Từ hàm suy rộng đến hyperfunction

Như đã biết sơ qua về hyperfunction trong bài “Định lý Edge of the Wedge”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2009/04/25/d%E1%BB%8Bnh-ly-edge-of-the-wedge/

ta thấy hyperfunction (tạm dịch: siêu hàm) được dẫn ra từ hàm giải tích phức một cách khá hình học. Cụ thể, một hyperfunction trên đường thẳng thực là bước nhảy từ nửa mặt phẳng phức dưới lên nửa mặt phẳng phức trên của một hàm chỉnh hình trên \mathbb C\setminus\mathbb R.

Chẳng hạn hàm Heavisde H: \mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

H(x)=\begin{cases}1 \; khi \; x\ge 0,\\    0 \; khi \; x< 0\end{cases}

là bước nhảy của hàm chỉnh hình F_1:\mathbb C\setminus\mathbb R\to\mathbb C

F_1(z)=-\dfrac{1}{2\pi i}\log(-z).

Ở đây

\log(-z)=\begin{cases}\log|z|-\pi i \; khi \; Im z>0, Re z\ge 0,\\    \log|z|+\pi i \; khi \; Im z<0, Re z\ge 0,\end{cases}

và chỉnh hình khi Re z< 0.

Khi đó dễ thấy

H(x)=\lim_{\epsilon\to 0_+}(F_1(x+i\epsilon)-F_1(x-i\epsilon)) (hội tụ điểm).

Hay hàm Dirac \delta(x)\in\mathcal D'(\mathbb R) xác định bởi

\langle \delta(x), \varphi(x)\rangle=\varphi(0), \varphi\in\mathcal D(\mathbb R)

là bước nhảy của hàm chỉnh hình F_2:\mathbb C\setminus\mathbb R\to\mathbb C

F_2(z)=-\dfrac{1}{2\pi i z}.

Xét

g_\epsilon(x)=F_2(x+i\epsilon)-F_2(x-i\epsilon)=\dfrac{\epsilon}{\pi(x^2+\epsilon^2)}.

Một bài tập trong giáo trình hàm suy rộng

\delta(x)=\mathcal D'_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}g_\epsilon(x).

Qua hai ví dụ trên có thể cảm giác hyperfunction là một cách mở rộng không gian các hàm suy rộng. Có con đường nào dẫn dắt từ không gian các hàm suy rộng \mathcal D' đến các hyperfunction? Dưới đây tôi sẽ thử trình bày con đường theo cách L. Hormander.

Trước hết ta thấy rằng để có không gian các hàm suy rộng ta cần không gian các hàm cơ bản, chẳng hạn \mathcal D, S, \mathcal E. Không gian các hàm cơ bản càng nhỏ thì không gian các hàm suy rộng càng lớn. Cũng cần cẩn thận với chữ “nhỏ”, vì nếu không không gian hàm cơ bản không đủ tốt để phân biệt hai hàm suy rộng! Ta sẽ đi gặp các không gian nhỏ và đủ tốt như vậy.

Dưới đây ta gặp lại một số điều trong bài “Tính duy nhất của chuỗi Taylor – chuỗi Fourier ”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/10/10/tinh-duy-nhat-chuoi-taylor-chuoi-fourier/#more-2359

Để tránh chuyện không cụ thể tôi sẽ trình bày không gian các hàm xác định trên toàn đường thẳng thực.

Ta gặp lại các bạn cũ, trước hết không gian \mathcal E là không gian các hàm khả vi vô hạn và không có bất cứ điều kiện gì về độ tăng của các đạo hàm. Không gian hàm cơ bản này có thể nói là rộng nhất trong các không gian hàm cơ bản mà ta sẽ nói trong bài. Tiếp đến không gian hàm cơ bản do L. Schwartz đề xuất S là không gian con của \mathcal E, nhưng lúc này bắt đầu có các điều kiện về độ tăng lên các đạo hàm, cụ thể

với mỗi k\in\mathbb Z_+ đều có hằng số C_k>0 để

\sup\limits_{x\in\mathbb R}(1+|x|^2)^k\sum\limits_{j=0}^k|\varphi^{(j)}(x)|\le C_k, \forall \varphi\in S.

Tiếp đến lớp Denjoy-Carleman đưa ra C^L với L=\{L_k\}_{k=0}^\infty là dãy số dương thỏa mãn:

L_0=1, L_k\ge k, L_{k+1}\le CL_k, k=0, 1, \dots

với hằng số C>0 nào đó.

Lớp C^L là không gian con của không gian \mathcal E thỏa mãn

với mỗi số n\in\mathbb N đều có các số dương C_n, r_n để

\sup\limits_{x\in[-n, n]}\sup\limits_{k\in\mathbb Z_+}\Big(\dfrac{r_n}{L_k}\Big)^k|\varphi^{(k)}(x)|\le C_n, \forall \varphi\in C^L.

Nếu L_k=k+1 thì lớp C^L chính là không gian các hàm giải tích thực \mathcal A trên đường thẳng. Lúc này, có một điểm lưu ý hàm khả vi vô hạn có giá compact duy nhất là hàm đồng nhất 0 thuộc vào lớp \mathcal A. Ngoài ra ta cũng dễ thấy e^x là hàm giải tích nhưng không thuộc vào không gian hàm cơ bản S. Như vậy, nói chung rất khó để nói về mối liên hệ giữa S\mathcal A.

Nếu L_k=(k+1)^a, với hằng số a>1 nào đó, lớp C^L được gọi là lớp Gevrey G^a cấp a. Sự khác biệt giữa lớp Gevrey và không gian các hàm giải tích ở “tính duy nhất”, cụ thể hơn lớp Gevrey có chứa những hàm khả vi vô hạn có giá compact. Điều này được thể hiện qua Định lý Denjoy-Carleman như sau:

lớp C^L có một hàm u\in C^\infty_0

khi và chỉ khi

\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{1}{L_k} hội tụ.

Có thể thấy rằng nếu lấy

L_k=k(\log(k+3))^2

thì chắc chắn có một hàm

\varphi\in C^\infty_0\cap(\cap_{a>1}G^a).

Hàm này không giải tích! Như vậy

\mathcal A\varsubsetneqq\cap_{a>1}G^a.

Ta cũng có phép nhúng chặt

\cup_{a>1}G^a\varsubsetneqq C^\infty.

Bạn đọc thử tìm một hàm khả vi vô hạn mà không nằm trong bất cứ lớp Gevrey nào?

Lưu ý rằng các lớp trên đều lập thành một vành với phép cộng (tính dưới cộng tính của sup) và phép nhân (nhờ công thức Leibniz) thông thường, thêm nữa chúng đều đóng đối với phép lấy đạo hàm riêng mọi cấp.

Đến đây ta sẽ gặp các cách xây dựng tôpô theo cách của A. Beurling và C. Roumieu. Câu chuyện này tương đối lắt léo nên xin dành lúc khác.

Ta sẽ bước tiếp và lờ đi việc xây dựng tôpô cho lớp C^L một cách chặt chẽ và chuyển sang xây dựng không gian các hàm ultra-distribution theo cách của L. Hormander.

Trước hết ta gặp lại bạn cũ \mathcal E' là không gian các hàm suy rộng có giá compact. Giả sử u\in \mathcal E' có suppu=K là tập compact. Khi đó với mọi lân cận X của K đều có các số C>0, N\in\mathbb Z_+ sao cho

|\langle u, \varphi\rangle|\le C\sum\limits_{k=0}^N\sup\limits_X|\varphi^{(k)}(x)|, \forall \varphi\in C^\infty. \;\;\; (1)

Điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là ta có khẳng định sau. Cho u\in \mathcal E', K là tập compact. Nếu với bất kỳ lân cận X của K đều có các số C>0, N\in\mathbb Z_+ để có (1) thì suppu\subset K.

Lý do đưa ra bằng phản chứng khá đơn giản như sau. Giả sử có một điểm x_0\not\in K mà lại thuộc vào giá của u. Do K là tập compact nên có một lân cận V_0 của x_0X của K sao cho V_0\cap X=\emptyset.  Lại có x_0 nằm trong giá của u hay u\not=0 tại x_0 nên có một hàm \varphi_0\in C^\infty_0 mà supp\varphi_0\subset V_0. Từ đó dẫn đến \varphi_0 không thỏa mãn (1).

Như vậy có thể định nghĩa không gian \mathcal E'(K), K\subset\mathbb R là tập compact, là không gian các hàm suy rộng có giá nằm trong K theo cách:

\mathcal E'(K) là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính trên C^\infty thỏa mãn (1).

Ta có thể giảm nhẹ điều kiện (1) chỉ cần đúng cho các \varphi là đa thức mà không làm định nghĩa trên khác đi.

Bằng cách tiếp cận như vậy ta sẽ xây dựng không gian “đối ngẫu” cho lớp C^L như sau.

Với mỗi tập compact K\subset\mathbb R, không gian \mathcal E_L'(K) là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên không gian các đa thức \varphi trên đường thẳng thực sao cho

với bất kỳ lân cận X của K đều có các số C>0, r>0 để

|\langle u, \varphi\rangle|\le C\sup\limits_{x\in K}\sup\limits_{k\in\mathbb Z_+}\Big(\dfrac{r}{L_k}\Big)^k|\varphi^{(k)}(x)|. \;\; (2)

Khi L_k=k+1 không gian đối ngẫu trên được ký hiệu \mathcal A'(K) là không gian các phiếm hàm giải tích có giá nằm trong K.

Ta cũng ký hiệu

\mathcal E_L'=\cup_{K \stackrel{compact}{\subset} \mathbb R}\mathcal E_L'(K), \mathcal A'=\cup_{K \stackrel{compact}{\subset} \mathbb R}\mathcal A'(K).

Như vậy mỗi ultra-distribution u\in \mathcal E_L'(K) sẽ xác định trên không gian con của lớp C^L(X), X là một lân cận của K, gồm các đa thức thỏa mãn (2). Bằng cách xấp xỉ mỗi ultra-distribution u sẽ xác định trên lớp C^L(X), X là một lân cận của K.

Với mỗi u\in\mathcal A' ta luôn tìm được tập compact K nhỏ nhất để u\in \mathcal A'(K). Tập compact K được gọi là giá của ultra-distribution u.

Trong trường hợp C^L không tựa giải tích ta có không gian giao

C^L_0=C^L\cap C^\infty_0\not=\emptyset.

Khi đó không gian các ultra-distribution \mathcal D_L' sẽ là không gian đối ngẫu của C^L_0, hay mỗi ultra-distribution u\in \mathcal D_L' là phiếm hàm tuyến tính trên C^L_0 thỏa mãn (2).

Trong trường hợp C^L tựa giải tích, đặc biệt trường hợp \mathcal A ta thu được không gian các hyperfunction \mathcal B!

Cụ thể như sau, mỗi u\in \mathcal B đều có dạng

u=\sum\limits_{j=1}^\infty v_j

trong đó v_j\in \mathcal A' thỏa mãn

tập các giá \{suppv_j\}_{j=1}^\infty là hữu hạn địa phương, nghĩa là với mỗi tập compact K chỉ có hữu hạn j để

suppv_j\cap K\not=\emptyset.

Đến đây có khá nhiều câu hỏi đặt ra:

-) Tại sao lại phải đi con đường phức tạp này để định nghĩa hyperfunction, trong khi định nghĩa qua giải tích phức khá dễ chịu và trực quan? Hai cách nhìn này liệu có phải cùng nhìn đến một thứ?

-) Có thể đi con đường khác được không? Có một con đường dùng lý thuyết bó, cách ban đầu M. Sato khởi xướng.

-) Chứng minh mỗi hàm suy rộng là một ultra-distribution, một hyperfunction?

-) Khi nào một ultra-distribution, một hyperfunction là một hàm suy rộng?

-) Liệu có một ultra-distribution hay một hyperfunction không là hàm suy rộng?

Như đã biết trong bài “Hàm e^x và e^{1/x}” hay trong bài thi cuối kỳ môn hàm suy rộng của lớp K53A1T:

không có hàm suy rộng u\in\mathcal D'(\mathbb R) nào để

u=e^{1/x} khi x\not=0.

Tuy nhiên hàm e^{1/x} lại là một hyperfunction theo cách

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}(e^{\frac{1}{x+i\epsilon}}-0).

-) Không gian các hyperfunction có ứng dụng gì không?

Còn rất nhiều câu hỏi khác nữa!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s