Sự hội tụ trong S’

Trong giáo trình môn Hàm suy rộng có hai cách tương đương để định nghĩa sự hội tụ trong S^{,}.

Cách thứ nhất, ta coi mỗi hàm suy rộng f\in\mathcal D^{,} là một hàm suy rộng tăng chậm, nghĩa là f\in S^{,}, nếu

|\langle f, \varphi\rangle|\le C\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}(1+||x||^2)^m\sum\limits_{|\alpha|\le m}|D^\alpha \varphi(x)|, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n)\;\;\;(1)

với C>0, m\in\mathbb Z_+ là các hằng số.

Khi đó dãy f_k\in S^{,} được gọi là hội tụ đến 0 trong S^{,} nếu:

+) \lim\limits_{k\to\infty}\langle f_k, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n),

+) có các hằng số C>0, m\in\mathbb Z_+ chung cho các f_k để có (1).

Cách thứ hai, ta nhìn S^{,} như không gian đối ngẫu của S nghĩa là mỗi hàm suy rộng tăng chậm là một phiếm hàm tuyến tính liên tục từ S(\mathbb R^n) vào \mathbb C. Khi đó sự hội tụ trong S^{,} được phát biểu như sau

dãy f_k\in S^{,} được gọi là hội tụ đến 0 trong S^{,} nếu

\lim\limits_{k\to\infty}\langle f_k, \varphi\rangle=0, \forall \varphi\in S(\mathbb R^n).

Ta cũng biết

nếu f_k\in S^{,} hội tụ về 0 trong S^{,}

thì S^{,}_{-}\lim\limits_{k\to\infty}f_k*\varphi=0, \forall \varphi\in S.

Câu hỏi ngược lại được đặt ra:

nếu S^{,}_{-}\lim\limits_{k\to\infty}f_k*\varphi=0, \forall \varphi\in S

thì  f_k\in S^{,} hội tụ về 0 trong S^{,}?

 

Câu trả lời được dẫn từ đẳng thức thú vị sau

lin(S*S)=S

nghĩa là với mỗi \varphi\in S đều có \psi_1, \psi_2, \dots, \psi_m, \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m\in S để

\sum\limits_{j=1}^m \psi_j*\theta_j=\varphi. \;\;\;(2)

Thật vậy, với mỗi \varphi\in S ta có biểu diễn (2).

Khi đó

\langle f_k, \varphi\rangle=\sum\limits_{j=1}^m\langle f_k, \psi_j*\theta_j\rangle.

Lại có, với mỗi j\in\{1, 2, \dots, m\}

\langle f_k, \psi_j*\theta_j\rangle=\langle f_k*\hat{\psi_j}, \theta_j\rangle, \hat{\psi_j}(x)=\psi_j(-x).

Cố định j, cho k tiến ra vô cùng ta được điều phải chứng minh.

Vậy đẳng thức

lin(S*S)=S

được dẫn từ đâu?

Biến đổi Fourier là một đẳng cấu trong S nên đẳng thức trên tương đương

lin(S.S)=S

nghĩa là mỗi \varphi\in S đều có \psi_1, \psi_2, \dots, \psi_m, \theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m\in S để\sum\limits_{j=1}^m \psi_j(x)\theta_j(x)=\varphi(x).

Chứng minh đẳng thức sau bạn đọc có thể đọc công trình

Factorization in some Fréchet algebras of differentiable functions“, Studia Math. Vol 77 (1983), pp. 333-348, của Jurgen Voigt

Liên quan đến đẳng thức kiểu này còn có đẳng thức

lin(\mathcal D*\mathcal D)=\mathcal D.

Kết quả này được đưa ra bởi L. A. Rubel, W. A. Squires, B. A. Taylor trong công trình

“Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonic analysis”, Ann. of Math. (2) 108 (1978), pp. 553-567.

Taylor 1978

Một cách tiếp cận khác về câu hỏi ngược ở trên được trình bày trong công trình

Some convergence properties of convolutions“, Studia Math., Vol. 77(1983), pp. 87-94, của Klaus Keller.

Kết hợp kết quả của L. A. Rubel, W. A. Squires, B. A. Taylor

lin(\mathcal D*\mathcal D)=\mathcal D

và cách tiếp cận của K. Keller,

Stevan Pilipovic đã đưa ra kết quả thú vị sau

dãy f_k\in S^{,} sẽ hội tụ đến 0 trong S^{,}

nếu

S^{,}_{-}\lim\limits_{k\to\infty} f_k*\varphi=0, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^n).

Bạn đọc có thể tìm hiểu qua công trình

“On the convergence in S^{,}“, Proceedings of the AMS, Vol 111, No4(1991), pp. 949-954, của Stevan Pilipovic

theo đường link

http://www.ams.org/journals/proc/1991-111-04/S0002-9939-1991-1050022-X/S0002-9939-1991-1050022-X.pdf

Trong công trình này có đề cập đến câu hỏi

lin(\mathcal D*S)=S?

13 thoughts on “Sự hội tụ trong S’

  1. datuan5pdes

    Trong giáo trình Hàm suy rộng, phần về tích chập, từ Định lý 2.8 ta có thể coi hàm suy rộng là ánh xạ tuyến tính liên tục và giao hoán với phép dịch chuyển
    f: \mathcal D(\mathbb R^n) \to \mathcal E(\mathbb R^n).

    Khi đó ta cũng có cách hiểu khác về không gian S^{,} như là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục và giao hoán với phép dịch chuyển
    f: \mathcal D(\mathbb R^n) \to S(\mathbb R^n).

    Kết quả của Stevan Pilipovic có thể được hiểu khái niệm hội tụ theo cách hiểu về hàm suy rộng tăng chậm như trên!

  2. De cac khai niem lien tuc, hoi tu, day du … dc tu nhien, theo em nghi nen trang bi cho no mot cau truc topology thi hon (chang han lam nhu sach W. Rudin). Thi du trong giao trinh dinh nghia \mathcal{D}'(\Omega) la khong gian cac phiem ham tuyen tinh lien tuc tren \mathcal{D}(\Omega), nhung chua he dinh nghia the nao la lien tuc(!?).

    1. datuan5pdes

      Bàn về sự “tự nhiên” không dễ! Vì điểm xuất phát của lý thuyết hàm suy rộng không có bóng dáng gì của tôpô! Paul Adrien Maurice Dirac người đề xuất hàm Dirac với cách hiểu không chính xác về mặt toán học. Có lẽ chữ “tự nhiên” ở đây nên hiểu “chính xác về mặt toán học”.

      Trong giáo trình chỉ đưa ra khái niệm hội tụ trong \mathcal D mà không đưa ra khái niệm tập đóng, tập mở, v.v vì nếu như vậy sẽ rất cồng kềnh và chưa hẳn đã làm người học thấy được hàm suy rộng là gì?

      Từ khái niệm hội tụ trên \mathcal D tôi đưa ra khái niệm phiếm hàm tuyến tính liên tục trên đó. Khái niệm liên tục ở đây là liên tục dãy, nghĩa là biến dãy hội tụ thành dãy hội tụ. Cách tiếp cận này giúp người học dễ dàng kiểm tra “thế nào là hàm suy rộng”!

      Dĩ nhiên để có cách nhìn “chính xác hơn” về mặt “toán học” nên tham khảo thêm cuốn “Functional Analysis” của Walter Rudin.

  3. Định nghĩa bằng topo và định nghĩa bằng dãy cho hàm suy rộng thực chất là hai kiểu approach tương đương. topo nói chung là cái gì đó mường tượng ra được về các lân cận (geometric), còn dãy nói chung thuần túy giải tích (analytic) cần đặt bút và biến đổi. ý em nói “tự nhiên” là như vậy. Chứ bản thân khái niệm hội tụ nó sinh lại ra “tập mở, tập đóng”. Tuy nhiên, nếu có câu hỏi là tại sao phải định nghĩa sự hội tụ bằng hội tụ họ các chuẩn trên các tập compact, mà lại không thể định nghĩa bẳng một chuẩn duy nhất trên toàn không gian. Bản chất của sự không thể định chuẩn (tuy nhiên lại khả metric) e là sẽ khiến nhiều lúng túng ngay từ đầu theo tiếp cận kiểu dãy.

    1. datuan5pdes

      Để mường tượng “hình học” về các lân cận trong không gian \mathcal D tôi nghĩ không đơn giản nếu không dùng “giải tích”! Nhiều khi sự mô tả dãy hội tụ trong \mathcal D lại có vẻ “hình học”, qua việc nhìn bằng đồ thị!

      Cần lưu ý \mathcal D là không gian véc-tơ tôpô không khả metric! Còn vấn đề có lúng túng hay không lại phụ thuộc vào kiến thức nền của người học! Nếu người học chưa biết nhiều về không gian véc-tơ tôpô thì cách tiếp cận tôpô có vẻ là một trở ngại lớn!

    1. datuan5pdes

      Thực sự tôi cảm thấy mệt vì câu hỏi của em. Nếu em vẫn tiếp tục cách hỏi kiểu này tôi xin phép không trả lời và xoá chúng đi. Xin em đừng làm tôi mất công vào việc đọc và hiểu xem em hỏi gì và muốn nhận được gì?!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s