Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng (tiếp)

Trong bài trước

https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/01/02/ham-suy-r%E1%BB%99ng-tu%E1%BA%A7n-hoan-tren-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-th%E1%BA%B3ng-chu%E1%BB%97i-fourier/#more-920

ta đã biết thế nào là hàm suy rộng tuần hoàn cũng như chuỗi Fourier của nó.

Dưới đây tôi sẽ chỉ ra rằng hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng là hàm suy rộng tăng chậm và đưa ra chứng minh chi tiết cho kết quả (1):

Chuỗi Fourier \sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k e^{ikx} hội tụ trong S^{,}(\mathbb R)

khi và chỉ khi

hệ số Fourier |c_k|=O(|k|^N) khi k\to\infty với N\in\mathbb N cố định nào đó.

Trước hết ta nhắc lại hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) nếu có một số dương p để

T_pf=f hay \langle f, \varphi(x)\rangle=\langle f, \varphi(x+p)\rangle, \forall\varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Để đơn giản tôi trình bày trường hợp tuần hoàn chu kỳ p=2\pi. Tôi dùng phân hoạch đơn vị sinh ra từ hàm \chi\in C^\infty_0(\mathbb R) như trong bài trước. Khi đó

chuỗi \sum\limits_{n\in\mathbb Z}\chi(x+2n\pi)\varphi(x) hội tụ đến \varphi(x) trong \mathcal D(\mathbb R).

Do f\in\mathcal D^{,}(\mathbb R) nên

\langle f, \varphi\rangle=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\langle f, \chi(x+n2\pi)\varphi(x)\rangle.

Lại có f tuần hoàn chu kỳ 2\pi nên

\langle f, \chi(x+n2\pi)\varphi(x)\rangle=\langle f, \chi(x)\varphi(x-n2\pi)\rangle.

Có supp\chi(x)\varphi(x-n2\pi)\subset[-2\pi, 2\pi]f có cấp hữu hạn trên từng compact nên có một số nguyên không âm N để

|\langle f, \chi(x)\varphi(x-n2\pi)\rangle|\le \sup\limits_{x\in[-2\pi, 2\pi]}\sum\limits_{k=0}^N|(\chi(x)\varphi(x-n2\pi))^{(k)}|

hay

|\langle f, \chi(x)\varphi(x-n2\pi)\rangle|\le C\sum\limits_{k=0}^N\sup\limits_{x\in[(n-1)2\pi, (n+1)2\pi]}|\varphi^{(k)}(x)|.

Với x\in[(n-1)2\pi, (n+1)2\pi], n\in\mathbb Z

n^2\le 1+x^2.

Khi đó

\sup\limits_{x\in[(n-1)2\pi, (n+1)2\pi]}|\varphi^{(k)}(x)|\le \dfrac{1}{n^2}\sup\limits_{x\in\mathbb R}(1+x^2)|\varphi^{(k)}(x)|, n\not=0,

\sup\limits_{x\in[-2\pi, 2\pi]}|\varphi^{(k)}(x)|\le \sup\limits_{x\in\mathbb R}(1+x^2)|\varphi^{(k)}(x)|.

Lấy tổng tất cả các số nguyên k=0, 1, ..., Nn=0, \pm1, \pm2, \dots ta được

|\langle f, \varphi\rangle|\le2\big(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}\big)\sum\limits_{k=1}^N\sup\limits_{x\in\mathbb R}|(1+x^2)\varphi^{(k)}(x)|.

Bất đẳng thức trên đúng với mọi \varphi\in \mathcal D(\mathbb R) nên có f\in S^{,}(\mathbb R).

Như vậy hàm suy rộng tuần hoàn là hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó ta có khai triển Fourier của nó

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}f_ke^{ikx},

trong đó các hệ số Fourier cho bởi

f_k=\dfrac{1}{2\pi}\langle f, \chi e^{-ikx}\rangle.

Từ tính chất có cấp hữu hạn trên từng compact ở trên ta có

|f_k|\le C\sup\limits_{x\in[-2\pi, 2\pi]}\sum\limits_{j=0}^N|(e^{-ikx})^{(j)}|

hay

|f_k|\le C(N+1)|k|^{N}.

Như vậy hệ số Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn thỏa mãn |f_k|=O(|k|^{N}), với N là cấp của f trên [-2\pi, 2\pi].

Tiếp đến, ta xét chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_ke^{ikx}

một cách độc lập với khai triển Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn.

Lưu ý biến đổi Fourier là một đẳng cấu trong không gian các hàm suy rộng tăng chậm và

\mathcal F(e^{ikx})(\xi)=(2\pi)^{1/2}\delta_k(\xi)

nên

chuỗi Fourier \sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_ke^{ikx} hội tụ trong S^{,}(\mathbb R)

khi và chỉ khi

chuỗi \sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k\delta_k(x) hội tụ trong S^{,}(\mathbb R).

Như vậy kết quả (1) cần chứng minh tương đương với kết quả (2)

chuỗi \sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k\delta_k(x) hội tụ trong S^{,}(\mathbb R)

khi và chỉ khi

|c_k|=O(|k|^N) khi k\to\infty với N\in\mathbb N nào đó.

Ta chứng minh chiều ngược của kết quả (2), nghĩa là giả sử có số tự nhiên N và số dương C để

|c_k|\le C|k|^N với mọi k\in\mathbb Z.

Lấy \varphi\in S(\mathbb R). Ta sẽ dùng tiêu chuẩn Cauchy, nghĩa là với \epsilon>0 cho trước ta đi tìm k_0\in\mathbb N để với k\ge k_0, p\in\mathbb N

|\langle \sum\limits_{j=1}^{p}c_{k+j}\delta_{k+j}, \varphi\rangle|\le \epsilon,

|\langle \sum\limits_{j=1}^{p}c_{-k-j}\delta_{-k-j}, \varphi\rangle|\le \epsilon.

Do \varphi\in S(\mathbb R) có số dương C_1 để

(1+x^2)^{N+1}|\varphi(x)|\le C, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó

|\sum\limits_{j=1}^p c_{k+j}\varphi(k+j)|\le CC_1\sum\limits_{j=1}^p(k+j)^{-N-2}.

Từ đó, không khó khăn gì ta sẽ tìm được k_0 hay có chiều ngược của kết quả (2).

Ta chứng minh chiều xuôi của kết quả (2) bằng phản chứng, nghĩa là giả sử có một dãy các số nguyên k_\ell, \ell=1, 2, \dots sao cho

1\le |k_1|<|k_2|<\dots<|k_\ell|<\dots,

|c_{k_\ell}|>|k_\ell|^{|k_\ell|}

với các hệ số c_k, k\in\mathbb Z

chuỗi \sum\limits_{k\in \mathbb Z}c_k\delta_k(x) hội tụ trong S^{,}(\mathbb R).

Xét chuỗi hàm

\sum\limits_{\ell=1}^\infty \dfrac{1}{c_{k_\ell}}\rho(x-k_\ell)

với \rho(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{1-x^2}} \; khi \; |x|<1,\\ 0 \; khi \; |x|\ge 1.\end{cases}

Kiểm tra trực tiếp bằng định nghĩa ta có chuỗi hàm trên hội tụ trong S(\mathbb R) đến một hàm \varphi. Tuy nhiên, chuỗi

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k\langle \delta_k, \varphi\rangle

không hội tụ.

Điều này trái với giả thiết

chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty c_k\delta_k(x) hội tụ trong S^{,}(\mathbb R).

Cách chứng minh trên dựa vào M. J. Lighthill (trang 58-60 cuốn “Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions”). Trong cuốn này, M. J. Lighthill cũng chứng minh tính duy nhất của khai triển Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn, nghĩa là với mỗi hàm suy rộng tuần hoàn có duy nhất một khai triển Fourier hay nếu chuỗi Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k e^{ikx} hội tụ đến 0 trong S^{,}(\mathbb R)

thì c_k=0, \forall k\in\mathbb Z.

Thật vậy, khi

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k e^{ikx} hội tụ đến 0 trong S^{,}(\mathbb R)

thì

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k \delta_k(x) hội tụ đến 0 trong S^{,}(\mathbb R).

Khi đó nguyên hàm suy rộng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_k H(x-k) hội tụ đến hàm hằng trong S^{,}(\mathbb R),

trong đó hàm Heviside

H(x)=\begin{cases} 1\; khi \; x>0,\\ 0 \; khi \; x\le 0,\end{cases}.

Do đó c_k=0, \forall k\in\mathbb Z.

Từ đó ta cũng có thể chứng minh chiều xuôi của kết quả (1) (cũng như (2)) theo cách dãy hệ số c_k, k\in\mathbb Z là các hệ số Fourier của một hàm suy rộng tuần hoàn. Ngoài ra, các hệ số Fourier của một hàm suy rộng tuần hoàn xác định không phụ thuộc cách xây dựng phân hoạch đơn vị đặc biệt!

Dưới đây là một số điểm liên hệ khác.

Độ đo Radon phức tuần hoàn trên đường thẳng, hay cũng là độ đo Borel phức trên đường tròn \mathbb T, là hàm suy rộng tuần hoàn.

D. Menshov xây dựng độ đo Borel \mu không tầm thường trong bài “Tập có độ đo không (tiếp)”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/11/04/tap-co-do-do-khong-tiep/

cũng có thể coi là hàm suy rộng tuần hoàn,

và có chuỗi Fourier

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\hat{\mu}(n)e^{inx} hội tụ về 0 hầu khắp nơi.

Tính duy nhất của hệ số Fourier của hàm suy rộng tuần hoàn ở đây có vẻ như mâu thuẫn với ví dụ của D. Menshov?

Trong bài “Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa – chuỗi Fourier”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2012/06/01/su-hoi-tu-cua-chuoi-luy-thua-chuoi-fourier/

có đề cập đến các chuỗi Fourier

\sum\limits_{n=1}^\infty n^{-\alpha}\sin(nx), 0<\alpha<1,

hay

\sum\limits_{n=2}^\infty (\log n)^{-1}\sin(nx)

hội tụ điểm đến hàm không khả tích Lebesgue trên [0, 2\pi].

Chúng sẽ hội tụ đến hàm đo được. Tuy nhiên nếu đơn thuần hiểu theo nghĩa hàm đo được thì khó có thể hiểu chính xác các chuỗi Fourier trên?

One thought on “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng (tiếp)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s