Toán tử vi phân cấp không nguyên – Toán tử giả vi phân

Toán tử giả vi phân (PDO) về thực chất là việc dùng Giải tích Fourier nghiên cứu toán tử vi phân. Cụ thể như sau:

xét toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp m hệ số hằng trong \mathbb R^n

P(D)=\sum\limits_{|\alpha|\le m}a_\alpha D^\alpha, a_\alpha là các hệ số hằng.

Khi đó với mỗi u\in S(\mathbb R^n)P(D)u\in S(\mathbb R^n). Lấy biến đổi Fourier

\mathcal F(P(D)u)(\xi)=\sum\limits_{|\alpha|\le m}b_\alpha \xi^\alpha \mathcal F u(\xi)

với b_\alpha=i^{|\alpha|}a_\alpha.

Ta nói toán tử vi phân P(D) là toán tử giả vi phân với biểu trưng (symbol)

P(\xi)=\sum\limits_{|\alpha|\le m}b_\alpha \xi^\alpha.

Chẳng hạn toán tử Laplace -\Delta có biểu trưng

\sum\limits_{j=1}^n \xi_j^2.

Toán tử Laplace là toán tử tuyến tính xác định dương nên có căn bậc hai \Lambda=(-\Delta)^{1/2}. Toán tử căn bậc hai này nói chung không là toán tử vi phân. Toán tử này là toán tử giả vi phân với biểu trưng

\big(\sum\limits_{j=1}^n \xi_j^2\big)^{1/2}.

Toán tử \Lambda có cấp 1. Ta còn có thể thấy nhiều toán tử giả vi phân không là toán tử vi phân khi biểu trưng của nó không là đa thức. Một trong các dạng đó là các toán tử vi phân có cấp không nguyên. Để cho dễ nhìn ta chuyển sang toán tử giả vi phân trên đường thẳng thực \mathbb R.

Cứ có một số thực không âm \alpha ta đều có toán tử vi phân cấp \alpha:

D^\alpha có biểu trưng i^{\alpha}\xi^\alpha.

Ta vẫn còn có các tính chất sau của toán tử vi phân

D^\alpha D^\beta=D^\beta D^\alpha=D^{\alpha+\beta}\;\;\;(1).

Tuy nhiên toán tử vi phân trong phép tính vi phân phân số ( xem trong bài

http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/01/02/phep-tinh-vi-phan-tich-phan-phan-s%E1%BB%91/)

không còn tính chất trên.

Trước hết ta nhắc lại toán tử vi phân cấp \alpha, 0<\alpha<1, theo cách Caputo:

D^\alpha_c u(x)=\int\limits_0^x \dfrac{(x-y)^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} u^{,}(y)dy.

Ta thử tìm biểu trưng của toán tử vi phân Caputo D^\alpha_c với việc giới hạn u\in C^\infty_0(0, +\infty). Khi đó ta có thể hiểu u là hàm khả vi vô hạn trên \mathbb R có giá nằm trong (0, +\infty). Đạo hàm u^{,} cũng có giá nằm trong (0, +\infty). Do đó

D^\alpha_c u(x)=\dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)}(x^{-\alpha}_+ * u^{,}(x)),

trong đó x^{-\alpha}_+=x^{-\alpha} khi x>0x^{-\alpha}_+=0 khi x<0.

Ta lấy biến đổi Fourier hai vế

\mathcal F(D^\alpha_c u(x))(\xi)=\dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)}(2\pi)^{1/2}\mathcal F(x^{-\alpha}_+)(\xi)\mathcal F(u^{,}(x))(\xi).

Lại có

\mathcal F(u^{,}(x))(\xi)=i\xi \mathcal F u(\xi),

\mathcal F(x^{-\alpha}_+)(\xi)=(2\pi)^{-1/2}ie^{-i\alpha \pi/2}\Gamma(1-\alpha)(\xi+i0)^{\alpha-1}

(xem trong “Generalized functions V. 1” của I. M. Gelfand, G. E. Shilov, trang 176).

Như vậy toán tử vi phân cấp \alpha Caputo có biểu trưng

-e^{-i\alpha \pi/2}\xi (\xi+i0)^{\alpha-1}.

Các bạn thử kiểm tra tính chất (1) cho toán tử vi phân Caputo cũng như tìm biểu trưng cho toán tử vi phân Riemann-Liouville.

One thought on “Toán tử vi phân cấp không nguyên – Toán tử giả vi phân

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s