Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier

Hàm số f \in C(\mathbb R ;\mathbb C) được gọi là hàm tuần hoàn chu kỳ T>0 nếu

f(x+T)=f(x). \forall x\in\mathbb R.

Khi đó, hàm f có chuỗi Fourier tương ứng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z} f_k e^{\frac{2\pi i kx}{T}},

trong đó f_k=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)e^{-\frac{2\pi i kx}{T}}dx (được gọi là hệ số Fourier).

Chuỗi Fourier này sẽ hội tụ điểm đến hàm f khi hàm đủ tốt! (Nói đủ tốt ở đây là cần thiết vì nếu chỉ liên tục thì Paul du Bois Reymond đã chỉ ra phản ví dụ vào năm 1873. Vào những năm 1920 Nikolai Luzin đã đưa ra giả thuyết rằng chuỗi Fourier sẽ hội tụ hầu khắp nơi. Gần nửa thế kỷ sau, năm 1966, Lennart Carleson mới chứng minh được giả thuyết này. Bạn đọc có thể tham khảo thêm ở trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_Fourier_series.)

Hàm số có biến là số thực, hàm suy rộng có biến là hàm số. Ở đây nảy sinh câu hỏi:

thế nào là hàm suy rộng tuần hoàn?

Trước hết, ta hình dung lại hàm tuần hoàn qua cách hiểu hình ảnh:

hàm tuần hoàn chu kỳ T là hàm mà đồ thị của nó không thay đổi khi ta dịch chuyển nó một véc-tơ song song với trục hoành có độ dài T.

Để định nghĩa hàm suy rộng tuần hoàn ta trước hết định nghĩa phép dịch chuyển (như trong cuốn “Generalized functions” của R. P. Kanwal).

Cho hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) và số thực y. Ta định nghĩa phép dịch chuyển

T_y: \mathcal D^{,}(\mathbb R)\to \mathcal D^{,}(\mathbb R)

như sau:

\langle T_yf(x), \varphi(x)\rangle=\langle f(x), T_y\varphi(x)\rangle, T_{-y}\varphi(x)=\varphi(x+y).

Nếu f là hàm thông thường thì nó cũng được hiểu là hàm suy rộng, một cách tự nhiên, bởi công thức tích phân. Khi đó phép dịch chuyển T_yf(x) cho ta một hàm suy rộng mà về bản chất nó cũng là hàm thông thường

T_yf(x)=f(x-y).

Nếu f=\delta (hàm Dirac) thì qua phép dịch chuyển T_y có hàm suy rộng

\langle T_y\delta(x), \varphi(x)\rangle=\langle \delta(x), \varphi(x+y)\rangle=\varphi(y)

được ký hiệu \delta(x-y) hay \delta_y.

Phép dịch chuyển T_y là một đẳng cấu (tuyến tính+liên tục) trên \mathcal D^{,}(\mathbb R) với nghịch đảo T_{-y}. Hơn nữa \{T_y\}_{y\in\mathbb R} lập thành một nhóm nhân

với phép nhân là phép hợp thành

T_yT_z=T_{y+z},

với đơn vị

T_0=Id.

Bây giờ ta có thể định nghĩa hàm suy rộng f có chu kỳ p>0 như sau:

T_pf=f theo nghĩa suy rộng

nghĩa là

\langle f(x), \varphi(x+p)\rangle=\langle f(x), \varphi(x)\rangle.

Từ tính chất nhóm của các toán tử dịch chuyển \{T_y\}_{y\in\mathbb R}:

nếu có p>q để T_pf=T_qf

thì T_{q-p}f=f hay f là hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ (q-p).

Hàm thông thường tuần hoàn khi được hiểu theo nghĩa suy rộng cũng là hàm tuần hoàn theo nghĩa suy rộng. Chẳng hạn các hàm e^{imx} hay hàm suy rộng dạng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z} c_k e^{i k x} với c_k=O(|k|^N), với N nào đó, khi |k|\to\infty.

Dưới đây tôi sẽ chỉ ra rằng bất kỳ hàm suy rộng có chu kỳ 2\pi đều có dạng trên.

Hàm Dirac \delta(x) là hàm suy rộng không tuần hoàn vì nói chung với \varphi\in\mathcal D(\mathbb R) ta không có

\varphi(y)=\varphi(0) với y cố định.

Tuy nhiên ta lại có mối quan hệ mật thiết giữa hàm tuần hoàn và hàm Dirac qua phép biến đổi Fourier. Cụ thể như sau

\mathcal F \delta_y(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\langle \delta_y(x), e^{-ix\xi}\rangle=(2\pi)^{-1/2}e^{-iy\xi},

\mathcal F^{-1} \delta_y(\xi)=(2\pi)^{-1/2}\langle \delta_y(x), e^{ix\xi}\rangle=(2\pi)^{-1/2}e^{iy\xi},

nên

\mathcal F (e^{iyx})(\xi)=(2\pi)^{1/2} \delta_y(\xi).

Vấn đề tiếp theo là định nghĩa chuỗi Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ p. Ta vấp phải vài khó khăn:

-) thế nào là \int\limits_0^p f(x)e^{-\frac{2\pi i kx}{p}}dx?

-) trong khi ta chỉ có \langle f, \varphi\rangle (có thể hiểu \int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi(x)dx),

-) và \varphi(x) có giá compact còn e^{-\frac{2\pi i kx}{p}} có giá là toàn bộ đường thẳng \mathbb R.

Lưu ý f là hàm suy rộng tuần hoàn nên ta có thể chuyển “tích phân” trên toàn đường thẳng \mathbb R thành tổng của đếm được các tích phân trên cùng một chu kỳ bằng cách phân rã đường thẳng thành các chu kỳ con rồi tổng hợp lại. Như vậy, ta cẩn một phân hoạch đặc biệt. Tôi dùng phân hoạch như trong cách trình bày của M. J. Lighthill (trang 69 cuốn “Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions”). Bạn đọc có thể lấy cuốn sách theo đường link

http://www.libgen.info/view.php?id=6950

Bạn đọc cũng có thể tìm thấy phân hoạch này trong Luận văn Thạc sỹ của Phạm Vân Hà

(https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/03/16/lu%E1%BA%ADn-van-cao-h%E1%BB%8Dc-c%E1%BB%A7a-ph%E1%BA%A1m-van-ha/).

Để đơn giản ký hiệu ta giả sử hàm suy rộng f tuần hoàn với chu kỳ 2\pi. Khi đó ta sử dụng phân hoạch đơn vị như trong luận văn của Phạm Vân Hà:

\{((n2\pi, (n+2)2\pi), \chi(x+n2\pi))\}_{n\in\mathbb Z}

nghĩa là:

+) \chi\in C_0^\infty(\mathbb R; [0,1]),

+) supp\chi\subset[-2\pi, 2\pi],

+) \sum\limits_{n\in\mathbb Z}\chi(x+n2\pi)=1, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó, nếu f\in C(\mathbb R) tuần hoàn chu kỳ 2\pi thì hệ số Fourier của nó

f_k=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)e^{-i kx}dx

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)\chi(x+n2\pi)e^{-i kx}dx

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{n2\pi}^{(n+1)2\pi}f(y-n2\pi)\chi(y)e^{-i k(y-n2\pi)}dy (đổi biến y=x+n2\pi)

=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{n2\pi}^{(n+1)2\pi}f(y)\chi(y)e^{-i ky}dy (các hàm f(x), e^{-i kx} tuần hoàn chu kỳ 2\pi)

=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(y)\chi(y)e^{-i ky}dy

=\dfrac{1}{2\pi}\langle f(x), \chi(x)e^{-i kx}\rangle.

Lưu ý, lúc này

\chi(x)e^{-i kx}\in C_0^\infty(\mathbb R), supp \chi(x)e^{-i kx}\subset [-2\pi, 2\pi]

\chi(x)f(x)\in\mathcal E^{,}(\mathbb R), supp \chi(x)f(x)\subset [-2\pi, 2\pi].

Lúc này ta có thể định nghĩa chuỗi Fourier cho hàm suy rộng tuần hoàn f với chu kỳ 2\pi như sau

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}

với hệ số Fourier

f_k=(2\pi)^{-1}\langle f(x), \chi(x)e^{-i kx}\rangle=(2\pi)^{-1}\langle \chi(x)f(x), e^{-ikx}\rangle=

=(2\pi)^{-1/2}\mathcal F(\chi f)(k).

Nếu f\in C(\mathbb R) thì từ đẳng thức Paserval có

chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}=(2\pi)^{-1/2}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\mathcal F(\chi f)(k) e^{ikx}

hội tụ đến f trong L^2(0, 2\pi).

Từ đó, do tính tuần hoàn sự hội tụ trên dẫn đến hội tụ trong \mathcal D^{,}(\mathbb R). Bạn đọc tự làm chi tiết nhé!

Trong trường hợp f là hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ 2\pi ta cũng có

chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{i kx}

hội tụ đến f trong \mathcal D^{,}(\mathbb R),

nghĩa là

\lim\limits_{M\to+\infty\atop N\to+\infty}\langle \sum\limits_{k=-N}^M f_ke^{i kx}, \varphi\rangle=\langle f, \varphi\rangle, \forall \varphi\in C_0^\infty(\mathbb R).

Chứng minh chi tiết điều này bạn đọc có thể xem trong cuốn sách của Lighthill mà tôi giới thiệu ở trên (hay dùng gợi ý: sử dụng đẳng thức Poisson). Trong cuốn sách cũng chứng minh hệ số f_k=O(|k|^N), với N nào đó, khi |k|\to\infty.

Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ 2\pi

(2\pi)^{1/2}\sum\limits_{k\in\mathbb Z} f_k \delta_{k}(\xi)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\mathcal F(\chi f)(k)\delta(\xi-k).

5 thoughts on “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier

  1. datuan5pdes

    Trong bài
    “Ứng dụng phép chia trong hàm suy rộng giải thích ĐỊnh lý Massera cho PTVP với hệ số hằng”

    (https://datuan5pdes.wordpress.com/2010/05/09/%E1%BB%A9ng-d%E1%BB%A5ng-phep-chia-trong-ham-suy-r%E1%BB%99ng-gi%E1%BA%A3i-thich-d%E1%BB%8Bnh-ly-massera-cho-ptvp-h%E1%BB%87-s%E1%BB%91-h%E1%BA%B1ng/#comment-225)

    có dùng tính chất:

    biến đổi Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn chu kỳ \omega có dạng

    \sum\limits_{k\in\mathbb Z} c_k\delta(\xi-k\frac{2\pi}{\omega}).

    Ta cũng sẽ sử dụng tính chất kiểu này cho bài toán tìm nghiệm u\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) của phương trình

    \sin(\pi x) u=1.

    Để giải phương trình này ta sẽ giải phương trình thuần nhất

    \sin(\pi x)v=0.

    Ta biến đổi Fourier cả hai vế:

    \dfrac{i\pi^{1/2}}{2^{1/2}}(\delta(\xi+\pi)-\delta(\xi-\pi))*\mathcal F v(\xi)=0

    hay

    T_{-\pi}\mathcal F v(\xi)=T_{\pi} \mathcal F v(\xi).

    Như vậy \mathcal F v(\xi) là hàm tuần hoàn chu kỳ \pi-(-\pi)=2\pi.

    Do đó hàm v có dạng

    \sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k \delta(x-k).

    Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình

    \sin(\pi x) u=1

    có dạng

    \dfrac{1}{\sin(\pi x)}+\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k \delta(x-k)

    với

    \langle \dfrac{1}{\sin(\pi x)}, \varphi(x)\rangle=\sum\limits_{k\in \mathbb Z}I_k,

    I_k=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon<|x-k|<\frac{1}{2}}\dfrac{\varphi(x)}{\sin(\pi x)}dx.

  2. tih

    Thay cho em duong link khac ve cuon sach nay voi ( M. J. Lighthill (trang 69 cuốn “Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions”). Duong link tren em khong lay duoc
    E cam on thay

  3. Pingback: Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng (tiếp) | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  4. Pingback: Hệ số khai triển Taylor tính qua hệ số khai triển Fourier | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s