Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm

Như đã biết hàm suy rộng tuần hoàn là hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier này hội tụ trong không gian hàm suy rộng tăng chậm đến chính nó. Câu hỏi: liệu có khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm hay không?

Như đã biết, một hàm chỉnh hình trên một miền mở \Omega\subset\mathbb C=\mathbb R^2 thì nó có khai triển Taylor tại mọi điểm trong miền đó. Hơn nữa chuỗi Taylor ở tại mỗi điểm đều có bán kính hội tụ dương! Ngoài ra khi \Omega=\mathbb R^2 thì có thể thấy bán kính hội tụ của chuỗi Taylor sẽ bằng vô cùng, nghĩa là chuỗi hội tụ tại mọi điểm trong mặt phẳng và hàm chỉnh hình ban đầu có thể viết thành chuỗi Taylor tại một điểm, chẳng hạn điểm gốc. Câu hỏi liệu ta có thể viết hàm chỉnh hình trong một miền mở dưới dạng chuỗi Taylor như trong trường hợp hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng được không? Câu trả lời: nói chung không! Dĩ nhiên có thể vớt vát vài trường hợp như \Omega là hình tròn. Câu hỏi dễ hơn: liệu có viết dưới dạng ghép của nhiều chuỗi Taylor không? Ghép như nào? Câu trả lời là được. Nó được làm như sau.

Tại mỗi điểm có tọa độ hữu tỷ (x_j, y_j), j\in\mathbb N (vì tập các điểm có tọa độ hữu tỷ chỉ có đếm được nên ta sắp xếp được) trong \Omega chuỗi Taylor tại đó có bán kính hội tụ r_j>0, ta chỉ cần lấy r_j<1,

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0^2}\lambda_j^{\gamma}(x-x_j)^{\gamma_1}(y-y_j)^{\gamma_2},

trong đó \lambda_j^\gamma là các hằng số phức, \mathbb N^2_0 là tập các cặp số nguyên không âm, \gamma=(\gamma_1, \gamma_2).

Ta ghép tất cả các chuỗi Taylor này nhờ phân hoạch đơn vị ứng với phủ gồm các hình tròn

K_j=B_{r_j}(x_j, y_j), j\in\mathbb N

và các hàm khả vi vô hạn \psi_j thỏa mãn

supp\psi_j\subset K_j,

có hằng số dương c_\gamma

|D^\gamma \psi_j(x, y)|\le c_\gamma r_j^{-|\gamma|}, \gamma\in\mathbb N_0^2, j\in\mathbb N,

\sum\limits_{j\in\mathbb N}\psi_j(x, y)=1, (x, y)\in\Omega.

Lưu ý các hình tròn K_j phủ \Omega do tình trù mật của tập số hữu tỷ và tính mở của miền \Omega.

Khi đó hàm f(x) được viết dưới dạng

\sum\limits_{j\in\mathbb N}\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0^2}\lambda_j^\gamma(x-x_j)^{\gamma_1}(y-y_j)^{\gamma_2}\psi_j(x, y).

Có thể hiểu qua cách hội tụ của chuỗi trên như sau.

+Với mỗi (x, y) cố định, hàm \psi_j(x, y)\not=0 dẫn đến (x, y)\in K_j. Khi đó chuỗi

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0^2}\lambda_j^\gamma(x-x_j)^{\gamma_1}(y-y_j)^{\gamma_2}

hội tụ đến f(x, y).

+Như vậy

\sum\limits_{j\in\mathbb N}\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0^2}\lambda_j^\gamma(x-x_j)^{\gamma_1}(y-y_j)^{\gamma_2}\psi_j(x, y)=\sum\limits_{j\in\mathbb N}f(x, y)\psi_j(x, y)

=f(x, y).

Như vậy chuỗi “Taylor ghép” hội tụ điểm đến f(x, y). Ta có thể chứng minh chuỗi trên hội tụ trên từng compact. Việc này xin dành bạn đọc.

Cách tiếp cận khai triển thành chuỗi “Taylor ghép” được H. Triebel cùng các đồng nghiệp khởi xướng và phát triển cho hàm suy rộng tăng chậm.

Trước khi tiếp tục ta làm quen với một số không gian hàm và không gian dãy tương ứng

B^s_{pq}(\mathbb R), F^s_{pq}(\mathbb R),

b_{pq}, f_{pq},

trong đó 0<p, q\le \infty, s\in\mathbb R.

Không gian B^s_{pq}(\mathbb R) gồm các hàm f\in S^{,}(\mathbb R) sao cho

\sum\limits_{j=0}^\infty 2^{jsq}\big(\int\limits_{\mathbb R}|\mathcal F^{-1}(\varphi_j(\xi)\mathcal F f(\xi))(x)|^pdx\big)^{q/p}<+\infty. \;\; (1)

Khi đó ta định nghĩa chuẩn trên B^s_{pq}(\mathbb R)

||f|B^s_{pq}||=\Big(\sum\limits_{j=0}^\infty 2^{jsq}\big(\int\limits_{\mathbb R}|\mathcal F^{-1}(\varphi_j(\xi)\mathcal F f(\xi))(x)|^pdx\big)^{q/p}\Big)^{1/q},

trong đó dãy hàm \{\varphi_j\} được xác định bởi

+) \varphi_0(x)\in S(\mathbb R) thỏa mãn

\varphi_0(x)=1 khi |x|\le 1,

\varphi_0(x)=0 khi |x|\ge 3/2,

+) \varphi_1(x)=\varphi_0(x/2)-\varphi_0(x),

+) \varphi_k(x)=\varphi_1(2^{-k+1}x).

Cũng cần chú ý về sự hợp lý của định nghĩa:

+) trong biểu thức tích phân: f\in S^{,} nên

\varphi_j(\xi)\mathcal Ff(\xi)\in \mathcal E^{,},

do đó \mathcal F^{-1}(\varphi_j(\xi)\mathcal Ff(\xi))(x) là hàm giải tích,

+) không gian B^s_{pq}(\mathbb R) không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm \{\varphi_j\}.

Một cách tương tự ta định nghĩa không gian F^s_{pq}(\mathbb R), chỉ thay (1) bởi

\int\limits_{\mathbb R}\big(\sum\limits_{j=0}^\infty 2^{jsq}|\mathcal F^{-1}(\varphi_j(\xi)\mathcal F f(\xi))(x)|^q\big)^{p/q}dx<+\infty

và chuẩn được thay đổi một cách tương ứng.

Tiếp đến ta định nghĩa không gian dãy b_{pq} gồm các dãy số phức

\lambda=\{\lambda_{\nu m}\in\mathbb C:\; \nu\in\mathbb Z_+, m\in\mathbb Z\}

thỏa mãn

\sum\limits_{\nu=0}^\infty \big(\sum\limits_{m\in\mathbb Z}|\lambda_{\nu m}|^p\big)^{q/p}<+\infty.

Ta cũng định nghĩa chuẩn trong không gian dãy b_{pq} bởi

||\lambda|b_{pq}||=\Big(\sum\limits_{\nu=0}^\infty \big(\sum\limits_{m\in\mathbb Z}|\lambda_{\nu m}|^p\big)^{q/p}\Big)^{1/q}.

Không gian B^s_{pq}(\mathbb R) liên hệ với không gian dãy b_{pq}.

Không gian dãy f_{pq} được xây dựng tương tự b_{pq} sao cho có liên hệ với F^s_{pq}(\mathbb R).

Giờ ta quay trở lại khai triển thành chuỗi Taylor. Để ý trong chuỗi Taylor ghép mỗi số hạng có dạng

\lambda_j^\gamma (x-x_j)^{\gamma_1}(y-y_j)^{\gamma_2}\psi_j(x, y).

H. Triebel xây dựng một cái tương tự mà ông gọi là (s, p)-\gamma-quark được xác định bởi

(\gamma qu)_{\nu m}(x)=2^{-\nu(s-1/p)}(2^\nu x-m)^{\gamma}\psi(2^\nu x-m),

trong đó \nu\in\mathbb Z_+, m\in\mathbb Z,

\psi\in S(\mathbb R) thỏa mãn

supp\psi\subset[-3/2, 3/2]

\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\psi(x-m)=1, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó với s, \mu đủ lớn ta có các khai triển Taylor trong các không gian B^s_{pq}(\mathbb R), F^s_{pq}(\mathbb R) như sau.

Hàm f\in S^{,}(\mathbb R) thuộc vào không gian B^s_{pq}(\mathbb R)

khi và chỉ khi f có thể biểu diễn thành chuỗi

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\lambda^\gamma_{jm}(\gamma qu)_{jm}(x)

với các dãy \lambda^\gamma=\{\lambda^\gamma_{jm}\in\mathbb C:\; j\in\mathbb Z_+, m\in\mathbb Z\}\in b_{pq} thỏa mãn

\sup\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}2^{\mu\gamma}||\lambda^{\gamma}|b_{pq}||<+\infty.

Một cách tương tự ta cũng có khai triển Taylor cho các hàm f\in F^s_{pq}(\mathbb R).

Ta có

S^{,}(\mathbb R)=\cup_{s\in\mathbb R}B^s_{pq}(\mathbb R)

nên ta có thể nghĩa đến khai triển Taylor cho hàm suy rộng tăng chậm. Tuy nhiên ta mới có khai triển Taylor cho hàm f\in B^s_{pq}(\mathbb R) khi s lớn. Phần việc còn lại cũng khá phức tạp nên tôi để dành bài sau viết tiếp …

2 thoughts on “Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm

  1. Pingback: Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm (tiếp) | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  2. Pingback: Hệ số khai triển Taylor tính qua hệ số khai triển Fourier | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s