Trong bài “Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm”
https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/04/19/khai-trien-taylor-cua-ham-suy-rong-tang-cham/#more-1618
ta đã biết, với mỗi hàm suy rộng tăng chậm ta đều có khai triển kiểu Taylor, theo nghĩa của H. Triebel. Đặc biệt khi thuộc vào không gian Besov
ta có khai triển kiểu Taylor khá đẹp
,
trong đó thỏa mãn
Bài này giúp ta biết các hệ số của khai triển kiểu Taylor được tính bằng cách nào?
Trước hết, ta quay lại hàm giải tích phức trên một miền chứa điểm Khi đó ta có khai triển Taylor tại điểm
với hệ số của khai triển Taylor
(dạng vi phân).
Dùng công thức tích phân Cauchy ta cũng có thể tính hệ số của khai triển Taylor
,(dạng tích phân)
trong đó là đường tròn tâm
, bán kính
đủ nhỏ để
nằm trong miền xác định của hàm
.
Bằng cách chuyển sang hệ tọa độ cực , hệ số của khai triển Taylor còn có thể tính theo cách
có dạng hệ số Fourier của khai triển Fourier của hàm (tuần hoàn chu kỳ
theo biến
).
Như vậy ta có một cách dẫn hệ số của khai triển Taylor từ hệ số Fourier cho hàm giải tích. Liệu ta có đường dẫn như vậy trong lớp hàm suy rộng tăng chậm? H. Triebel đã cho câu trả lời có như cách trình bày dưới đây của ông.
Trong bài “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier”
ta có khai triển Fourier của hàm suy rộng tăng chậm tuần hoàn. Ta cũng có khai triển Fourier cho hàm suy rộng có giá compact bằng cách “thác triển tuần hoàn” chu kỳ
như sau
trong đó được xây dựng như trong luận văn của Phạm Vân Hà, có tính chất giống hàm
ở trên. Cụ thể
và .
Thác triển ở đây theo nghĩa
.
Khi đó khai triển Fourier của hàm suy rộng có giá compact có dạng
trong đó hệ số Fourier
,
do .
Lại do nên
Một cách tổng quát, chuỗi Fourier của hàm suy rộng có giá compact
với hệ số Fourier
.
Đến đây ta lại dùng khai triển đơn vị như trong bài “Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm”. Có thể thấy
.
Ta phân tích biến đổi Fourier của hàm
,
trong đó biến đổi Fourier (một cách hình thức).
Khi đó nên có khai triển Fourier
với hệ số Fourier
,
trong đó biến đổi ngược Fourier (một cách hình thức).
Lưu ý khai triển Fourier trên hội tụ đến trong
.
Do đó nếu lấy sao cho
khi
,
,
và đặt
thì khi
,
.
Khi đó
trong .
Biến đổi ngược Fourier hai vế
Chú ý
nên
trong đó
.
Do nên theo Định lý Paley-Wiener
là hàm giải tích trên toàn mặt phẳng phức. Khi đó nó có khai triển Taylor tại mọi điểm. Với mỗi
ta khai triển Taylor hàm
tại điểm
.
Khi đó
.
Lưu ý là các phân hoạch đơn vị trên đường thẳng nên
.
Với ta có
Như vậy để tính hệ số của khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm ta cần tính hệ số Fourier
.
Từ đây ta cũng có thể tính hệ số của khai triển Taylor bởi
trong đó
.