Số không Liouville – Hai tính chất thú vị

Năm 1884, Joseph Liouville, là người đầu tiên, đưa ra một lớp các số siêu việt mà sau này chúng ta gọi là số Liouville. Số siêu việt là số không đại số. Số đại số là gì các bạn có thể xem

http://bomongiaitich.wordpress.com/2011/10/26/s%E1%BB%91-vo-t%E1%BB%B7-s%E1%BB%91-d%E1%BA%A1i-s%E1%BB%91-s%E1%BB%91-sieu-vi%E1%BB%87t/

Nếu số vô tỷ \alpha là số đại số thì Liouville đã chứng tỏ một kết quả sâu sắc:

có một số tự nhiên n, có một số dương A để với bất kỳ các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{A}{q^n}.

Liouville xây dựng lớp số Liouville là các số thực \alpha thỏa mãn

với bất kỳ số tự nhiên n đều có các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{q^n}.

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh số

\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!}

là số Liouville.

Số Liouville không phải số đại số. Tuy nhiên số không Liouville vẫn có thể là số siêu việt!

Bạn đọc có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

Trong phần tiếp theo tôi không cố gắng tìm số siêu việt không là số Liouville mà tôi đưa ra một số tính chất thú vị của số không Liouville.

Số thực \alpha là không Liouville nếu

có một số tự nhiên n, có một số dương A để với bất kỳ các số nguyên p, q (q>1)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{A}{q^n}.\;\;(1)

Trong trường hợp \alpha là số vô tỷ thì n\ge 2.

Tính chất thứ nhất:

Số vô tỷ \alpha là số không Liouville khi và chỉ khi

có hai số dương L, M sao cho với mọi số nguyên p, q(|p|+|q|>0)

|q\alpha -p|>\dfrac{L}{(p^2+q^2)^M}. \;\;(2)

Trước hết ta CM điều kiện cần, nghĩa là giả sử có (1) và phải CM (2).

Với p, q\in\mathbb Z, q>1, từ (1) ta có

|q\alpha -p|>\dfrac{A}{q^{n-1}}\ge \dfrac{A}{(p^2+q^2)^{(n-1)/2}}.

Với p, q\in\mathbb Z, q<-1, thì với \bar{p}=-p, \bar{q}=-q, từ (1) ta có

|q\alpha -p|=|\bar{q}\alpha-\bar{p}|>\dfrac{A}{q^{n-1}}\ge \dfrac{A}{(p^2+q^2)^{(n-1)/2}}.

Với q=\pm 1, p\in\mathbb Z

|q\alpha-p|=|\alpha \pm p|=C> \dfrac{C}{2(p^2+1)^{(n-1)/2}}

với C=\min\{\{\alpha\}, \{-\alpha\}\}.

Với q=0, p\in\mathbb Z\setminus\{0\}

|q\alpha-p|=|p|>\dfrac{1}{2}|\ge \dfrac{1}{2|p|^{n-1}}.

Chọn M=\dfrac{n-1}{2}, L=\min\{A, C/2, 1/2\} ta có (2).

Ta chứng minh nốt điều kiện đủ: nghĩa là giả sử có (2) ta cần chứng minh (1).

Với p, q\in \mathbb Z, q>1 thỏa mãn

|q\alpha-p|\le 1

thì

p^2+q^2\le Cq^2 với C=1+(1+|\alpha|)^2.

Khi đó, từ (2)

|\alpha -\dfrac{p}{q}|>\dfrac{L}{q(p^2+q^2)^M}\ge \dfrac{L}{C^M q^{2M+1}}.

Với p, q\in \mathbb Z, q>1 thỏa mãn

|q\alpha-p|>1

thì

|\alpha-\dfrac{p}{q}|>\dfrac{1}{q}\ge \dfrac{1}{q^{2M+1}}.

Chọn A=\min\{1, \dfrac{L}{C^M}\}, n=[2M]+2 ta có (1).

Từ tính chất (2), S. J. Greenfield & N. R. Wallach đã dẫn đến điều kiện cần và đủ cho tính hypoelliptic của toán tử vi phân trên xuyến \mathbb T^2

P_\alpha(D)=D_1-\alpha D_2, trong đó \alpha là số vô tỷ,

D_j=i^{-1}\dfrac{\partial}{\partial \theta_j}, j=1, 2, (\theta_1, \theta_2)\in \mathbb T^2,

\alpha không Liouville.

Ta thử xem tính hypoelliptic ở đây là gì?

Có lẽ nó bắt nguồn từ tính chất của toán tử elliptic:

Cho P(D) là toán tử vi phân elliptic trên xuyến \mathbb T^2, f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2). Khi đó, nếu Pf\in C^\infty(\mathbb T^2) thì f\in C^\infty(\mathbb T^2).

Với \alpha là số phức với phần ảo khác không ta có toán tử P_\alpha là elliptic cấp 1, nghĩa là

có một hằng số C>0 sao cho với bất kỳ (p, q)\in\mathbb Z^2, |p|+|q|\not=0,

|P_\alpha(p, q)|\ge C(|p|^2+|q|^2)^{1/2}.

Người ta đã lấy tính chất trên của toán tử elliptic làm định nghĩa cho khái niệm hypoelliptic. Cụ thể như sau.

Toán tử vi phân P(D) trên xuyến \mathbb T^2 được gọi là hypoelliptic nều

với f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2), Pf\in C^\infty(\mathbb T^2) suy ra f\in C^\infty(\mathbb T^2).

Để chứng minh kết quả thú vị:

“Toán tử vi phân P_\alpha(D), \alpha là số vô tỷ, là hypoelliptic

khi và chỉ khi

\alpha là số không Liouville.”

S. J. Greenfield & N. R. Wallach, trong bài báo

Greenfield1

sử dụng hai kết quả sau

-) Cho f\in \mathcal D^{,}(\mathbb T^2). Khi đó, f\in C^\infty(\mathbb T^2) khi và chỉ khi

với mỗi số nguyên k đều có số dương C_k để

\sum\limits_{|p|+|q|>0}\hat{T}(p, q)(|p|^2+|q|^2)^k<C_k.

-) Toán tử vi phân P(D) trên xuyến \mathbb T^2 là hypoelliptic khi và chỉ khi

có các số dương L, M để

|P(p, q)|>\frac{L}{(|p|^2+|q|^2)^M} khi p, q\in\mathbb Z, |p|, |q| đủ lớn.

Sau này, A. A. Himonas và một số nhà Toán học khác phát triển tiếp lên cho trường hợp nhiều chiều, và toán tử vi phân với hệ số biến thiên. Bạn đọc có thể tham khảo bài báo sau của Himonas

Himonas1

Kết quả liên quan đến tính hypoelliptic tôi được biết đến nhờ Luận văn Cao học dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Minh Trí, Viện Toán học.

Tính chất 1 của số vô tỷ không Liouville liên quan đến tính hypoelliptic của toán tử vi phân trên xuyến. Tính chất 2 của số vô tỷ không Liouville lại liên quan đến ideal sinh bởi hai hàm nguyên (hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức) đặc biệt trong vành M các hàm nguyên thỏa mãn:

|f(z)|\le C(1+|z|)^b e^{b|\Im z|}, \;\forall z\in\mathbb C,

trong đó C, b là các hằng số dương nào đó.

Vành M, theo Định lý Paley – Wiener – Schwartz, chính là ảnh của \mathcal E(\mathbb R) qua phép biến đổi Fourier.

Vậy tính chất 2 cụ thể là gì?

Tính chất 2:

Số vô tỷ \alpha là số không Liouville

khi và chỉ khi

có các số dương C, d (d\ge 2) sao cho với mọi số nguyên khác không k:

|1-e^{-2i\pi k\alpha}|^{-1}\le C|k|^{d-1}.\;\;(3)

Chứng minh tính chất này người ta dựa vào bất đẳng thức cơ bản sau:

4||x||\le |1-e^{-2i\pi x}|\le 2\pi||x||, \forall x\in\mathbb R,

trong đó ||x||=\min\{\{x\}, \{-x\}\} (khoảng cách từ x đến số nguyên gần nhất).

(Bạn đọc thử tự chứng minh với gợi ý: |1-e^{-2i\pi x}|=2\sin(\pi||x||), 0\le ||x||\le 1/2 và hàm \dfrac{\sin x}{x} là hàm liên tục, khác 0 trên [0, \pi/2].)

Ta CM điều kiện cần trước: nghĩa là giả sử có (1), cần chứng minh (3).

Lấy k\in\mathbb Z\setminus\{0\}.

TH1: k>1, từ (1)

|k\alpha - p|>\dfrac{A}{k^{n-1}}, \forall p\in\mathbb Z

nên

||k\alpha||>\dfrac{A}{k^{n-1}}.

TH2: k<-1 ta đặt \bar{k}=-k, từ TH1 ta cũng có

||k\alpha||>\dfrac{A}{k^{n-1}}.

TH3: k=\pm 1

|k\alpha-p|=|\alpha-p|\ge C_1 |k|^{-n+1}, \forall p\in\mathbb Z

trong đó C_1=||\alpha||.

Do đó

||k\alpha||>\dfrac{1}{C_1k^{n-1}}.

Từ

|1-e^{-2i\pi k \alpha}|\ge 4 ||k\alpha||

và kết quả của các TH trên ta chọn d=n, C=\max\{\dfrac{1}{4A}, \dfrac{C_1}{4}\} ta có (3).

Ta CM điều kiện đủ: giả sử có (3), ta CM (1).

Điều này khá hiển nhiên dựa vào

|1-e^{-2i\pi q \alpha}|\le 2\pi ||q\alpha||\le 2\pi |q\alpha -p|, \forall p, q\in\mathbb Z (q>1).

Từ tính chất (3), E. K. Petersen & G. H. Meisters đã đưa ra kết quả thú vị, trong bài báo

Meisters1

như sau.

Với a, b\in\mathbb R\setminus\{0\}, đặt

f_a(z)=\dfrac{1-e^{-2i\pi az}}{2i\pi z}, f_b(z)=\dfrac{1-e^{-2i\pi bz}}{2i\pi z}

là các hàm nguyên thuộc vành M.

Khi đó ideal sinh bởi f_a, f_b trùng với M

khi và chỉ khi

\dfrac{a}{b} là số vô tỷ, không Liouville.

Để có kết quả này, E. K. Petersen & G. H. Meisters đã sử dụng kết quả sau của L. Hormander:

Ideal sinh bởi f_a, f_b trùng với M

khi và chỉ khi

có các số dương c, \lambda để với mọi số phức z

|f_a(z)|+|f_b(z)|\ge c(1+|z|)^{-\lambda}e^{-\lambda |\Im z|}.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s