Định lý Titchmarsh về tích chập (tiếp)

Trong bài trước

https://datuan5pdes.wordpress.com/2010/06/18/d%E1%BB%8Bnh-ly-titchmash-v%E1%BB%81-tich-ch%E1%BA%ADp/

tôi đã trình bày một dạng Định lý Titchmarsh về tích chập cho hàm liên tục. Dưới đây tôi sẽ trình bày một dạng khác cho lớp hàm suy rộng.

Trước hết ta nhắc lại Định lý Titchmarsh đã phát biểu trong bài trước.

Cho \phi, \varphi là các hàm liên tục trên [0, +\infty).

Nếu \varphi * \phi=0 thì \varphi=\phi=0.

Ta có thể coi \phi, \varphi là các hàm xác định trên toàn đường thẳng bằng cách cho giá trị của chúng đều bằng 0 trên nửa trục âm. Khi đó supp\phi, supp\varphi\subset[0, +\infty).

Nếu đặt

\alpha=\inf supp\phi, \beta=\inf supp\varphi

thì dạng cụ thể hơn của Định lý Titchmarsh được phát biểu

\inf supp(\phi*\varphi)=\alpha+\beta.

Kết quả này, năm 1921 E. C. Titchmarsh đã chứng minh kết quả này cho các hàm \phi, \varphi\in L^1(\mathbb R) khi \alpha>-\infty, \beta>-\infty.

Ta cũng có kết quả tương tự trong trường hợp

\alpha=\sup supp\phi, \beta=\sup supp\varphi.

Kết hợp cả hai trường hợp ta có dạng khác của Định lý Titchmarsh:

Cho \phi, \varphi\in L^1(\mathbb R) là các hàm có giá lần lượt nằm trong các đoạn [a, c], [b, d]. Khi đó

supp(\phi*\varphi)\subset[a+b, c+d].

Có thể thấy đoạn [a, c] nhỏ nhất chứa giá supp\phi chính là

c.h. supp\phi bao lồi đóng của supp\phi.

Khi đó ta có kết quả chặt hơn

c.h. supp(\phi*\varphi)=c.h. supp\phi+c.h. supp\varphi.

Từ dạng cụ thể này ta có thể dẫn lại được dạng phát biểu ở đầu bài.

Ngoài ra, ta có dạng mở rộng sang nhiều chiều Định lý Titchmarsh của J. L. Lions đưa ra vào năm 1951 như sau.

Cho u, v\in \mathcal E'(\mathbb R^n). Khi đó

c.h. supp(u*v)=c.h. supp u+ c.h. supp v.

Quay trở lại trường hợp 1-chiều với các hàm có giá không compact. Lại để ý rằng,  với dx là độ đo Lebesgue, \phi\in L^1(\mathbb R) thì \phi dx là độ đo Borel phức trên đường thẳng thực có biến phân bị chặn.

Kết quả của Titchmarsh mở rộng sang lớp \mathcal M gồm các độ đo Borel phức, có biến phân bị chặn như sau.

Cho \mu, \nu\in \mathcal M.

Nếu \alpha=\inf supp\phi>-\infty, \beta=\inf supp\varphi>-\infty

thì \alpha+\beta=\inf supp(\mu*\nu).

Một ví dụ điển hình cho độ đo phức Borel, biến phân bị chặn không có dạng \phi dx, là hàm Dirac \delta_x xác định bởi

\langle \delta_x, \varphi\rangle=\varphi(x), \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R),

còn được hiểu là độ đo Borel tập trung tại điểm x, nghĩa là

\delta_x(E)=1 khi x\in E

\delta_x(E)=0 khi x\not\in E.

Dễ có

supp \delta_x=\{x\}, supp \delta_y=\{y\},

\delta_x *\delta_y=\delta_{x+y}

nên dễ có Định lý Titchmarsh.

Y. Domar đã đặt ra câu hỏi: liệu có thể mở rộng điều kiện cận dưới của giá hữu hạn không?

Ví dụ sau cho thấy nếu không có điều kiện này thì nói chung không có Định lý Titchmarsh.

Lấy

\mu=\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{\delta_{-km}}{m!}, \nu=(-1)^m\sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{\delta_{-km}}{m!}, k>0,

supp \mu=supp \nu= \{0, -1, -2, \dots\},

\mu*\nu=\delta_0.

Tuy nhiên năm 1983 Y. Domar đã tìm được điều kiện giảm nhẹ hơn đặt lên biến phân toàn phần của các độ đo như sau:

có một số a>2 để các biến phân toàn phần

|\mu|(-\infty, x)=O(exp(-|x|^a)), |\nu|(-\infty, x)=O(exp(-|x|^a))

khi x\to-\infty.

Hai năm sau, năm 1985 I. V. Ostrovskii không những giảm nhẹ xuống a>1 mà còn giảm nhẹ

với mọi số dương c>0 để các biến phân toàn phần

|\mu|(-\infty, x)=O(exp(-c|x|\log|x|)),

|\nu|(-\infty, x)=O(exp(-c|x|\log|x|))

khi x\to-\infty.

Trong trường hợp supp\mu\subset \mathbb Z, supp\nu\subset\mathbb Z, I. V. Ostrovskii còn giảm nhẹ

với mọi số dương c>0 để các biến phân toàn phần

|\mu|(-\infty, x)=O(exp(-|x|\log|x|-c|x|)),

|\nu|(-\infty, x)=O(exp(-|x|\log|x|-c|x|))

khi x\to-\infty.

Ví dụ trên cũng cho thấy các điều kiện I. V. Ostrovskii là cần thiết. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra điều kiện trên do I. V. Ostrovskii đưa ra có phải là điều kiện đủ hay không?

Gần đây, năm 2013 A. Comech và A. Komech đưa ra một dạng khác Định lý Titchmarsh cho hàm suy rộng tuần hoàn (trên đường tròn \mathbb T). Các bạn có thể tham khảo trong bài

Titchmarsh convolution circle

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s