Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm (tiếp)

Trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/04/19/khai-trien-taylor-cua-ham-suy-rong-tang-cham/

ta đã có khai triển Taylor cho hàm f\in B^s_{pq}(\mathbb R), khi s đủ lớn,

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\lambda^\gamma_{jm}(\gamma qu)_{jm}(x), \;\;\; (1)

trong đó

(\gamma qu)_{j m}(x)=2^{-j(s-1/p)}(2^j x-m)^{\gamma}\psi(2^j x-m), j\in\mathbb Z_+, m\in\mathbb Z,

là các (s, p)-\gamma-quark,

\psi\in S(\mathbb R) thỏa mãn

supp\psi\subset[-3/2, 3/2]

\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\psi(x-m)=1, \forall x\in\mathbb R.

Ta cũng biết

S^{,}(\mathbb R)=\cup_{s\in\mathbb R}B^s_{pq}(\mathbb R),

và toán tử nâng

(I-\Delta)^k : B^{s+2k}_{pq}(\mathbb R)\to B^s_{pq}(\mathbb R), k\in\mathbb Z_+,

là một đẳng cấu.

Khi đó với mỗi f\in S^{,}(\mathbb R)

+ có số thực s để f\in B^s_{pq}(\mathbb R),

+ có số tự nhiên k đủ lớn để mọi hàm g\in B^{s+2k}_{pq}(\mathbb R) có khai triển Taylor,

+ khi đó ta có viết f thành chuỗi

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\lambda^\gamma_{jm}(I-\Delta)^{k}(\gamma qu)_{jm}(x).

Một cách tương tự nếu ta dùng đẳng cấu

I+(-\Delta)^k: B^{s+2k}_{pq}(\mathbb R)\to B^s_{pq}(\mathbb R), k\in\mathbb Z_+,

ta có thể viết f thành chuỗi

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}(\rho^\gamma_{jm}(\gamma qu)_{jm}+\lambda^\gamma_{jm}(-\Delta)^{k}(\gamma qu)_{jm}(x)).

Khi s đủ lớn, cụ thể s>\sigma_p=\max\{1/p-1, 0\}, thì ta có thể chọn các hệ số \lambda^\gamma_{jm}=0.

Với các số thực s khác H. Triebel cũng muốn làm gọn công thức trên. Để làm điều này ông dùng kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic trên miền hữu hạn. Cụ thể, với mỗi số tự nhiên k toán tử (-\Delta)^k là một đẳng cấu

đi từ không gian \{f\in B^{s+2k}_{pq}(a, b)|\; f^{(j)}(a)=f^{(j)}(b)=0, j=0, 1, \dots, k-1\}

vào không gian B^s_{pq}(a, b).

Ông lại sử dụng tiếp một kết quả khác, khi (s-1/p)\not\in\mathbb N_0s>\sigma_p thì

\{f\in B^{s}_{pq}(a, b)|\; f^{(j)}(a)=f^{(j)}(b)=0, j=0, 1, \dots, k-1\}=

\{f\in B^s_{pq}(\mathbb R)|\; supp f\subset(a, b)\}.

Từ đó bằng việc dùng phân hoạch đơn vị

\chi\in S(\mathbb R) thỏa mãn

supp\chi\subset[-3/2, 3/2]

\sum\limits_{\ell\in\mathbb Z}\chi(x-\ell)=1, \forall x\in\mathbb R,

ông phân tích

f(x)=\sum\limits_{\ell\in\mathbb Z}\chi(x-\ell)f(x).

Khi đó f\in B^s_{pq}(\mathbb R) thì \chi(x-\ell)f(x)\in B^s_{pq}(\ell-2, \ell+2).

Kết hợp với các kết quả ở trên, H. Triebel đã dẫn đến khai triển cho f

\sum\limits_{\gamma\in\mathbb N_0}\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}(-\Delta)^k(\gamma qu)_{jm}(x)(\sum\limits_{\ell\in\mathbb Z}\lambda^{\gamma, \ell}_{jm}\chi(x-\ell)).\;\;\; (2)

Như vậy ta có

+ với mỗi hàm suy rộng tăng chậm f\in S^{,}(\mathbb R) ta có thể tìm được số thực s để f\in B^s_{pq}(\mathbb R),

+ nếu s>\sigma_p ta có thể khai triển f bởi công thức (1),

+ nếu s\le \sigma_p, lưu ý không gian B^s_{pq}(\mathbb R) càng lớn khi s nhỏ nên có thể chọn (s-1/p)\not\in \mathbb N_0, tiếp đó ta có thể khai triển f bởi công thức (2) với số tự nhiên k đủ lớn.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s