Giới hạn xạ ảnh – Giới hạn cảm sinh

Trong bài “Từ hàm suy rộng đến hyperfunction”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/10/16/tu-ham-suy-rong-den-hyperfunction/

tôi có đề cập đến các cách xây dựng tôpô của A. Beurling và C. Roumieu nhưng không nói gì cụ thể. Dưới đây tôi sẽ trình bày các cách xây dựng này.

Các cách này đều đi xây dựng các cơ sở lân cận như trong bài “Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/12/05/c%C6%A1-s%E1%BB%9F-lan-c%E1%BA%ADn-t%E1%BA%ADp-b%E1%BB%8B-ch%E1%BA%B7n-trong-cac-khong-gian-ham-c%C6%A1-b%E1%BA%A3n/

Để đi một cách tuần tự, ta sẽ bắt đầu với vài khái niệm về không gian véc-tơ tôpô.

Trước hết không gian véc-tơ tôpô là sự kết hợp đẹp giữa tôpô và đại số tuyến tính, chính xác hơn giữa tính liên tục và cấu trúc tuyến tính. Cụ thể không gian véc-tơ tôpô X là không gian tuyến tính trên trường thực (hoặc phức) có cấu trúc tôpô trên đó. Cấu trúc tôpô và cấu trúc tuyến tính trên không gian véc-tơ tôpô được liên kết với nhau bởi sợi dây liên tục, một cách chính xác các phép toán cộng

+: X\times X \to X

và nhân với vô hướng

. : \mathbb R (\mathbb C)\times X \to X

là các ánh xạ liên tục.

Có thể thấy rất nhiều không gian là không gian véc-tơ tôpô chẳng hạn:

+) đường thẳng thực với tôpô thông thường sinh bởi các khoảng mở là không gian véc-tơ tôpô trên trường thực,

+) mặt phẳng phức với tôpô  thông thường sinh bởi các hình tròn mở là không gian véc-tơ tôpô trên trường phức,

+) các không gian \mathbb R^n (hay \mathbb C^n) với tôpô sinh bởi chuẩn Euclide, hay bất kỳ chuẩn nào (vì chúng tương đương tôpô), là không gian véc-tơ tôpô trên trường thực (tương ứng phức),

+) các không gian dãy, chẳng hạn \ell_1(\mathbb R) (hay \ell_1(\mathbb C))gồm các dãy a=\{a_n\}_{n=1}^\infty, a_n\in\mathbb R (tương ứng a_n\in \mathbb C) thỏa mãn

chuỗi ||a||_1=\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n| hội tụ

với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||_1 lập thành không gian véc-tơ tôpô trên trường thực (tương ứng phức),

+) các không gian hàm, chẳng hạn không gian C([0,1 ]; \mathbb R) (hay C([0,1 ]; \mathbb C)) gồm các hàm liên tục giá trị thực (tương ứng phức) trên đoạn [0, 1] với chuẩn

||\varphi||_0=\sup\limits_{x\in[0, 1]}|\varphi(x)|

với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||_0 lập thành không gian véc-tơ tôpô trên trường thực (tương ứng phức).

Để kiểm tra các phép toán tuyến tính có liên tục đối với các không gian trên ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại gốc (tại sao?). Cụ thể:

+) với phép cộng, ta lấy lân cận bất kỳ U của gốc (thực sự chỉ cần lấy hình cầu mở tâm tại gốc bất kỳ) rồi tìm các lân cận V_1, V_2 của gốc (ta có thể chọn V_1=V_2) để V_1+V_2\subset V,

+) với phép nhân với vô hướng, ta cũng lấy hình cầu mở tâm tại gốc U bất kỳ rồi tìm r_0>0 và lân cận V của gốc để

rV\subset U, \forall 0<r<r_0.

Các ví dụ trên mới dừng lại ở các không gian định chuẩn. Vậy tại sao ta không dừng lại ở các không gian định chuẩn là đủ? Lý do chính là sự có mặt của các không gian hàm suy rộng! Chúng ta sẽ dần thấy các không gian này với tôpô được xây dựng như dưới đây không khả chuẩn, nghĩa là không có một chuẩn nào trên chúng sinh ra tôpô mà ta sẽ xây dựng. Đặc biệt hơn nữa còn có cả không gian không khả metric!

Trước hết với cấu trúc tuyến tính, để cho thống nhất ta xét cấu trúc tuyến tính trên trường phức, ta có các khái niệm:

-) tập con A\subset X được gọi là tập lồi nếu:

\forall x, y\in A, \forall \lambda\in[0, 1]

\lambda x+(1-\lambda)y\in A;

-) tập con A\subset X được gọi là tập cân nếu:

\forall x\in A, \forall \lambda\in\mathbb C, |\lambda|\le 1

\lambda x\in A;

-) tập con A\subset X được gọi là tập tuyệt đối lồi nếu nó vừa lồi vừa cân;

-) tập con A\subset X được gọi là hút nếu

\forall x\in X \; \exists \mu>0 để

x\in \mu A=\{\mu y|\; y\in A\}.

Ta xét một số ví dụ sau:

+) trong mặt phẳng phức \mathbb C

– đĩa D=\{(x, y)|\; x^2+y^2<1\} là tuyệt đối lồi và hút;

– đoạn thẳng [-1, 1]=\{(x, o)|\; -1\le x\le 1\} là tập lồi, không cân, không hút;

– tập cân là tập lồi nên nó sẽ là tuyệt đối lồi;

– tập cân cũng là tập hút;

– tập hình sao B=\{(x, y)|\; 4x^2+y^2\le 1\}\cup\{(x, y)|\; x^2+4y^2\le 1\} là tập hút, không lồi.

+) Nói chung ba khái niệm lồi, cân, hút độc lập nhau. Để đơn giản các bạn xét không gian \mathbb C^2 và tìm tám ví dụ xảy ra tám tình huống có thể của các khái niệm này.

Trong cấu trúc tuyến tính còn có khái niệm cơ sở. Với không gian hữu hạn chiều chỉ có một khái niệm cơ sở, không gian vô hạn chiều có hai khái niệm cơ sở:

-) cơ sở đại số (Hamel): mỗi phần tử trong không gian có thể biểu thị tuyến tính qua hữu hạn các phần tử trong cơ sở, các bạn có thể liên tưởng đường thẳng thực là không gian véc-tơ trên trường hữu tỷ với số chiều không đếm được!

-) cơ sở tôpô (Schauder): mỗi phần tử trong không gian có thể biểu thị tuyến tính qua chuỗi hội tụ mà mỗi số hạng tổng quát là tích của một số phức và một phần tử trong cơ sở, các bạn có thể liên tưởng đến chuỗi Fourier.

Các khái niệm cơ sở này sẽ dẫn đến khái niệm không gian tích trực tiếp và không gian tổng trực tiếp. Chúng gắn với giới hạn xạ ảnh và giới hạn cảm sinh! Tuy nhiên ta chưa vội tìm hiểu chỗ này mà sẽ dành cho đoạn sau.

Với cấu trúc tôpô ta cũng có khái niệm cơ sở, cụ thể cơ sở lân cận, cái sẽ giúp ta xây dựng tôpô trên các không gian hàm suy rộng một cách chính xác!

Nói đến cấu trúc tôpô ta nghĩ ngay đến tập đóng, tập mở, điểm trong, điểm tụ, .v.v. Để có các khái niệm như vậy thực chất ta chỉ cần:

+) hoặc khái niệm tập đóng từ đó sẽ dẫn đến khái niệm tập mở, điểm trong, điểm tụ, .v.v.;

+) hoặc khái niệm điểm tụ từ đó sẽ dẫn đến khái niệm tập đóng, tập mở, điểm trong, .v.v.;

+) hoặc để có khái niệm điểm tụ ta xây dựng khái niệm lân cận!

Do phép cộng là ánh xạ liên tục nên tập tất cả các lân cận của một điểm cố định, nào đó, đều là dịch chuyển của tập tất cả các lân cận tại gốc \mathcal U_0. Mục tiêu của tập tất cả các lân cận là dẫn đến khái niệm điểm tụ, hay là quá trình lấy giới hạn. Như cách ta thường vẫn làm khi lấy giới hạn: “lấy \epsilon dương bé tùy ý”, ta sẽ xây dựng các lân cận “bé tùy ý”. Tiếp tục như trong cách dẫn của bài “Lấy epsilon dương tùy ý”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2010/10/21/l%E1%BA%A5y-epsilon-d%C6%B0%C6%A1ng-tuy-y/

thay vì việc lấy \epsilon>0 tùy ý, ta lấy dãy \epsilon_n giảm dần về 0,

ta đã đi đến tinh thần của “cơ sở lân cận”!

Rõ nét hơn tập các khoảng (-\epsilon_n, \epsilon_n), n=1, 2, \dots, lúc này cho ta một cơ sở lân cận của điểm 0 trên đường thẳng thực!

Giờ ta sẽ đi một cách chi tiết, hay thực ra trừu tượng, về khái niệm cơ sở lân cận. Trước hết, ta xem tập tất cả các lân cận tại gốc \mathcal U_0 cần có những tính chất gì?

Ta giả sử đã có không gian tôpô X (chưa cần đến cấu trúc không gian véc-tơ) với các khái niệm tập đóng, tập mở, điểm trong, điểm tụ, .v.v. Khi đó tập U được gọi là lân cận của điểm x nếu có một tập mở V chứa x sao cho V\subset U.

Khi đó tập các lân cận tại gốc \mathcal U_0 có các tính chất sau.

(LC1) U\in\mathcal U_0 thì đương nhiên 0\in U.

(LC2) U\in\mathcal U_0 thì có một tập mở V chứa gốc sao cho V\subset U. Từ đó nếu U_1, U_2\in \mathcal U_0 thì U_1\cap U_2\in \mathcal U_0.

(LC3) Cứ chứa tập mở chứa gốc thì là lân cận tại gốc nên với U\in \mathcal U_0, U\subset V thì V\in\mathcal U_0.

(LC4) Cũng do lân cận phải chứa tập mở, với U\in\mathcal U_0 sẽ có tập mở V chứa gốc để V\subset U. Khi đó dễ thấy U là lân cận của bất kỳ điểm y\in V.

Dĩ nhiên, một cách tương tự, tập các lân cận \mathcal U_x tại điểm x cũng có bốn tính chất như trên.

Tiếp tục ta làm ngược lại như sau, giả sử ban đầu ta có tập tất cả các lân cận \mathcal U=\{\mathcal U_x\}_{x\in X} của tất cả các điểm thỏa mãn bốn tính chất như trên ta hoàn toàn dựng lại được tôpô trên X nhận \mathcal U là tập các lân cận tại tất cả các điểm! Cụ thể ta chỉ cần xây dựng khái niệm điểm trong

A\subset X, x\in A được gọi là điểm trong của A nếu có một tập U\in\mathcal U_x sao cho U\subset A. Chi tiết xin dành cho bạn đọc.

Ta chuyển sang khái niệm cơ sở lân cận. Tập \mathcal V_0 các tập con chứa gốc của X được gọi là cơ sở lân cận tại gốc nếu với bất kỳ U\in\mathcal U_0 đều có V\in\mathcal V_0 thỏa mãn V\subset U. Điểm này thể hiện “càng bé càng tốt”! Dĩ nhiên từ cơ sở lân cận tại gốc ta lấy tập các tập con mà mỗi tập con đó chứa ít nhất một tập trong cơ sở lân cận tại gốc ta sẽ thu được tập tất cả các lân cận tại gốc.

Ta xét vài ví dụ sau.

+) Trong mặt phẳng phức, \{D_{1/n}\}_{n=1}^\infty, D_{1/n}=\{(x, y)|\; x^2+y^2\le \dfrac{1}{n^2}\} cho ta một cơ sở lân cận tại gốc. Một cách tổng quát, với mỗi dãy số dương \{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty giảm dần về 0, \{D_{\epsilon_n}\}_{n=1}^\infty là một cơ sở lân cận tại gốc.

+) Trong không gian định chuẩn (B, ||.||) ta cũng có:

với mỗi dãy số dương \{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty giảm dần về 0, \{B_{\epsilon_n}\}_{n=1}^\infty, B_{\epsilon_n}=\{x\in B|\; ||x||\le \epsilon_n\} là một cơ sở lân cận tại gốc.

Ta cần xem cơ sở lân cận tại gốc có những tính chất gì cơ bản?

Bây giờ ta quan tâm đến cấu trúc tuyến tính, cụ thể ta bắt đầu xét không gian véc-tơ tôpô X.

Cơ sở lân cận tại gốc \mathcal V_0 sẽ có các tính chất sau:

+) Cố định a\in X, do phép nhân với vô hướng

\mathbb C\to X, \lambda\mapsto \lambda a

liên tục tại \lambda=0 nên U\in\mathcal V_0 thì U hút.

+) Do phép cộng

X\times X\to X, (x, y)\mapsto x+y

liên tục tại (0, 0) nên với U\in\mathcal V_0 sẽ có V\in\mathcal V_0 để V+V\subset U.

+) Do phép nhân với vô hướng

\mathbb C\times X\to X, (\lambda, x)\mapsto \lambda x

liên tục tại (0, 0) nên với U\in\mathcal V_0 có một lân cận cân W\in \mathcal V_0 để W\subset V.

Như vậy trong không gian véc-tơ tôpô luôn có một cơ sở lân cận tại gốc chỉ gồm các lân cận cân!

Ở các ví dụ trên về cơ sở lân cận, các cơ sở lân cận tại gốc đưa ra đều gồm các lân cận cân và lồi!

Ta sẽ không đi ra ngoài không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương, nghĩa là không gian có cơ sở lân cận chỉ gồm các tập lồi, vì các không gian hàm cơ bản của ta đều là lồi địa phương! Khi đó, trong không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương luôn có một cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút.

Đến đây, ta gặp câu hỏi: với điều kiện gì để một tập các tập con tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc trong một không gian véc-tơ ta có thể xây dựng được tôpô (các khái niệm tập mở, tập đóng, .v.v.) nhận tập các tập con đó làm cơ sở lân cận tại gốc?

Câu trả lời:

nếu tập \mathcal V_0 gồm các tập con tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc thỏa mãn:

(CS1) với V_1, V_2\in\mathcal V_0V\in\mathcal V_0 để V_0\in V_1\cap V_2,

(CS2) với V\in\mathcal V_0, \lambda\in\mathbb\setminus\{0\}\lambda V\in\mathcal V_0.

Thực ra (CS2) có thể giảm nhẹ

(CS2′) với mỗi V\in\mathcal V_0 có một dãy số dương \{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty giảm về 0 sao cho \epsilon_nV\in \mathcal V_0.

Các cơ sở lân cận trong các ví dụ trên thỏa mãn (CS1) và (CS2′).

Như vậy để xây dựng tôpô lồi địa phương cho một không gian véc-tơ ta chỉ cần xây dựng một cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc thỏa mãn (CS1), (CS2) (hoặc (CS2′)).

Để định dạng được tôpô trên không gian các hàm cơ bản, ta cần đến các khái niệm nhắc đến ở tiêu đề “Giới hạn xạ ảnh – Giới hạn cảm sinh”.

Trước hết ta xem tôpô xạ ảnh là gì?

Cho X là không gian véc-tơ trên trường phức và một họ \{X_\alpha, \mathcal V_\alpha, f_\alpha\}_{\alpha\in A} gồm X_\alpha là không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương với cơ sở lân cận tại gốc \mathcal V_\alpha gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc và ánh xạ

f_\alpha: X\to X_\alpha.

Tôpô xạ ảnh trên X tương ứng với họ \{X_\alpha, \mathcal V_\alpha, f_\alpha\}_{\alpha\in A} là tôpô yếu nhất trên X để tất cả các ánh xạ f_\alpha đều liên tục.

Khi đó, ánh xạ tuyến tính f: Y\to X, Y là không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương, là ánh xạ liên tục

khi và chỉ khi

các ánh xạ f_\alpha of: Y\to X_\alpha liên tục.

Không khó khăn gì có thể thấy tôpô của X sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

\cap_{\alpha\in \Gamma}f_\alpha^{-1}(V_\alpha),

với V_\alpha\in\mathcal V_\alpha, \Gamma là tập con gồm hữu hạn phần tử của A.

Ta không đi sâu vào việc xem xét trừu tượng việc xây dựng tôpô xạ ảnh mà sẽ nhìn qua các ví dụ.

Trường hợp họ chỉ gồm một bộ khá đơn giản, khi X là không gian véc-tơ con của không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương X_0 với cơ sở lân cận của gốc \mathcal V. Khi đó ánh xạ f: X\to X_0 đơn giản là ánh xạ đồng nhất. Tôpô xạ ảnh trên X lúc này không gì khác chính là tôpô sinh ra từ tôpô trên X_0 theo cách:

cơ sở lân cận tại gốc trong X gồm các tập X\cap V, V\in\mathcal V_0.

Chẳng hạn, lấyX=c_0=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty|\; a_n\in\mathbb C, \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0\}

X_0=\ell_\infty=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty|\; a_n\in\mathbb C, \sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|<+\infty\} với cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc (các bạn thử kiểm tra lại?)

B_r=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty\in\ell_\infty|\; \sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|\le r\}, r>0.

Các bạn tự viết cơ sở lân cận của gốc trong c_0.

Nối tiếp ví dụ này ta xét ví dụ mà ở đó X_\alpha=X, f_\alpha là các ánh xạ đồng nhất. Lúc này tôpô xạ ảnh trên X chính là tôpô bé nhất chứa tất cả các tôpô sinh bởi \mathcal V_\alpha. Lúc này cơ sở lân cận tại gốc trong X gồm các tập có dạng

\cap_{\alpha\in\Gamma}V_\alpha,

trong đó V_\alpha\in \mathcal V_\alpha, \Gamma\subset A bộ hữu hạn các chỉ số.

Để cụ thể hơn, ta xét X=\mathcal D_n là không gian các hàm khả vi vô hạn trên đường thẳng thực có giá nằm trong đoạn K_n=[-n, n]X_k=\mathcal D_{n, k} (về mặt tập hợp vẫn là \mathcal D_n) với cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc (các bạn thử kiểm tra lại?)

B_{n, k, r}=\{\varphi\in\mathcal D_n|\; p_{n, k}(\varphi)=\sup\limits_{x\in K_n, 0\le j\le k}|\varphi^{(j)}(x)|\le r\}, r>0.

Có thể thấy phép nhúng liên tục \mathcal D_{n, k+1}\hookrightarrow \mathcal D_{n, k}

B_{n, k+1, r}\subset B_{n, k, r}

nên tôpô xạ ảnh trên \mathcal D_n là “giới hạn xạ ảnh”, ký hiệu \lim\limits_{\overleftarrow{k\to\infty}}\mathcal D_{n, k}, với cơ sở lận cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}, k=0, 1, 2, \dots, r>0.

Để hiểu thêm về giới hạn xạ ảnh, ta nói qua về tôpô tích, nghĩa là lúc này

X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha=\{x=(x_\alpha)_{\alpha\in A}|\; x_\alpha\in X_\alpha\}

f_\alpha=p_\alpha: \prod_{\beta\in A}X_\beta\to X_\alpha, (x_\beta)_{\beta\in A}\mapsto x_\alpha là phép chiếu.

Tôpô tích trên X chính là tôpô xạ ảnh ứng với họ \{X_\alpha, \mathcal V_\alpha, p_\alpha\}_{\alpha\in A} có cơ sở lận cận tại gốc gồm các tập

\prod_{\alpha\in A}V_\alpha,   V_\alpha=X_\alpha với tất cả trừ ra một số hữu hạn các \alpha: V_\alpha\in\mathcal V_\alpha.

Trong trường hợp A là tập có thứ tự, chẳng hạn ta xét lại ví dụ trên A=\mathbb Z_+, X_k=\mathcal D_{n, k}. Ta có thêm các phép nhúng liên tục:

với mỗi k, l\in\mathbb Z_+, l<kId_{lk}:\mathcal D_{n, k}\hookrightarrow \mathcal D_{n, l}.

Khi đó ta xét tập con sau của không gian tích

\{x\in\prod_{k=0}^\infty X_k|\; khi l<kx_l=Id_{lk}(x_k)\}.

Lưu ý l<kx_l=Id_{lk}(x_k) dẫn đến x_k=x_0, \forall k\in\mathbb Z_+ nên về mặt tập hợp có thể đồng nhất không gian con trên với \mathcal D_n.

Lúc này tôpô xạ ảnh trên \mathcal D_n như xây dựng ở trên không gì khác chính là tôpô cảm sinh từ tôpô tích. Tôpô kiểu này được gọi là giới hạn xạ ảnh! Về mặt hình ảnh giới hạn xạ ảnh là việc ta lấy giới hạn của dãy “giảm” (về mặt tập hợp), “mịn hơn” (về mặt tôpô).

Ta xét thêm một số ví dụ khác về giới hạn xạ ảnh.

Xét

X=C^\infty(K_n)=\{\varphi: K_n\to\mathbb C|\; \exists \psi\in C^\infty(\mathbb R): \varphi=\psi|_{K_n}\},

X_k=C^\infty(K_n) với tôpô sinh bởi cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lồi, hút và chứa gốc

B_{n, k, r}=\{\varphi\in C^\infty(K_n)|\; p_{n, k}(\varphi)\le r\}, r>0.

Để ý, với l<k có phép nhúng liên tục

Id_{lk}: X_k \hookrightarrow X_l.

Giống như trên, ta coi X là không gian con của tích \prod_{k=0}^\infty X_k

X=\{x\in\prod_{k=0}^\infty X_k|\; khi l<kx_l=Id_{lk}(x_k)\}=

=\{x\in\prod_{k=0}^\infty X_k|\; x=(x_0, x_0, x_0, \dots), x_0\in X_0\}=C^\infty(K_n).

Khi đó tôpô giới hạn xạ ảnh trên Y_n=C^\infty(K_n), được ký hiệu \lim\limits_{\overleftarrow{k\to\infty}}X_k sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút và chứa gốc

B_{n, k, r}=\{\varphi\in C^\infty(K_n)|\; p_{n, k}(\varphi)\le r\}, k=0, 1, 2, \dots, r>0.

Điểm này khá giống với tôpô trên \mathcal D_n sinh từ các D_{k, n}. Tuy nhiên Y_n khác với D_{n} ở điểm sau

khi m<n

có phép nhúng liên tục Id_{n, m}: \mathcal D_m\hookrightarrow \mathcal D_n

(vì khi m<n thì giá K_m=[-m, m] mở rộng lên K_n=[-n, n])

trong khi

có phép nhúng ngược lại Id_{m, n}: Y_n\hookrightarrow Y_m

(vì khi m<n lấy sup trên tập nhỏ K_m sẽ nhỏ hơn lấy trên tập lớn K_n).

Điểm khác này dẫn đến việc định nghĩa tôpô trên không gian \mathcal D(\mathbb R) cần đến cách tiếp cận khác, trong khi đó việc xây dựng tôpô cho \mathcal E(\mathbb R) vẫn có thể tiếp tục dùng giới hạn xạ ảnh cho Y_n.

Cụ thể ta có thể coi \mathcal E(\mathbb R) là không gian con của không gian tích \prod\limits_{n=1}^\infty Y_n

\{y\in\prod_{n=1}^\infty Y_n|\; khi m<nId_{n, m}(y_m)=y_n\}=

=\cap_{n=1}^\infty Y_n=C^\infty(\mathbb R)

với tôpô sinh bởi tập cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút và chứa gốc:

B_{n, k, r}, n\in\mathbb N, k\in\mathbb Z_+, r>0.

Ta có thể lấy cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{(n)}=B_{n, n, 1/n}=\{\varphi\in C^\infty(\mathbb R)|\; p_{n, n}(\varphi)\le 1/n\}, n=1, 2, \dots.

(Các bạn thử tự giải thích?)

Từ đó \mathcal E(\mathbb R) định chuẩn được, chẳng hạn

d(\varphi, \psi)=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2^{-n}p_{n, n}(\varphi- \psi)}{1+p_{n, n}(\varphi-\psi)}.

Lúc này cần cẩn thận với việc định nghĩa tập bị chặn trong \mathcal E(\mathbb R).

Ta cũng có thể định nghĩa không gian \mathcal E(\mathbb R) là giới hạn xạ ảnh một cách trực tiếp

từ các không gian X_{n, k}, (n, k)\in A.

Trong đó A=\mathbb N\times \mathbb Z_+ là tập các hai chỉ số với thứ tự

(m, l)\le (n, k) nếu m\le nl\le k.

Không gian X_{n, k}=\{\varphi\in C^\infty(K_n)|\; \exists \psi\in C^\infty(\mathbb R): \varphi=\psi_{K_n}\} với tôpô sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}, r>0.

Khi (m, l)\le (n, k) ta có phép nhúng liên tục

Id_{(m, l), (n, k)}: X_{n, k}\hookrightarrow X_{m, l}.

Bằng cách này ta cũng định nghĩa được tôpô trên không gian Schwartz S(\mathbb R) với

– tập các hai chỉ số A=\mathbb Z_+\times\mathbb R cùng thứ tự

(m, l)\le (n, k) khi m\le nl\le k;

– các không gian

X_{n, k}=C^{(n)}_{(k)}=\{\varphi\in C^\infty(\mathbb R)|\; |\varphi|^{(n)}_{(k)}<+\infty\},

trong đó |\varphi|^{(n)}_{(k)}=\sup\limits_{x\in\mathbb R, 0\le j\le n}(1+x^2)^{k/2}|\varphi^{(j)}(x)|,

có tôpô sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}=\{\varphi\in C^{(n)}_{(k)}|\;|\varphi|^{(n)}_{(k)}\le r\}, r>0.

Bằng cách lấy giới hạn xạ ảnh ta hiểu thêm về tôpô của các bạn cũ \mathcal E, S. Ta gặp thêm một số bạn mới dưới đây trước khi chuyển sang giới hạn cảm sinh.

Trước hết không gian hàm cơ bản kiểu Beurling.

Cho dãy L=\{L_j\}_{j=1}^\infty như trong bài “Từ hàm suy rộng đến hyperfunction”. Ta cũng dùng C^L là lớp hàm Denjoy-Carleman gồm các hàm khả vi vô hạn trên đường thẳng \mathbb R

sao cho với mỗi số tự nhiên n đều có các số dương C_n, r_n để

|\varphi|_{(n, r_n)}=\sup\limits_{x\in K_n, j\in\mathbb N}\Big(\frac{r_n}{L_j}\Big)^j|\varphi^{(j)}(x)|<C_n.

Khi đó trên C^L có hai tôpô được chú ý: tôpô do A. Beurling xây dựng và tôpô do C. Roumieu xây dựng.

Với bộ hai chỉ số (n, k)\in A=\mathbb N\times (0, +\infty) xét không gian

X_{n, k}=\mathcal E^{L, k}(K_n)=

=\{\varphi: K_n\to\mathbb C|\; \exists \psi\in C^L: \varphi=\psi|_{K_n}, |\psi|_{n, k}<+\infty\}

với tôpô sinh bởi tập cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}=\{\varphi\in X_{n, k}|\; \exists \psi\in C^L: \varphi=\psi|_{K_n}, |\psi|_{n, k}<r\}, r>0.

Có thể thấy, khi (m, l)\le (n, k) có phép nhúng liên tục

Id_{(m, l), (n, k)}: X_{n, k}\hookrightarrow X_{m, l}.

Tôpô giới hạn xạ ảnh của \mathcal E^{L, k}(K_n) khi cho k\to+\infty, n\to+\infty ta được tôpô Beurling trên C^L, ký hiệu \mathcal E^{(L)}(\mathbb R).

Không gian Beurling \mathcal E^{(L)}(\mathbb R), về mặt tập hợp con \cap_{k>0, n\in\mathbb N}\mathcal E^{L, k}(K_n) của lớp Denjoy-Carleman C^L, về mặt tôpô được sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}, n\in\mathbb N, k>0, r>0,

hay đơn giản hơn

B_{(n)}=B_{n, n, 1/n}=\{\varphi\in C^L|\; |\varphi|_{n, n}\le 1/n\}.

Để xây dựng tôpô Roumieu ta cần đến khái niệm giới hạn cảm sinh. Trước khi chuyển sang giới hạn cảm sinh, ta chuẩn bị cho việc gặp bạn mới: không gian \mathcal O liên quan đến C^{(n)}_{(k)}.

Vừa rồi ta có: không gian Schwartz S là giới hạn xạ ảnh của họ \{C^{(n)}_{(k)}\}_{(n, k)\in\mathbb Z_+\times \mathbb R}.

Giờ ta cố định k cho n chạy ra +\infty ta được tôpô xạ ảnh trên

C^{(\infty)}_{(k)}=\cap_{n=0}^\infty C^{(n)}_{(k)}

với cơ sở lân cận tại gốc gồm

B_{n, k, r}=\{\varphi\in C^\infty(\mathbb R)|\; |\varphi|^{(n)}_{(k)}\le r\}, n\in\mathbb Z_+, r>0.

Ta chuyển sang giới hạn cảm sinh. Trước hết ta nói về tôpô cảm sinh. Cũng giống tôpô xạ ảnh, ta xét họ \{(X_\alpha, \mathcal V_\alpha, f_\alpha)\}_{\alpha\in A} trong đó X_\alpha là không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương với cơ sở lân cận tại gốc \mathcal V_\alpha gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc, và ánh xạ

f_\alpha:X_\alpha\to X, X là một không gian véc-tơ (ngược với giới hạn xạ ảnh).

Chú ý ta cần điều kiện sau: X bằng bao tuyến tính của \cup_{\alpha\in A}f_\alpha(X_\alpha).

Khi đó, tôpô cảm sinh trên X là tôpô mạnh nhất để tất cả các ánh xạ f_\alpha đều liên tục.

Cũng như tôpô xạ ảnh, ánh xạ tuyến tính f: X\to Y, Y không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương, là liên tục

khi và chỉ khi

tất cả các ánh xạ f of_\alpha:X_\alpha\to Y đều liên tục.

Không khó khăn gì có thể thấy tôpô của X sinh bởi cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

\Sigma_{\alpha\in A}f_\alpha(V_\alpha)=\{\sum\limits_{\alpha\in A}a_\alpha f_\alpha(x_\alpha)|\; x_\alpha\in V_\alpha, a_\alpha\in[0, 1], \sum\limits_{\alpha\in A}a_\alpha\le 1\},

với V_\alpha\in\mathcal V_\alpha, trong tổng \sum\limits_{\alpha\in A} chỉ có tối đa đếm được số a_\alpha\not=0.

Ta chuyển sang các ví dụ cụ thể về tôpô cảm sinh.

Ví dụ đơn giản đầu tiên họ các không gian véc-tơ tôpô chỉ gồm một phần tử. Xét X_0 là không gian véc-tơ lồi địa phương với cơ sở lân cận tại gốc \mathcal V_0 , M là không gian véc-tơ con của X_0. Khi đó có không gian thương X_0/M gồm các lớp tương đương:

\hat{x}=x+M, x\in X_0.

Ta xét ánh xạ f_0 chính là ánh xạ chiếu

f_0=\pi: X_0\to X_0/M, \pi(x)=x+M.

Khi đó tôpô thương trên X_0/M là tôpô cảm sinh từ họ \{(X_0, \mathcal V_0, f_0=\pi)\} làm cho ánh xạ chiếu là ánh xạ liên tục. Tôpô này được sinh từ cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

V+M, V\in\mathcal V _0.

Tiếp đến ta xét ví dụ về tôpô tổng trực tiếp. Cho X_\alpha, \alpha\in A là các không gian vec-tơ tôpô lồi địa phương với cơ sở lân cận tại gốc lần lượt là \mathcal V_\alpha.

Không gian tổng trực tiếp

\oplus_{\alpha\in A}X_\alpha=\{x\in\prod_{\alpha\in A}X_\alpha|\; x_\alpha=0 với tất cả trừ ra một số hữu hạn \alpha\in A\}.

(Ở đây ta có sự so sánh không gian tổng trực tiếp với cơ sở Hamel- không gian tích với cơ sở Schauder.)

Các ánh xạ f_\alpha là các phép nhúng

f_\alpha: X_\alpha\to \oplus_{\alpha\in A}X_\alpha, f_\alpha(x_\alpha)=x,

trong đó

x_\beta=\begin{cases}0, \; khi \;\beta\not=\alpha,\\ x_\alpha, \; khi \; \beta=\alpha.\end{cases}

Tôpô tổng trực tiếp trên \oplus_{\alpha\in A}X_\alpha là tôpô cảm sinh từ họ \{(X_\alpha, \mathcal V_\alpha, f_\alpha)\}_{\alpha\in A} làm cho các phép nhúng f_\alpha liên tục. Tôpô tổng trực tiếp này sinh ra từ cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

U=\{\sum\limits_{\alpha\in A}a_\alpha f_\alpha(x_\alpha)|\; x_\alpha\in V_\alpha, a_\alpha\in[0, 1], \sum\limits_{\alpha\in A}a_\alpha\le 1\},

V_\alpha\in \mathcal V_\alpha.

Trước khi định nghĩa được tôpô trên \mathcal D(\mathbb R) và một số người bạn mới, tôpô Roumieu trên C^L, tôpô trên các không gian (gần với không gian Schwartz)

\mathcal O=\cup_{k\in\mathbb R}\cap_{n=0}^\infty C^{(n)}_{(k)}, \mathcal M=\cap_{n=0}^\infty\cup_{k\in\mathbb R} C^{(n)}_{(k)}

ta định nghĩa giới hạn cảm sinh.

Giới hạn cảm sinh khác so với tôpô tổng trực tiếp ở trên ở chỗ giữa các không gian tôpô X_\alpha có mối quan hệ và tập các chỉ số A là tập có quan hệ thứ tự.

Cụ thể như sau: với \alpha, \beta\in A, \alpha\le \beta ta có ánh xạ tuyến tính liên tục

h_{\beta\alpha}: X_\alpha\to X_\beta.

Trong không gian tổng trực tiếp F=\oplus_{\alpha\in A}X_\alpha xét không gian con H sinh bởi

(f_\alpha-f_\beta h_{\beta\alpha})(X_\alpha), \alpha\le \beta.

Khi đó không gian thương F/H với tôpô thương cho ta tôpô giới hạn cảm sinh, ký hiệu \lim\limits_{\overrightarrow{\alpha}}X_\alpha.

Trong trường hợp đặc biệt khi \alpha\le\beta có phép nhúng liên tục

h_{\beta\alpha}=Id_{\beta\alpha}:X_\alpha\hookrightarrow X_\beta.

Ký hiệu X=\cup_{\alpha\in A}X_\alpha là không gian véc-tơ, và

phép nhúng g_\alpha: X_\alpha\to X.

Ta có không gian con H của tổng trực tiếp \oplus_{\alpha\in A}X_\alpha sinh bởi các phần tử

x\in\prod_{\alpha\in A}X_\alpha mà có một cặp các chỉ số \alpha_1, \alpha_2\in A, \alpha_1<\alpha_2 để

x_\beta=\begin{cases} 0, \; khi \; \beta\not\in\{\alpha_1, \alpha_2\},\\ a, \; khi \; \beta=\alpha_1,\\ -a, \; khi \; \beta=\alpha_2.\end{cases}

Khi đó ta có thể đồng nhất không gian thương \oplus_{\alpha\in A}X_\alpha/HX=\cup_{\alpha\in A}X_\alpha bởi

x+H\mapsto \sum\limits_{\alpha\in A}x_\alpha.

Ta cũng có tôpô cảm sinh từ họ \{(X_\alpha, \mathcal V_\alpha, g_\alpha)\}_{\alpha\in A} trên X “trùng” với tôpô giới hạn cảm sinh \lim\limits_{\overrightarrow{\alpha}}X_\alpha. Lúc này tôpô giới hạn cảm sinh được sinh từ cơ sở lân cận của gốc gồm

U=\{\sum\limits_{\alpha\in A}a_\alpha x_\alpha|\; x_\alpha\in V_\alpha, \sum\limits_{\alpha\in A}|a_\alpha|\le 1\},

V_\alpha\in \mathcal V_\alpha.

Giới hạn cảm sinh trên là chặt nếu

\mathcal V_\beta sinh ra từ V_\alpha khi hạn chế từ X_\alpha xuống X_\beta, \alpha\le \beta.

Lúc đó tôpô giới hạn cảm sinh là tôpô mạnh nhất trên X sao cho khi hạn chế xuống mỗi X_\alpha ta được tôpô thô hơn V_\alpha. Về mặt hình ảnh giới hạn cảm sinh là việc ta lấy giới hạn của dãy tăng (về mặt tập hợp), “thô hơn” (về mặt tôpô). (Điểm này ta có thể so sánh giới hạn cảm sinh với vành Noether, còn giới hạn xạ ảnh với vành Artin.)

Giờ ta có thể xây dựng tôpô trên \mathcal D(\mathbb R) từ dãy \mathcal D_n với cơ sở lân cận của gốc \mathcal V_n gồm

B_{n, k, r}=\{\varphi\in C^\infty_0(\mathbb R)|\; supp \varphi\subset K_n, p_{n, k}(\varphi)\le r\},

k=0, 1, 2, \dots, r>0.

Có thể thấy \mathcal V_m sinh ra từ \mathcal V_n khi hạn chế từ \mathcal D_n xuống \mathcal D_m, m\le n

\mathcal D(\mathbb R)=\cup_{n=1}^\infty \mathcal D_n.

Do đó tôpô trên \mathcal D(\mathbb R) được xây dựng là tôpô giới hạn cảm sinh chặt từ dãy \{(\mathcal D_n, \mathcal V_n)\}_{n=1}^\infty, với cơ sở lân cận tại gốc gồm

\bar{V}(\{r_n\}_{n=1}^\infty, \{k_n\}_{n=1}^\infty)=\{\sum\limits_{n\in \mathbb N}a_n \varphi_n|\; \varphi_n\in B_{n, k_n, r_n}, \sum\limits_{n\in\mathbb N}|a_n|\le 1\},

k_n=0, 1, 2, \dots, r_n>0.

Chú ý rằng chữ “chặt” ở đây và \mathcal D_n đóng trong \mathcal D_{n+1} sẽ dẫn đến không có một metric nào trên \mathcal D(\mathbb R) sinh ra tôpô trùng với tôpô giới hạn cảm sinh chặt ở trên.

Ta có thể thu nhỏ cơ sở lân cận tại gốc thành cơ sở gồm các

\bar{V}(\{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty, \{m_n\}_{n=1}^\infty)

với \epsilon_n là dãy số dương giảm dần về 0, m_n là dãy số nguyên dương tăng dần ra vô cùng.

Cơ sở này hoàn toàn tương đương với cơ sở trong bài “Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản” theo nghĩa:

-) với bất kỳ các dãy \bar{\epsilon}_n giảm về 0, \bar{m}_n tăng ra vô đều có

các dãy \epsilon_n giảm về 0, m_n tăng ra vô cùng để

V(\{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty, \{m_n\}_{n=1}^\infty)\subset \bar{V}(\{\bar{\epsilon}_n\}_{n=1}^\infty, \{\bar{m}_n\}_{n=1}^\infty),

-) với bất kỳ các dãy \epsilon_n giảm về 0, m_n tăng ra vô đều có

các dãy \bar{\epsilon}_n giảm về 0, \bar{m}_n tăng ra vô cùng để

\bar{V}(\{\bar{\epsilon}_n\}_{n=1}^\infty, \{\bar{m}_n\}_{n=1}^\infty)\subset V(\{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty, \{m_n\}_{n=1}^\infty).

Ta chuyển sang xây dựng tôpô Roumieu cho C^L. Khác với cách của Beurling cho k tiến ra vô cùng, Roumieu cho k giảm về 0 ta thấy dãy \mathcal E^{L, k}(K_n), n cố định, về mặt tập hợp “lớn dần”, về mặt tôpô “thô dần”. Khi đó ta xây dựng tôpô giới hạn cảm sinh trên \mathcal E^{\{L\}}(K_n)=\cup_{k>0}\mathcal E^{L, k}(K_n) với cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

V(n, \{r_k\}_{k>0})=\{\sum\limits_{k>0}a_k\varphi_k|\; \varphi_k\in B_{n, k, r_k}, \sum\limits_{k>0}|a_k|\le 1\},

r_k giảm dần về 0 khi k giảm về 0.

Tiếp đến Roumieu cho n tăng ra vô cùng, ta có dãy \mathcal E^{\{L\}}(K_n) nhỏ dần về mặt tập hợp, mịn dần về mặt tôpô. Lúc này ta lấy tôpô giới hạn xạ ảnh cho không gian \mathcal E^{\{L\}}(\mathbb R)=\cap_{n=1}^\infty \mathcal E^{\{L\}}(K_n), về mặt tập hợp chính là lớp Denjoy-Carleman C^L, với cơ sở lân cận tại gốc gồm các tập tuyệt đối lồi, hút, chứa gốc

V(n, \{r_k\}_{k>0}),

n\in\mathbb N, r_k giảm dần về 0 khi k giảm về 0.

Tiếp tục xây dựng tôpô trên các không gian

\mathcal O=\cup_{l\in\mathbb R}\cap_{m\in\mathbb Z_+} C^{(m)}_{(l)} tương tự như không gian \mathcal D(\mathbb R),

\mathcal M=\cap_{m\in\mathbb Z_+} \cup_{l\in\mathbb R}C^{(m)}_{(l)} tương tự như không gian \mathcal E^{\{L\}}(\mathbb R) với tôpô Roumieu.

Các bạn thử xem không gian này là gì

\cup_{l\in\mathbb R}\cup_{m\in\mathbb Z_+} C^{(m)}_{(l)}

và tôpô trên đó nên được xây dựng thế nào?

One thought on “Giới hạn xạ ảnh – Giới hạn cảm sinh

  1. datuan5pdes

    Ta sẽ chứng minh \mathcal D(\mathbb R) không khả metric từ cơ sở lân cận tại gốc \bar{V}(\{\epsilon_n\}_{n=1}^\infty, \{m_n\}_{n=1}^\infty).

    Giả sử \mathcal D(\mathbb R) khả metric, khi đó có một dãy cơ sở lân cận \{U_k\}_{k=1}^\infty nhỏ dần.

    Với mỗi kU_k là một lân cận nên có
    các dãy \epsilon_n(k) giảm về 0, m_n(k) tăng ra vô cùng để
    \bar{V}(\{\epsilon_n(k)\}_{n=1}^\infty, \{m_n(k)\}_{n=1}^\infty)\subset U_k.

    Lại có \bar{V}(\{\epsilon_n(k)\}_{n=1}^\infty, \{m_n(k)\}_{n=1}^\infty) là bao lồi của các
    B_{n, m_n(k), \epsilon_n(k)}, n=1, 2, \dots.
    Do đó có \varphi_k\in \bar{V}(\{\epsilon_n(k)\}_{n=1}^\infty, \{m_n(k)\}_{n=1}^\infty)
    supp\varphi_k\not\subset K_k.
    Khi đó \varphi_k\in U_k\setminus \mathcal D_k.
    Chú ý một tập B là bị chặn trong \mathcal D(\mathbb R) thì theo bài “Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản” có k để

    supp\varphi\subset K_k, \forall \varphi\in B hay B\subset \mathcal D_k.

    Như vậy tập các hàm \varphi_k, k=1, 2, \dots, không bị chặn. Do đó có một lân cận V

    V không hút tập các hàm này! \;\; (1)

    Tuy nhiên, với mỗi k_0

    +) khi k\ge k_0: \varphi_k\in U_k\subset U_{k_0},

    +) tập \varphi_k, k=1, 2, \dots, k_0-1 chỉ có hữu hạn phần tử nên nó bị chặn, mà U_{k_0} là lân cận nên có một số \lambda>1 để
    \varphi_k\in \lambda U_{k_0}, k=1, 2, \dots, k_0-1.

    Như vậy tập các hàm \varphi_k, k=1, 2, \dots, bị hút bởi mỗi U_{k_0.}

    Lại do \{U_k\}_{k=1}^\infty là cơ sở lân cận và V là lân cận nên có k_1 để
    U_{k_1}\subset V.
    Khi đó do U_{k_1} hút tập các hàm \varphi_k, k=1, 2, \dots nên V cũng vậy.
    Mâu thuẫn với (1).

    Ta có điều giả sử sai!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s