Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản

Trong giáo trình cho sinh viên năm thứ 4 ngành Toán, tôi mới đưa ra khái niệm hội tụ trong các không gian hàm mà chưa đưa ra khái niệm tô-pô trong đó. Để đưa ra khái niệm này ta chỉ cần đưa ra cơ sở các tập mở chứa gốc 0, từ đó lấy giao hữu hạn hay hợp vô hạn các tập này ta được tất cả các tập mở chứa gốc và dùng phép dịch chuyển ta được tất cả các tập mở.

Đầu tiên ta xây dựng cơ sở các tập mở cho không gian hàm cơ bản \mathcal D(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n.

Ta phân tích

\Omega=\cup_{k=0}^\infty \Omega_k

trong đó, \Omega_k\subset\overline{\Omega}_k\subset\Omega_{k+1}\subset\Omega, \Omega_0=\emptyset, \Omega_k là các tập mở bị chặn.

Chẳng hạn khi \Omega=\mathbb R^n thì

\Omega_k=B_k(0)=\{x\in\mathbb R^n|\; ||x||<k\} là các hình cầu mở tâm tại gốc bán kính k.

Hoặc khi \Omega=(0, 1) thì

\Omega_k=(\dfrac{1}{k+2}, \dfrac{k+1}{k+2}).

Với mỗi cặp dãy \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty thỏa mãn:

+) \epsilon_k giảm dần về 0,

+) m_k tăng dần ra +\infty,

ta đặt V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty) là tập các hàm \varphi\in\mathcal D(\Omega) thỏa mãn

|D^\alpha\varphi(x)|\le \epsilon_k, \forall x\not\in\Omega_k, |\alpha|< m_k.

Tập các V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty) với các cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty khác nhau lập thành cơ sở lân cận tại gốc của \mathcal D(\Omega).

Khi đó \mathcal D_{-}\lim\limits_{l\to\infty}\varphi_l=0 nếu

với mỗi cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty đều có l_0 để

\varphi_l\in V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty), \forall l\ge l_0

hay

|D^\alpha\varphi_l(x)|\le \epsilon_k, \forall x\not\in\Omega_k, |\alpha|< m_k, \forall k, \forall l\ge l_0.

Việc chứng minh định nghĩa về sự hội tụ trên tương đương với định nghĩa trong giáo trình, cụ thể:

-) có một tập compact K để supp\varphi_l\subset K, \forall l,

-) \lim\limits_{l\to\infty}\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha\varphi_l(x)|=0, \forall \alpha\in\mathbb Z^n_+

xin được dành cho bạn đọc.

Lúc này có thể nói thế nào là tập bị chặn trong \mathcal D(\Omega).

Trước hết, một cách tổng quát, tập B trong không gian véc-tơ tô-pô X,

với cơ sở tập mở là các tập V_j, j\in J,

là tập bị chặn nếu với mỗi j\in J có một số dương \lambda_j để

B\subset \lambda_j V_j.

Tập B\subset \mathcal D(\Omega) là tập bị chặn nếu

với mỗi cặp \{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty đều có số dương \lambda để

B\subset \lambda V(\{\epsilon_k\}_{k=0}^\infty, \{m_k\}_{k=0}^\infty).

Ta cũng có cách định nghĩa khác tương đương như  sau.

Tập B\subset \mathcal D(\Omega) là tập bị chặn nếu

-) có một tập compact K\subset \Omega để

supp\varphi\subset K, \forall \varphi\in B,

-) có một dãy số dương, tăng \{M_0, M_1, \dots, M_k, \dots\} để

\sup\limits_{x\in\Omega}|D^\alpha\varphi(x)|\le M_k, \forall |\alpha|\le k.

Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều, hình cầu đóng không là tập compact nên tập bị chặn nói chung không compact tương đối. Với không gian \mathcal D(\Omega) lại khác. Từ Định lý Azela – Ascoli, tập bị chặn trong \mathcal D(\Omega) là tập compact tương đối.

Bạn đọc thử tự xây dựng cơ sở tập mở và tập bị chặn cho các không gian \mathcal E(\Omega), S(\Omega).

2 thoughts on “Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s