Cấu trúc địa phương của hàm suy rộng

Trong phần giới thiệu về nguồn gốc hàm suy rộng, hàm Dirac là một ví dụ điển hình và cũng là một trong những lý do chính để các nhà Toán học đưa ra khái niệm hàm suy rộng. Một trong những cách hàm Dirac xuất hiện là “đạo hàm” hàm Heavisde (hàm số được định nghĩa tại từng điểm)! Trong phần tiếp của bài này tôi sẽ chỉ ra đây chính là cách tạo ra bất kỳ hàm suy rộng nào, một cách địa phương! Cụ thể, bất kỳ một hàm suy rộng nào, trên từng tập compact, nó đều được sinh ra bằng cách đạo hàm suy rộng một số hữu hạn lần hàm thông thường!

Để đỡ phức tạp, tôi chỉ đưa ra chứng minh cho trường hợp một chiều. Chứng minh trong trường hợp nhiều chiều bạn đọc có thể tham khảo cuốn sách

“Methods of the Theory of Generalized Functions” của V. S. Vladimirov (trang 35).

Đường link
http://www.box.net/shared/84znrjg2o9a1s1zjrbf1

Trong trường hợp một chiều ta có thể phát biểu một cách khác:

Trên từng compact, sau khi lấy nguyên hàm suy rộng một số hữu hạn lần một hàm suy rộng ta sẽ thu được hàm thông thường!

Ta đi vào chứng minh chi tiết. Lấy f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R), R>0. Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng có một hàm g\in L^\infty (-R, R) sao cho sau khi đạo hàm suy rộng một số hữu hạn lần hàm g ta được hàm f. Một số hữu hạn lần ở đây không gì khác chính là cấp của hàm suy rộng f trên đoạn [-R, R] cộng với 1. Bạn đọc có thể thấy khá rõ kết quả này từ hàm Dirac.

Như đã biết trên mỗi đoạn [-R, R], hàm suy rộng f có cấp hữu hạn, ký hiệu m. Khi đó

|\langle f, \varphi\rangle|\le C\sum\limits_{j=0}^m \sup\limits_{x\in[-R, R]}|D^j\varphi(x)|\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(1)

Với hàm \varphi\in \mathcal D(-R, R), hàm khả vi vô hạn xác định trên \mathbb R, có giá nằm trong (-R, R), ta có bất đẳng thức Poincare:

\sup_{x\in (-R, R)}|\varphi(x)|\le 2R\sup_{x\in (-R, R)}|D\varphi(x)|.

Bất đẳng thức này được chứng minh dễ dàng từ đẳng thức:

\varphi(x)=\int\limits_{-\infty}^x D\varphi(t)dt

và lưu ý supp D\varphi\subset supp\varphi\subset (-R, R).

Cứ như vậy, bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức

|\langle f, \varphi\rangle|\le C \sup\limits_{x\in[-R, R]}|D^m\varphi(x)|\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(2)

Cũng tương tự như cách chứng minh bất đẳng thức Poincare, từ (2) ta có:

|\langle f, \varphi\rangle|\le C \int\limits_{-R}^R|D^{m+1}\varphi(x)|dx\;\; \forall \varphi\in \mathcal D(-R, R). \;\;\;(3)

Ký hiệu U_m=\{D^{m+1}\varphi|\; \varphi\in \mathcal D(-R, R)\}=D^{m+1} \mathcal D(-R, R) là không gian tuyến tính con của không gian L^1(-R, R).

Khi đó, từ (3), áp dụng Định lý Hahn – Banach (xem http://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem), ta có thể thác triển ánh xạ:

\psi(x)=(-1)^{m+1}D^{m+1}\varphi(x)\in U_m\mapsto \langle f, \varphi\rangle\in\mathbb C

thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục f^{*}: L^1(-R, R)\to\mathbb C.

Khi đó  theo Định lý biểu diễn F. Riesz, sẽ có một hàm g\in L^\infty(-R, R) để

f^{*}(\psi)=\int_{-R}^R g(x)\psi(x)dx, \;\forall \psi\in L^1(-R, R).

Khi đó, với \psi=D^{m+1}\varphi\in U_m, \varphi\in \mathcal D(-R, R), ta có

\langle f, \varphi\rangle=f^{*}(\psi)=(-1)^{m+1}\int_{-R}^R g(x)D^{m+1}\varphi(x)dx.

Do đó f=D^{m+1}g trên (-R, R).

Đặt h(x)=\int_{-R}^x g(t)dt. Bạn đọc thử chứng minh hai điều sau:

(-) h\in C(-R, R),

(-) đạo hàm suy rộng của h, trên (-R, R), chính là g, nghĩa là

\int_{-R}^R h(x) D\varphi(x)dx=-\int_{-R}^R g(x)\varphi(x)\;\forall \varphi\in \mathcal D(-R, R).

Bạn đọc thử trả lời câu hỏi:

Liệu có thể thay từ “địa phương” bằng “toàn cục”?

10 thoughts on “Cấu trúc địa phương của hàm suy rộng

  1. datuan5pdes

    Câu hỏi khác: phải chăng cấp của hàm suy rộng cộng với 1 là số bé nhất n để có một hàm thông thường sao cho đạo hàm suy rộng cấp n của nó là hàm suy rộng đã cho? Ngoài ra có bao nhiêu hàm thông thường như vậy? Nó có dạng thế nào?

  2. em xin được post lại. em đọc va để trong dấu $ $ mà không biét lần này được không nữa.

    hi thầy.!

    trong sách của Bresis- chương 8- mục 8.2 có phần định nghĩa và chú thích như sau:

    định nghĩa không gian soboev:
    W^{1,p}\left( I \right) = \left\{ {u \in {L^p}\left( I \right) sao cho \int\limits_I {u{\varphi ^{,}} = - \int\limits_I g } \varphi , \forall \varphi \in C_c^1\left( I \right)} \right\}
    với I = \left[ {a,b} \right] có thể bị chặn hoặc không.
    p \in , 1 \le \pi \le \infty

    chú thích: ta có thể sủ dụng không phân biệt C_c^\infty \left( I \right) hay C_c^1\left( I \right) như là tập các hàm thử.

    thầy có thể giúp em lý giải vấn đề của phần chú thích này được không ạ?

    từ đó mình có thể suy rằng C_c^1\left( I \right) = C_c^\infty \left( I \right)
    cái này thì em chỉ mới chứng minh được là C_c^\infty \left( I \right) \subset C_c^1\left( I \right)
    chiều còn lại em chưa có hướng giải quyết, mong thầy gợi ý giúp em.

    em xin cám ơn thầy.!

    p/s: em không phải là thành viên của lớp thầy, nhưng em có học vấn đề liên quan đến kg Sobolev. với tinh thần học hỏi nên em xin được làm phiền thầy 1 chút ạ. mong thầy đừng giận.!

    1. datuan5pdes

      Em viết thêm $ $ chưa đủ để ra được công thức! Cần gõ thêm “latex” như trong hướng dẫn “Cách gõ Tex” ngay bên phải.

      Về không gian W^{1, p}(I) em chép định nghĩa thiếu. Em xem lại nhé!

      Chuyện C^1_c(I)=C^\infty_c(I) là sai!
      Phản ví dụ đưa ra rất dễ như sau:
      f: I\to\mathbb R xác định bởi
      f(x)=0 khi a\le x\le \dfrac{a+b}{2},
      f(x)=x^2 khi \dfrac{a+b}{2}\le x\le b.

  3. vâng, em lú lẫn quá ^^

    e gõ lại định nghĩa Sobolev:

    W^{1,p}=\left\{ {u \in {L^p}\left( I \right): \exists g \in {L^p}\left( I \right) sao cho \int\limits_I {u{\varphi ^{,}} =  - \int\limits_I g \varphi , \forall } \varphi  \in C_c^1\left( I \right)} \right\}
    trong đó I và p như em đã nói ở trên.
    vậy nếu trong định nghĩa này mình thay C_c^\infty \left( I \right) bằng C_c^1\left( I \right) thì sẽ không có ji thay đổi cả. nhưng tại sao nó lại không có ji thay đổi hả thầy. rõ ràng là C_c^\infty \left( I \right)  \ne C_c^1\left( I \right)

    thầy nói rõ giúp em cái phản ví dụ của thầy với, em chưa hiểu lắm.

    em xin cám ơn thầy.!

    1. datuan5pdes

      Em chưa hiểu phản ví dụ tôi đưa ra vì em không có thói quen tính toán cụ thể. Em cứ tính đạo hàm cấp 1 rồi cấp 2, .v.v.

      Còn việc thay C^\infty_c(I) bởi C^1_c(I) không làm thay đổi định nghĩa vì

      việc tồn tại g\in L^p(I) để

      \int_I u(x)\varphi^{,}(x)dx=\int_I g(x)\varphi(x)dx, \;\forall \varphi\in C^\infty_c(I)\;\;(1)

      hay

      \int_I u(x)\varphi^{,}(x)dx=\int_I g(x)\varphi(x)dx, \;\forall \varphi\in C^1_c(I)\;\;(2)

      đều dẫn đến u có đạo hàm suy rộng u^{,}\in L^p(I).

      Nếu muốn chứng minh một cách chi tiết thì em có thể theo gợi ý sau.

      -) Từ (2) suy ra (1) là hiển nhiên.

      -) Từ (1) suy ra (2): lấy \varphi\in C^1_c(I), cố gắng xây dựng một dãy \varphi_k\in C^\infty_c(I) hội tụ đến \varphi theo một cách nào đó, để từ đó có thể chuyển giới hạn qua dấu tích phân.

    1. datuan5pdes

      Gõ xong chữ “latex” phải gõ dấu cách thì máy mới hiểu. Em viết liền như vậy đến người chả hiểu huống hồ là máy! Viết câu tiếng Việt lại bỏ hết ngữ pháp tiếng Việt!

      1. hi thầy.!

        Em rất vui vì thầy vẫn chú ý đến đến những lỗi sai đó của em. Em sẽ chú ý và khắc phục.
        Em cám ơn thầy.!
        Em chúc thầy buổi chiều vui vẻ và hạnh phúc.

  4. Pingback: Cấp của hàm suy rộng | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s