã cho được hiểu thực sự như nào?

  16. datuan5pdes

    Hôm nay, ngày 15/11/2011, trong phần bạn Đạt trình bày có hai điểm có vấn đề.

    Điểm thứ nhất nằm trong phần chứng minh tính trù mật của tập C^\infty_0(\mathbb R^n) trong không gian S(\mathbb R^n). Cụ thể như sau.

    Lấy \varphi\in S(\mathbb R^n) xây dựng dãy

    \varphi_k(x)=\omega_k(x)\varphi(x)

    trong đó \omega_k(x)=\omega(x/k), \omega(x)\in C^\infty_0(\mathbb R^n) thỏa mãn:

    0\le \omega(x) \le 1, \forall x\in\mathbb R^n,
    \omega(x)=1 khi ||x||\le 1,
    supp \omega\subset B_2(0).

    \varphi_k\in C_0^\infty(\mathbb R^n) nên chỉ còn phải chứng minh với mỗi m\in\mathbb Z_+, \beta\in \mathbb Z^n_+,

    \lim\limits_{k\to\infty} \sup\limits_{x\in\mathbb R^n}(1+||x||^2)^{m} |D^\beta \varphi_k(x)-D^\beta \varphi(x)|=0,

    hay nói cách khác, với mỗi m\in\mathbb Z_+, \beta\in \mathbb Z^n_+,

    lấy \epsilon>0 tùy ý, cần chọn k_0 để với k\ge k_0

    \sup\limits_{x\in\mathbb R^n}(1+||x||^2)^{m}|D^\beta \varphi_k(x)-D^\beta \varphi(x)|\le\epsilon.

    Trong chứng minh của bạn Đạt con vướng việc tìm M>0 chỉ phụ thuộc \epsilon và không phụ thuộc vào k (khi k đủ lớn) sao cho

    \sup\limits_{||x||\ge M}(1+||x||^2)^{m}|D^\beta \varphi_k(x)-D^\beta \varphi(x)|\le\epsilon.

    Do \varphi\in S(\mathbb R^n) nên có số M_1>0 (không phụ thuộc k) để

    \sup\limits_{||x||\ge M_1}(1+||x||^2)^m|D^\gamma \varphi(x))|\le\epsilon, \;\forall \gamma\le \beta.

    Lại có

    D^\beta\varphi_k(x)=\omega(x/k)D^\beta\varphi(x)+
    +\sum\limits_{0\not=\gamma\le \beta}C_{\gamma, \beta}D^\gamma(\omega(x/k))D^{\beta-\gamma}\varphi(x).

    Để ý rằng:

    |\omega(x/k)D^\beta\varphi(x)|\le |D^\beta\varphi(x)|,

    D^\gamma(\omega(x/k))=k^{-|\gamma|}D^\gamma\omega(x/k),

    \sup\limits_{||x||\ge M_1}(1+||x||^2)^m|D^{\beta-\gamma}\varphi(x)|\le \epsilon

    nên chọn M=M_1, với k đủ lớn ta sẽ vượt qua được chỗ còn vướng.

    Các bạn thử tự làm nốt!

    Vấn đề thứ hai bạn Trường hỏi về định nghĩa sự hội tụ trong S(\mathbb R^n) việc có x^\alpha là thực sự cần thiết hay không.

    Tôi vừa tìm được ví dụ cho thấy sự cần thiết của việc xuất hiện x^\alpha.

    Xét dãy trong S(\mathbb R)

    \psi_k(x)=\dfrac{1}{k}\rho(x-k).

    Các bạn thử kiểm tra

    \lim\limits_{k\to\infty} \sup\limits_{x\in\mathbb R} |D^\beta\psi_k(x)|=0,

    \lim\limits_{k\to\infty} \sup\limits_{x\in\mathbb R} |x D^\beta\psi_k(x)|>0.

  17. datuan5pdes

    Hôm thứ Sáu, ngày 25/11/2011, tôi đã trình bày phần xây dựng tích chập và biến đổi Fourier.

    Thứ Ba tới, ngày 29/11/2011, tôi trình bày các Định lý Paley-Wiener và chuyển sang phần không gian Sobolev.

    Tôi đã xin lớp thêm một buổi nữa vào thứ Sáu, ngày 02/12/2011, để chữa bài tập. Bài tập lần tới này sẽ là các đề thi của các năm trước. Rất mong các bạn chuẩn bị cẩn thận. Nếu có gì cần hỏi tôi sẵn sàng trả lời các bạn.

    Lưu ý tuần từ ngày 05/12/2011 đến 10/12/2011 tôi bận nên lớp sẽ nghỉ. Tuần sau đó lại tiếp tục chữa bài tập.

  18. Pingback: Hàm e^x và e^{1/x} « Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s