Hệ số khai triển Taylor tính qua hệ số khai triển Fourier

Trong bài “Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/04/19/khai-trien-taylor-cua-ham-suy-rong-tang-cham/#more-1618

ta đã biết, với mỗi hàm suy rộng tăng chậm ta đều có khai triển kiểu Taylor, theo nghĩa của H. Triebel. Đặc biệt khi f thuộc vào không gian Besov B^s_{pq}(\mathbb R), s>\sigma_p=(1/p-1)_+, 0<p, q<+\infty, ta có khai triển kiểu Taylor khá đẹp

\sum\limits_{\beta\in\mathbb Z_+}\sum\limits_{\nu=0}^\infty\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\lambda^\beta_{\nu, m}2^{-\nu(s-1/p)}(2^\nu x-m)^\beta\psi(2^\nu x-m),

trong đó \psi\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

\sum\limits_{m\in\mathbb Z}\psi(x-m)=1, \forall x\in\mathbb R.

Bài này giúp ta biết các hệ số của khai triển kiểu Taylor \lambda^\beta_{\nu, m} được tính bằng cách nào?

Trước hết, ta quay lại hàm giải tích phức trên một miền chứa điểm z_0. Khi đó ta có khai triển Taylor tại điểm z_0

\sum\limits_{\nu=0}^\infty a_\nu (z-z_0)^\nu

với hệ số của khai triển Taylor

a_\nu=\dfrac{D^{\nu}f(z_0)}{n!}\;\;\;(dạng vi phân).

Dùng công thức tích phân Cauchy ta cũng có thể tính hệ số của khai triển Taylor

a_\nu=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{S}\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{\nu+1}}dz\;\;\;,(dạng tích phân)

trong đó S là đường tròn tâm z_0, bán kính r>0 đủ nhỏ để S nằm trong miền xác định của hàm f(z).

Bằng cách chuyển sang hệ tọa độ cực z=z_0+re^{i\theta}, hệ số của khai triển Taylor còn có thể tính theo cách

a_\nu=\dfrac{1}{2\pi r^{\nu}}\int\limits_0^{2\pi}e^{-i\nu \theta}f(z_0+re^{i\theta})d\theta

có dạng hệ số Fourier của khai triển Fourier của hàm r^{-\nu}f(z_0+re^{i\theta}) (tuần hoàn chu kỳ 2\pi theo biến \theta).

Như vậy ta có một cách dẫn hệ số của khai triển Taylor từ hệ số Fourier cho hàm giải tích. Liệu ta có đường dẫn như vậy trong lớp hàm suy rộng tăng chậm? H. Triebel đã cho câu trả lời có như cách trình bày dưới đây của ông.

Trong bài “Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/01/02/ham-suy-r%E1%BB%99ng-tu%E1%BA%A7n-hoan-tren-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-th%E1%BA%B3ng-chu%E1%BB%97i-fourier/#more-920

ta có khai triển Fourier của hàm suy rộng tăng chậm tuần hoàn. Ta cũng có khai triển Fourier cho hàm suy rộng có giá compact f\in \mathcal E'(\mathbb R), supp f\subset[-\pi, \pi] bằng cách “thác triển tuần hoàn” chu kỳ 2\pi như sau

F=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}f(x-2n \pi)\chi(x-2n \pi),

trong đó \chi được xây dựng như trong luận văn của Phạm Vân Hà, có tính chất giống hàm \psi ở trên. Cụ thể

\chi\in C^\infty_0(\mathbb R),

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\chi(x-2n\pi)=1, \forall x\in\mathbb R,

supp\chi\subset[-2\pi, 2\pi].

Thác triển ở đây theo nghĩa

\langle F, \varphi\rangle=\langle f, \varphi\rangle, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R), supp\varphi\subset[-\pi, \pi].

Khi đó khai triển Fourier của hàm suy rộng có giá compact f có dạng

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}c_ke^{ikx}

trong đó hệ số Fourier

c_k=\dfrac{1}{2\pi}\langle F, \chi(x) e^{-ikx}\rangle

=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\langle f(x), \chi(x)\chi(x+n2\pi)e^{-ik(x+n2\pi)}\rangle

=\dfrac{1}{2\pi}\langle f(x), \chi(x)e^{-ikx}\rangle,

do \sum\limits_{n\in\mathbb Z}\chi(x+n2\pi)=1, e^{-ik(x+n2\pi)}=e^{-ikx}.

Lại do supp f\subset[-\pi, \pi], \chi(x)=1, \forall x\in[-\pi, \pi] nên

c_k=\dfrac{1}{2\pi}\langle f(x), e^{-ikx}\rangle.

Một cách tổng quát, chuỗi Fourier của hàm suy rộng f có giá compact supp f\subset[-L\pi, L\pi]

\sum\limits c_ke^{-ikL^{-1}x}

với hệ số Fourier

c_k=(2L\pi)^{-1}\langle f, e^{ikL^{-1}x}\rangle.

Đến đây ta lại dùng khai triển đơn vị \{\varphi_j\}_{j=0}^\infty như trong bài “Khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm”. Có thể thấy

supp\varphi_j\subset[-3. 2^{j-1}, 3.2^{j-1}]\subset[-2^{j}\pi, 2^{j}\pi].

Ta phân tích biến đổi Fourier của hàm f\in B^s_{pq}(\mathbb R)

\hat{f}=\sum\limits_{j=0}^\infty \varphi_j \hat{f},

trong đó biến đổi Fourier \hat{f}(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{ix\xi}f(x)dx (một cách hình thức).

Khi đó supp\varphi_j\hat{f}\subset[-2^{j}\pi, 2^{j}\pi] nên có khai triển Fourier

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}b_{jk}e^{-i2^{-j}k\xi}

với hệ số Fourier

b_{jk}=2^{-j}(2\pi)^{-1}\langle \varphi_j\hat{f}, e^{i2^{-j}k\xi}\rangle=2^{-j}(\varphi_j\hat{f})\check{\;}\;(2^{-j}k),

trong đó biến đổi ngược Fourier \check{f}(x)=(2\pi)^{-1}\int\limits_{\mathbb R}f(\xi)e^{ix\xi}d\xi (một cách hình thức).

Lưu ý khai triển Fourier trên hội tụ đến \varphi_j\hat{f} trong [-2^i\pi, 2^j\pi].

Do đó nếu lấy \phi\in C_0^\infty(\mathbb R) sao cho

\phi(x)=1 khi x\in[-3/2,3/2],

supp\phi\subset[-\pi, \pi],

và đặt \phi_j(x)=\phi(2^{-j}x)

thì \phi_j(x)=1 khi x\in supp\varphi_j, supp\phi_j\subset[-2^j\pi, 2^j\pi].

Khi đó

\varphi_j\hat{f}=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}b_{jk}\phi_j(\xi)e^{-i2^{-j}k \xi}

trong \mathcal E'(\mathbb R).

Biến đổi ngược Fourier hai vế

(\varphi_j \hat{f})\check{}\;(x)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}b_{jk}\phi_j\check{}\;(x-2^{-j}k).

Chú ý

\phi_j\check{}\;(x-2^{-j}k)=(2\pi)^{-1}\int\limits_{\mathbb R}e^{-i\xi(x-2^{-j}k)}\phi(2^{-j}\xi)d\xi=2^j\check{\phi}(2^jx-k)

nên

(\varphi_j \hat{f})\check{\;}\;(x)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\Lambda_{jk}2^{-j(s-1/p)}\check{\phi}(2^jx-k)

trong đó

\Lambda_{jk}=2^{j+j(s-1/p)}b_{jk}=2^{j(s-1/p)}(\varphi_j\hat{f})\check{\;}\;(2^{-j}k).

Do \phi\in C^\infty_0(\mathbb R) nên theo Định lý Paley-Wiener \check{\phi}(2^jx-k) là hàm giải tích trên toàn mặt phẳng phức. Khi đó nó có khai triển Taylor tại mọi điểm. Với mỗi \ell\in\mathbb Z, \varrho\in\mathbb Z_+ ta khai triển Taylor hàm \check{\phi}(2^jx-k) tại điểm 2^{-j-\varrho}\ell

\sum\limits_{\nu=0}^\infty\dfrac{2^{j\nu}}{\nu!}(D^\nu \check{\phi})(2^{-\varrho}\ell-k)(x-2^{-j-\varrho}\ell)^\nu.

Khi đó

\psi(2^{j+\varrho}x-\ell)\check{\phi}(2^jx-k)=

=\sum\limits_{\nu=0}^\infty \dfrac{2^{-\varrho\nu}}{\nu!}(D^\nu \check{\phi})(2^{-\varrho}\ell-k)(2^{j+\varrho}x-\ell)^\nu\psi(2^{j+\varrho}x-\ell).

Lưu ý \{\varphi_j\}_{j=0}^\infty, \{\psi(.-k)\}_{k\in\mathbb Z} là các phân hoạch đơn vị trên đường thẳng nên

f=(\hat{f})\check{\;}=(\sum\limits_{j=0}^\infty\varphi_j\hat{f})\check{}

\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\Lambda_{jk}2^{-j(s-1/p)}\times

\times\sum\limits_{\ell\in\mathbb Z}\sum\limits_{\nu=0}^\infty \dfrac{2^{-\varrho\nu}}{\nu!}(D^\nu \check{\phi})(2^{-\varrho}\ell-k)(2^{j+\varrho}x-\ell)^\nu\psi(2^{j+\varrho}x-\ell).

Với \varrho=0 ta có

\lambda^\nu_{j,\ell}=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\dfrac{(D^\nu\check{\phi})(\ell-k)}{\nu!}\Lambda_{jk}.

Như vậy để tính hệ số của khai triển Taylor của hàm suy rộng tăng chậm ta cần tính hệ số Fourier

\Lambda_{jk}=2^{j+j(s-1/p)}b_{jk}=2^{j(s-1/p)}(\varphi_j\hat{f})\check{\;}\;(2^{-j}k)

=2^{j(s-1/p)} (f* \check{\varphi}_j)(2^{-j}k).

Từ đây ta cũng có thể tính hệ số của khai triển Taylor bởi

\lambda^\nu_{j, \ell}=2^{j(s-1/p)}\langle f, \Psi^\nu_{j,\ell}\rangle,

trong đó

\Psi^\nu_{j,\ell}(y)=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}\dfrac{(D^\nu\check{\phi})(\ell-k)}{\nu!}\check{\varphi}_j(2^{-j}k-y).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s