Hàm e^x và e^{1/x}

Ngày 16/12/2011, bạn Thảo (K53A1T) đã đưa ra lời giải đáp cho bài

e^x \not\in S^{,}(\mathbb R).

Bạn đã dùng ra dãy

\varphi_n(x)=e^{-n}\rho(x-n).

Dãy trên có tính chất:

+) S_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\varphi_n=0,

+) \langle e^x, \varphi_n\rangle=\int\limits_{-1}^1 e^x \rho(x)dx=C>0 (không phụ thuộc n).

Dãy \{\varphi_n\}_{n=1}^\infty được xác định như trên khác so với    dãy \{\psi_n\}_{n=1}^\infty được xây dựng trong phản hồi trả lời thắc mắc của bạn Trường ở trang

https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/09/06/trao-d%E1%BB%95i-bai-gi%E1%BA%A3ng-l%E1%BB%9Bp-k53a1t/

Sự khác biệt nằm ở hệ số e^{-n}n^{-1}. Bạn đọc thử tự đưa ra giải thích chi tiết.

Một bài kiểu như trên cũng được ra cho lớp K53A1T:

không có hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) nào để

f=e^{1/x} khi x\not=0

hay

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{1/x}\varphi(x)dx, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R), 0\not\in supp\varphi

cũng được giải kiểu như bài trên.

Cụ thể ta chọn dãy như sau:

\phi_n(x)=e^{-n/2}\rho(2n(x-1/n)).

Bạn đọc thử tự chứng minh

+) \mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty}\phi_n=0,

+) \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{1/(2n)}^{3/(2n)}e^{1/x}e^{-n/2}\rho(2n(x-1/n))dx=+\infty.

Cũng giống bài trước nếu chỉ dùng hệ số n^{-1} thì

\mathcal D_{-}\lim\limits_{n\to\infty}n^{-1}\rho(2n(x-1/n))\not=0.

Các bạn thử giải thích chi tiết xem.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s