Không gian bất biến với phép dịch chuyển

Phần đầu khóa luận của Trần Thế Dũng nói về không gian bất biến với phép dịch chuyển. Trong khóa luận đề cập một số tính chất thú vị của không gian này. Dưới đây tôi trình bày một số tính chất như vậy.

Xét một hàm f: \mathbb R \to \mathbb R đủ tốt (khả vi chẳng hạn).

Ta quan sát định nghĩa phép tính vi phân hàm một biến:

f^{,}(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}(f(x+h)-f(x)).

Biểu thức sau dấu giới hạn là một tổ hợp tuyến tính của hàm f(x) và một dịch chuyển của hàm đó T_{-h}f(x). Với nhận xét này có thể thấy hàm đạo hàm f(x) nằm trong không gian bao đóng của không gian sinh bởi f(x) và tất cả các dịch chuyển \{T_hf\}_{h\in\mathbb R}.

Nếu f(x) là đa thức ta còn có điều thú vị hơn: đạo hàm của đa thức là tổ hợp tuyến tính của các dịch chuyển của đa thức đó:

f(x)=1, f'(x)=f(x)-f(x);

f(x)=x, f'(x)=f(x+1)-f(x);

f(x)=x^2. f'(x)=\dfrac{1}{2}(f(x+1)-f(x-1)).

Trường hợp tổng quát f(x) là đa thức bậc n ta dựa vào sự kiện sau:

f(x), f(x+1), \dots, f(x+n)(n+1) đa thức độc lập tuyến tính, cơ sở của không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng n.

Có thể viết

f^{,}(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kf(x+k)

trong đó các hệ số a_0, a_1, \dots, a_n không phụ thuộc vào xf.

Các hệ số trên được tìm từ việc giải hệ phương trình tuyến tính

a_0x^n +a_1(x+1)^n+\dots+a_n(x+n)^n=nx^{n-1}.

Đa thức lượng giác cũng có tính chất trên. Chẳng hạn

f(x)=1 thì f^{,}(x)=f(x)-f(x),

f(x)=\cos x thì f^{,}(x)=-\sin x= f(x+\pi/2),

f(x)=\sin x thì f^{,}(x)=\cos x=f(x+\pi/2),

f(x)=\cos(nx) thì f^{,}(x)=-n\sin(nx)=nf(n(x+\frac{\pi}{2n})).

Trường hợp tổng quát, nếu f là đa thức lượng giác bậc n thì

f^{,}(x)=\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\alpha_kf(x+\tau_k)

với \tau_k=\dfrac{2k-1}{2n}\pi, \alpha_k=\dfrac{1}{n(2\sin\frac{\tau_k}{2})^2}.

Ngoài đa thức đại số, đa thức lượng giác hàm mũ, nghiệm của phương trình vi phân

f^{,}(x)=af(x), a là hằng số

cũng có tính chất trên.

Tiếp tục với tích phân xác định được định nghĩa qua tổng Darboux. Chẳng hạn ta lấy tích phân xác định của f trên đoạn [0, x].

Ta phân hoạch đoạn [0, x] bởi các điểm chia P=\{x_0=0<x_1<x_2<\dots<x_n=x\}. Ta lấy bộ điểm \xi_j\in[x_{j-1}, x_j], j=1, 2, \dots, n. Ta lập tổng tích phân

S(f, P, \xi)=\sum\limits_{j=1}^n f(\xi_j)(x_j-x_{j-1})=\sum\limits_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})T_{x-\xi_j}f(x).

Ta lấy giới hạn trên tập tất cả các phân hoạch khi cho đường kính d(P)=\max\limits_{1\le j\le n}|x_j-x_{j-1}| tiến về 0 ta thu được tích phân

\int\limits_0^x f(t)dt.

Cho x thay đổi ta thu được một nguyên hàm của f(x).

Quá trình trên có vẻ cho thấy có một nguyên hàm của f(x) nằm trong không gian bao đóng của không gian sinh bởi f(x) và tất cả các dịch chuyển \{T_hf\}_{h\in\mathbb R}. Nhìn kỹ ta thấy rằng tổng Darboux là một tổ hợp tuyến tính của các dịch chuyển của hàm f nhưng T_{x-\xi_j} lại phụ thuộc x. Nghe có vẻ hơi cảm giác! Ví dụ sau sẽ cho thấy một cách rõ nét: lấy f(x)=1. Các bạn tự kiểm tra xem sao? Nói chung các đa thức đại số không có tính chất trên.

Lý do có thể chăng: nguyên hàm có dạng tích phân phụ thuộc tham số với tham số ở cận lấy tích phân?

Cũng cần nói thêm ở đây một số đa thức lượng giác có một nguyên hàm viết được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các dịch chuyển của đa thức lượng giác đó. Chẳng hạn

f(x)=\cos x thì nguyên hàm F(x)=\sin x=\cos(x-\pi/2),

f(x)=\sin(nx) thì nguyên hàm F(x)=-\dfrac{1}{n}\cos(nx)=-\dfrac{1}{n}\sin(n(x-\frac{\pi}{2n})).

Một câu hỏi đa thức lượng giác nào có tính chất trên?

Hàm mũ cũng có tính chất trên.

Dưới đây ta quan tâm đến câu hỏi khác: hàm số nào khác cũng có tính chất trên?

Để trả lời ta xét tích chập của f với một hàm g: \mathbb R \to \mathbb R (đủ tốt để tích phân sau xác định)

(f*g)(x)=\int\limits_{\mathbb R}f(x-y)g(y)dy.

Nếu nhìn tích phân là quá trình lấy giới hạn của tổng thì cảm giác ngay được tích chập (f*g)(x) nằm trong không gian bao đóng của không gian sinh bởi f(x) và tất cả các dịch chuyển \{T_hf\}_{h\in\mathbb R}.

Ta viết lại nguyên hàm của hàm f(x) dưới dạng

\int\limits_0^x f(y)dy=\int\limits_0^\infty f(y) H(x-y)dy

với H(x) là hàm Heaviside xác định như sau

H(x)=\begin{cases} 1 \; khi \; x>0\\    0 \; khi \; x<0.\end{cases}

Nếu hàm f có giá suppf\subset [0, +\infty) thì

\int\limits_0^x f(y)dy= (f*H)(x)

là một nguyên hàm của f nằm trong không gian bao đóng của không gian sinh bởi f(x) và tất cả các dịch chuyển \{T_hf\}_{h\in\mathbb R}.

Một vấn đề từ đầu đến giờ ta lờ đi: bao đóng lấy theo giới hạn nào trong không gian các hàm số?

Trong trường hợp hàm f\in \mathcal D(\mathbb R)

\mathcal D_{-}\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}(T_{-h}f-f)=f^{,}.

Nếu giả thiết thêm suppf\subset [0, A] thì nó có một nguyên hàm dạng

F(x)=\int\limits_0^x f(y)dy=\int\limits_{\mathbb R} f(x-y)H(y)dy.

Với mỗi h>0 lập tổng Darboux

S_h(x)=h\sum\limits_{n=-\infty}^\infty T_{nh}f(x)H(nh)=h\sum\limits_{n=0}^\infty T_{nh}f(x)

là hàm khả vi vô hạn và

\mathcal E_{-}\lim\limits_{h\to 0_+}S_h(x)=F(x).

Trong trường hợp f\in \mathcal E(\mathbb R) thì

\mathcal E_{-}\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{1}{h}(T_{-h}f-f)=f^{,};

và nếu thêm suppf\subset [0, +\infty) thì

\mathcal E_{-}\lim\limits_{h\to 0_+}S_h(x)=F(x).

Trong trường hợp f\in S(\mathbb R) thì ta có điều gì?

Trong trường hợp f là hàm suy rộng cái gì sẽ xảy ra?

Các đa thức đại số và đa thức lượng giác, hàm mũ đóng vai trò gì trong không gian bất biến với phép dịch chuyển? Trong khóa luận của Trần Thế Dũng có đưa ra kết quả khá sâu sắc của L. Schwartz:

bất kỳ không gian con đóng, bất biến với phép dịch chuyển trong \mathcal E(\mathbb R) có hệ sinh (tổ hợp tuyến tính + lấy giới hạn) gồm các hàm dạng đa thức mũ p(x)e^{izx}, z\in\mathbb C.

4 thoughts on “Không gian bất biến với phép dịch chuyển

  1. Pingback: Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  2. Pingback: Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển (tiếp) | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  3. Pingback: Chứng minh BĐT Bohr và BĐT Bernstein | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s