Định lý vết

Trong giáo trình “Lý thuyết hàm suy rộng và Không gian Sobolev” tôi có trình bày Định lý vết trong trường hợp đơn giản

Ánh xạ vết \gamma: S(\mathbb R^n)\to S(\mathbb R^{n-1}), \gamma u(x)=u(x', 0), x=(x', x_n)

có thể thác triển thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ H^s(\mathbb R^n) vào H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1}) với s>1/2.

Từ đây tôi cũng đưa ra Định lý vết cho trường hợp nửa không gian

Ánh xạ vết \gamma là ánh xạ tuyến tính liên tục từ H^s(\mathbb R^n_+) vào H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1}), s>1/2.

Ánh xạ vết ở đây có thể hiểu là ánh xạ lấy giá trị biên với

\mathbb R^{n-1} được hiểu là biên x_n=0 của nửa không gian \mathbb R^n_+=\{x\in\mathbb R^n|\; x_n>0\}.

Đến đây có hai câu hỏi đặt ra:

+ khi s\le 1/2 thì có Định lý vết như trên không?

+ thay nửa không gian bởi miền thì điều gì xảy ra?

Trước hết ta quan tâm đến câu hỏi thứ hai. Ta mở rộng dần nửa không gian bởi miền nằm trên đồ thị một hàm số \phi:\mathbb R^{n-1}\to\mathbb R. Cụ thể miền \Omega=\{x=(x', x_n)|\; x_n>\phi(x')\}. Khi đó biên của miền này \Gamma=\{x=(x', x_n)|\; x_n=\phi(x')\}. Nửa không gian là trường hợp đặc biệt với \phi(x')=0. Miền \Omega được gọi là miền với biên \Gamma thuộc vào lớp C^{k, \alpha}, k\in\mathbb Z_+, 0\le\alpha\le 1, nếu hàm \phi\in C^{k, \alpha}(\mathbb R^{n-1}) nghĩa là hàm \phi khả vi đến cấp k và mọi đạo hàm riêng cấp k đều thuộc lớp Holder

|D^\beta\phi(x')-D^\beta\phi(y')|\le C||x'-y'||^\alpha, \forall x', y'\in\mathbb R^{n-1},

\forall \beta\in\mathbb Z^{n-1}_+, |\beta|=k.

Đặc biệt miền \Omega được gọi là miền có biên Lipschitz nếu nó thuộc lớp C^{0, 1}.

Không gian Sobolev H^s(\Omega) là không gian các hàm hạn chế u=U|_\Omega, U\in H^s(\mathbb R^n) với chuẩn

||u||_s=\min\limits_{U\in H^s(\mathbb R^n)\atop U|_\Omega=u}||U||_s.

Còn không gian Sobolev H^s(\Gamma) là không gian các hàm u(x', \phi(x'))\in H^s(\mathbb R^{n-1}).

Khi đó, với \Omega có biên thuộc lớp C^{k, 1}, và 1/2<s\le k+1 thì ta cũng có ánh xạ vết \gamma u(x')=u(x', \phi(x')) là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ H^s(\Omega) vào H^{s-1/2}(\Gamma).

Kết quả này có thể chuyển sang cho miền \Omega bất kỳ có biên thuộc lớp C^{k, 1}, bằng cách phân hoạch miền \Omega và làm phẳng các mẩu biên bằng các ánh xạ lớp C^{k, 1}.

Trong trường hợp miền \Omega có biên trơn, chẳng hạn hình cầu, ta có Định lý vết khi s>1/2.

Trong trường hợp Lipschitz, khi k=0, theo kết quả trên ta có Định lý vết khi 1/2<s\le 1. Tuy nhiên M. Costabel, vào năm 1988, chứng minh Định lý vết khi 1/2<s<3/2! Khi s=3/2 trong bài báo

Jerison_Kenig_Lipschitz

David Jerison và Carlos Kenig đã đưa ra phản ví dụ của Guy David.

Còn khi s>3/2 ánh xạ vết là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ H^s(\Omega) vào H^1(\Gamma).

Giờ ta chuyển sang câu hỏi đầu khi s\le 1/2 điều gì xảy ra. Trước hết quay trở lại trường hợp s>1/2 ánh xạ vết bị chặn theo nghĩa

||\gamma u||_{H^{s-1/2}(\Gamma)}\le C||u||_{H^s(\Omega)}.

Từ đó dẫn đến, với mỗi \varphi\in \mathcal D(\Gamma), ánh xạ

u\mapsto \int\limits_{\Gamma} u(x)\varphi(x)d\Gamma(x), u\in\mathcal D(\bar{\Omega})

có thể thác triển thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H^s(\Omega).

Với 0\le s\le 1/2, J. L. Lions và E. Magenes chỉ ra rằng không thể thác triển được ánh xạ trên thành ánh xạ tuyến tính liên tục.

Một cách nhìn khác, cũng được J. L. Lions và E. Magenes quan tâm:

Không gian H^s_0(\Omega) là bao đóng của không gian C^\infty_0(\Omega) trong H^s(\Omega).

Khi đó, hai tác giả trên chứng minh được, biên \Gamma thuộc lớp C^{k, 1}

+) khi 0\le s\le 1/2 thì H^s_0(\Omega)=H^s(\Omega),

+) khi 1/2<s\le k+1 thì

H^s_0(\Omega)=\{u\in H^s(\Omega)|\; \gamma(D^\beta u)=0, \forall |\beta|\le s-1/2\}.

3 thoughts on “Định lý vết

  1. Pingback: Định lý ngược định lý vết | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  2. Pingback: Lấy vết hàm thuộc W^{1, p} – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s