Các đặc trưng của không gian Sobolev W^{1, p}

Với \Omega là một tập mở trong không gian \mathbb R^n, không gian Sobolev W^{1, p}(\Omega), 1\le p\le +\infty được định nghĩa là không gian gồm các hàm suy rộng u\in \mathcal D'(\Omega) thoả mãn

u và các đạo hàm suy rộng cấp 1 của nó đều thuộc L^p(\Omega).

Để đơn giản cho việc trình bày, tôi chỉ trình bày trường hợp đơn giản \Omega=(0, 1).

Khi đó

W^{1, p}(0, 1)=\{u\in L^p(0, 1)|\; u'\in L^p(0, 1)\}.

Nhắc lại hàm suy rộng u\in \mathcal D'(0, 1) thuộc vào L^p(0, 1) khi và chỉ khi

có một số dương C để với mọi \varphi\in C^\infty_0(0, 1) sao cho

|\langle u, \varphi\rangle|\le C||\varphi||_q,

trong đó ||\varphi||_q=(\int\limits_0^1 |\varphi(x)|^qdx)^{1/q}, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1.

Ta cũng có định nghĩa cách khác, hàm suy rộng u thuộc vào L^p(0, 1) khi và chỉ khi có một hàm g\in L^p(0, 1) sao cho

\langle u, \varphi\rangle=\int\limits_0^1 g(x)\varphi(x)dx, \forall \varphi\in C^\infty_0(0, 1).

Từ đây ta có thể định nghĩa khác cho không gian Sobolev

W^{1, p}(0, 1)=\{u\in L^p(0, 1)|\exists g\in L^p(0, 1)\; \forall \varphi\in C^\infty_0(0, 1):

\langle u', \varphi\rangle =\int\limits_0^1 g(x)\varphi(x)dx\}.

Lại lưu ý \langle u', \varphi\rangle=-\langle u, \varphi'\rangleu\in L^p(0, 1) là hàm thông thường nên

W^{1, p}(0, 1)=\{u\in L^p(0, 1)|\exists g\in L^p(0, 1)\; \forall \varphi\in C^\infty_0(0, 1):

\int\limits_0^1 u(x)\varphi'(x)dx =-\int\limits_0^1 g(x)\varphi(x)dx\}.

Ta có thể thay \forall \varphi\in C^\infty_0(0,1) bởi

\forall \varphi\in C^1_0(0, 1).

Như trong định nghĩa ta có u'=g\in L^p(0, 1) là đạo hàm suy rộng của u. Khi đó hàm

v(x)=\int\limits_0^x g(t)dt

là hàm liên tục tuyệt đối, có đạo hàm thông thường hầu khắp nơi

v'(x)=g(x) h.k.n trên (0, 1)

u(x)-v(x)=constant h.k.n trên (0, 1).

Như vậy ta có thể coi W^{1, p}(0, 1) là không gian con của không gian các hàm liên tục tuyệt đối AC(0, 1). Lúc này, nếu u\in W^{1, p}(0, 1) thì nó có đạo hàm thông thường hầu khắp nơi u' và ta có thể viết

W^{1, p}(0, 1)=\{u\in AC(0, 1)|\; u, u'\in L^p(0, 1)\}.

Các cách định nghĩa không gian W^{1, p}(0, 1) ở trên đều đòi hỏi sự có mặt của đạo hàm (hoặc theo nghĩa suy rộng, hoặc theo nghĩa thông thường). Dưới đây tôi sẽ trình bày tiếp một số đặc trưng khác, theo hướng của H. Brezis, cho W^{1, p}(0, 1) mà ở đó không có sự xuất hiện của đạo hàm u'.

Ta bắt đầu với các đặc trưng trong cuốn “Analyse Fonctionnelle” của H. Brezis.

Cho 1<p< +\infty, u\in L^p(0, 1). Khi đó, các mệnh đề sau tương đương.

(i) u\in W^{1, p}(0, 1).

(ii) Có số dương C để với mọi \varphi\in C^\infty_0(0, 1) ta có

|\int\limits_0^1 u(x)\varphi'(x)dx|\le C||\varphi||_q.

(iii) Có số dương C để với mọi 0<h<\epsilon<1/2 ta có

\int\limits_\epsilon^{1-\epsilon}|u(x+h)-u(x)|^pdx\le C|h|^p.

Để có các đặc trưng tiếp theo, ta lấy một dãy hàm đo được, không âm \rho_n: (0, +\infty)\to [0, +\infty) thỏa mãn

(-) \lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_0^\infty \rho_n(x)dx=1,

(-) \lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_\tau^\infty \rho_n(x)dx=0, \forall \tau>0.

Khi đó, J. Bourgain, H. Brezis, P. Mironescu, trong bài

“Another look at Sobolev spaces”, in Optimal Control and Partial Differential Equations (J. L. Menaldi, E. Rofman et A. Sulem, eds) a volume in honour of A. Bensoussan’s 60th birthday, IOS Press, 2001, p. 439-455,

đã chứng minh được các mệnh đề sau là tương đương

(i) u\in W^{1, p}(0, 1).

(ii) có số dương C để với mọi n\in\mathbb N ta có

\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^p}\rho_n(|x-y|)dxdy<C.

Hơn nữa

\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^p}\rho_n(|x-y|)dxdy=2\int\limits_0^1 |u'(x)|^pdx.

Chẳng hạn, lấy cụ thể

\rho_n(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{n} x^{1/n-1} \; khi \; 0<x<1,\\ 0 \; khi \; x>1,\end{cases}

bất đẳng thức trong (ii) trở thành

\dfrac{1}{n}\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{1+p-1/n}}dxdy<C.

Hay

\rho_n(x)=\begin{cases} n \; khi \; 0<x<1/n,\\ 0 \; khi \; x>1/n,\end{cases}

bất đẳng thức trong (ii) trở thành

n\iint\limits_{0<x, y<1\atop |x-y|<1/n} \dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{p}}dxdy<C.

Một ví dụ nữa

\rho_n(x)=\begin{cases} 0 \; khi \; 0<x<1/n\\ \dfrac{1}{x\log{n}} \; khi \; 1/n<x<1,\\ 0 \; khi \; x>1,\end{cases}

bất đẳng thức trong (ii) trở thành

\dfrac{1}{\log{n}}\iint\limits_{0<x, y<1\atop |x-y|>1/n} \dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{1+p}}dxdy<C.

Trong trường hợp đơn giản khác \Omega=\mathbb R ta cũng có các kết quả tương tự. Bạn đọc thử tự phát biểu xem!

Một cách tiếp cận hơi khác của Nguyễn Hoài Minh, trong bài

“Some new characterizations of Sobolev spaces”, Journal of Functional Analysis 237 (2006) 689–720,

cho ta một đặc trưng nữa trong trường hợp \Omega=\mathbb R như sau.

Cho 1<p< +\infty, u\in L^p(\mathbb R). Khi đó, các mệnh đề sau tương đương.

(i) u\in W^{1, p}(\mathbb R).

(ii) \sup\limits_{0<\delta<1}\iint\limits_{\mathbb R^2\atop |u(x)-u(y)|>\delta}\dfrac{\delta^p}{|x-y|^{1+p}}dxdy<+\infty.

Hơn nữa

\lim\limits_{\delta\to 0}\iint\limits_{\mathbb R^2\atop |u(x)-u(y)|>\delta}\dfrac{\delta^p}{|x-y|^{1+p}}dxdy=\dfrac{2}{p}\int\limits_{\mathbb R}|u'(x)|^pdx.

Sau đó, J. Bourgain và Nguyễn Hoài Minh tiếp tục phát triển bằng cách lấy dãy các số dương \delta_n, n\in\mathbb N, hội tụ về 0 bất kỳ. Khi đó, trong bài

“A new characterization of Sobolev spaces”, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006) 75–80,

hai tác giả cho một đặc trưng như sau.

(i) u\in W^{1, p}(\mathbb R).

(ii) \sup\limits_{n\in\mathbb N}\iint\limits_{\mathbb R^2\atop |u(x)-u(y)|>\delta_n}\dfrac{\delta_n^p}{|x-y|^{1+p}}dxdy<+\infty.

Gần đây, ba tác giả Roc Alabern, Joan Mateu và Joan Verdera, trong bài

“A new characterization of Sobolev spaces on \mathbb R^n“, Math. Annalen, October 2012, Volume 354, Issue 2, pp 589-626,

đưa ra một cách tiếp cận khác cho trường hợp \Omega=\mathbb R.

Với mỗi x\in\mathbb R, t>0, ký hiệu

u_{x, t}=\dfrac{1}{2t}\int\limits_{x-t}^{x+t}u(\tau)d\tau.

Tiếp tục đặt

S(u)^2(x)=\int\limits_0^\infty\Big|\dfrac{u_{x, t}-u(x)}{t}\Big|^2\dfrac{dt}{t}.

Khi đó, ba tác giả trên đưa ra đặc trưng như sau.

Cho 1<p< +\infty. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương.

(i) u\in W^{1, p}(\mathbb R).

(ii) u, Su\in L^p(\mathbb R).

One thought on “Các đặc trưng của không gian Sobolev W^{1, p}

  1. datuan5pdes

    Các đặc trưng của không gian Sobolev mà ở đó không có sự xuất hiện của đạo hàm dùng để làm gì?
    Câu trả lời chưa đầy đủ: xây dựng không gian Sobolev trên các không gian metric. Các bạn có thể xem bài

    http://fsdona2011.uni-jena.de/proc/yang_ln.pdf

    Trong bài này cũng đưa ra một đặc trưng cho không gian W^{1, p}(\mathbb R), 1<p<+\infty của P. Hajlasz. P. Hajlasz, trong bài
    "Sobolev space on an arbitrary metric space", Potential Anal., 5(1996), pp.403-415,

    đưa ra đặc trưng như sau.

    Cho 1<p<+\infty, u\in L^p(\mathbb R). Các mệnh đề sau tương đương

    (i) u\in W^{1, p}(\mathbb R).

    (ii) Có một hàm đo được, không âm g\in L^p(\mathbb R) sao cho với hầu hết x, y\in\mathbb R
    |u(x)-u(y)|\le C|x-y|(g(x)+g(y)).

    Bạn đọc xem thêm

    http://www.pitt.edu/~hajlasz/OriginalPublications/Hajlasz-Sobolev-PotAnal-5-1996-403-415.pdf

    hay

    http://www.pitt.edu/~hajlasz/OriginalPublications/Hajlasz-ANewCharacterization-StudiaMath-159-2003-263-275.pdf

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s