Định lý nhúng

Trong bài giảng “Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev” tôi đã đề cập đến một số Định lý nhúng sau.

+) W^k(\Omega)\subset W^l(\Omega)\subset L^2(\Omega)

khi k, l \in \mathbb Z_+, k>l\Omega là một tập mở trong \mathbb R^n,

hay khi \Omega=\mathbb R^n, k, l\in\mathbb R, k>l>0.

Ở đây có lưu ý khi \Omega=\mathbb R^n, l\in\mathbb Z_+ ta có hai chuẩn sau tương đương

||u||_l=(\sum\limits_{|\alpha|\le l}\int\limits_{\mathbb R^N}|D^\alpha u(x)|^2dx)^{1/2}

||u||_{W^l}=(\int\limits_{\mathbb R^N}(1+||\xi||^2)^{l}|\hat{u}(\xi)|^2d\xi)^{1/2}.

Trong bài này ta quan tâm đến hai câu hỏi sau:

-) Khi l là số thực, \Omega là miền mở thì không gian Sobolev được xây dựng như nào? Lúc đó Định lý nhúng được phát biểu như nào?

-) Ngoài Định lý nhúng như trên còn Định lý nhúng nào?

Trước hết ta trả lời câu hỏi đầu. Ta có hai cách xây dựng như sau.

Cách thứ nhất, không gian Sobolev

H^l(\Omega)=\{U|_\Omega, U\in W^l(\mathbb R^n)\}

với chuẩn

||u||_{H^l}=\inf\limits_{U|_\Omega=u} ||U||_{W^l}.

Với cách này ta có Định lý nhúng như trên với bất kỳ tập mở \Omega.

Cách thứ hai, ta dùng nửa chuẩn Gagliardo

[u]_{s}=\Big(\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \dfrac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{n+2s}}dxdy\Big)^{1/2}

trong đó s=\{l\} phần lẻ của số thực l.

Với số không âm l ta định nghĩa không gian Sobolev W^l(\Omega) trên tập mở \Omega gồm các hàm thoả mãn

||u||_{l}=||u||_{[l]}+[u]_{\{l\}}.

Lúc này ta cũng có Định lý nhúng, khi \Omega là tập mở bất kỳ, trong các trường hợp

-) 0\le [l]\le l< k<[l]+1,

-) 0\le l<l+1\le k.

Có phản ví dụ chỉ ra

W^1(\Omega)\not\subset W^s(\Omega) với s\in (0, 1).

Khi \Omega có biên Lipschitz thì

W^k(\Omega)=H^k(\Omega).

Từ đó ta lại có các Định lý nhúng như ban đầu.

Giờ ta chuyển sang câu hỏi thứ hai. Ngoài các Định lý nhúng trên ta còn có các Định lý nhúng Sobolev, nhúng không gian Sobolev vào không gian L^p hay không gian C^{k, \alpha}.

Để có các Định lý nhúng trên chỉ trừ hai phép nhúng cho các không gian Sobolev W^s(\Omega) ta cần chứng minh một số bất đẳng thức phức tạp, còn lại khá hiển nhiên từ công thức chuẩn. Để có các Định lý nhúng Sobolev ta cần các bất đẳng thức Sobolev. Tôi sẽ đưa ra các bất đẳng thức mà không đưa chứng minh chi tiết. Chi tiết bạn đọc có thể tham khảo trong bài

http://arxiv.org/pdf/1104.4345v3.pdf

Ta chỉ xét trường hợp s\in (0, 1]\Omega là miền mở có biên Lipschitz trong \mathbb R^n.

Khi 2s<n ta có bất đẳng thức

\Big(\int\limits_{\mathbb R^n} |u(x)|^{2*}dx\Big)^2\le C\int\limits_{\mathbb R^n}\int\limits_{\mathbb R^n} \dfrac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{n+2s}}dxdy

trong đó 2*=\dfrac{2n}{n-2s}, s\in (0, 1),

hay khi s=1

\Big(\int\limits_{\mathbb R^n}|u(x)|^{2*}dx\Big)^2\le C\int\limits_{\mathbb R^n}|Du(x)|^2dx,

trong đó |Du(x)|^2=\sum\limits_{j=1}^n|\frac{\partial u(x)}{\partial x_j}|^2.

Từ đó ta có Định lý nhúng

W^s(\Omega) \subset L^p(\Omega) khi p\in [2, 2*].

Nếu thêm giả thiết \Omega bị chặn Định lý nhúng trên đúng khi p\in [1, 2*].

Khi 2s=n thì 2*=\infty nên ta có Định lý nhúng trên với p\in [2, \infty). Nếu thêm \Omega bị chặn thì ta có Định lý nhúng với p\in[1, \infty).

Khi 2s>n ta có bất đẳng thức

\sup\limits_{x\in\Omega}|u(x)|+\sup\limits_{x, y\in\Omega\atop x\not=y}\dfrac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}\le
\le C((\int\limits_{\Omega}|u(x)|^2dx)^{1/2}+(\int\limits_{x\in\Omega}\int\limits_{y\in\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{n+2s}}dxdy)^{1/2}),

trong đó \alpha=\dfrac{2s-n}{2}, s\in(0, 1),

hay khi s=1 ta có bất đẳng thức

\sup\limits_{x\in\Omega}|u(x)|+\sup\limits_{x, y\in\Omega\atop x\not=y}\dfrac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}\le
\le C((\int\limits_{\Omega}|u(x)|^2dx)^{1/2}+(\int\limits_{x\in\Omega}|Du(x)|^2dx)^{1/2}).

Khi đó ta có Định lý nhúng

W^s(\Omega)\subset C^{0, \alpha}(\Omega).

Các bất đẳng thức trên đều cho chuẩn dùng đạo hàm và nửa chuẩn Gagliardo. Nếu ta dùng chuẩn có biến đổi Fourier thì các bất đẳng thức sẽ như nào để có Định lý nhúng? Bạn đọc thử tìm hiểu câu hỏi này xem sao?

3 thoughts on “Định lý nhúng

  1. datuan5pdes

    Trả lời câu hỏi cuối cho ta cách chứng minh khác, ở đó dùng biến đổi Fourier, cho các Định lý nhúng. Cụ thể như sau.

    Khác với trong bài, ta chỉ giới hạn s>0\Omega=\mathbb R^n.

    Khi đó với 2s<n2<p< \dfrac{2n}{n-2s} ta các bất đẳng thức sau.

    + Bất đẳng thức Hausdorff-Young:

    ||u||_{p}\le C_p||\hat{u}||_{p'}

    với p'=\dfrac{p}{p-1},

    + Sử dụng bất đẳng thức Holder cho f(\xi)=(1+||\xi||^2)^{-sp'/2}, g(\xi)=(1+||\xi||^2)^{sp'/2}|\hat{u}(\xi)|^{p'} với cặp số mũ tương ứng \dfrac{2}{2-p'}\dfrac{2}{p'}

    ||\hat{u}||_{p'}^{p'}\le (\int\limits_{\mathbb R^n}(1+||\xi||^2)^{-\frac{sp'}{2-p'}}d\xi)^{\frac{2-p'}{2}}\times ||u||_{W^s}^{\frac{p'}{2}}.

    Chú ý 2<p<\dfrac{2n}{n-2s}
    nên
    \int\limits_{\mathbb R^n}(1+||\xi||^2)^{-\frac{sp'}{2-p'}}d\xi<+\infty.

    Từ đó ta có

    ||u||_p\le C_p ||u||_{W^s}.

    Khi 2s<np=\dfrac{2n}{n-2s} ta có thể nghĩ đến việc cho p ở phần chứng minh trên tăng đến \dfrac{2n}{n-2s}. Tuy nhiên lúc đó hằng số C_p lại tiến ra vô cùng! Liệu ta có còn bất đẳng thức như trên cho trường hợp này không? Câu trả lời: có! Cách tiếp cận không đi qua bất đẳng thức Hausdorff – Young trực tiếp như trên. Bạn đọc có thể tham khảo chi tiết

    http://wiki.math.toronto.edu/TorontoMathWiki/images/8/8e/Sobolev_Embedding.pdf

    Khi 2s=n2<pn, áp dụng bất đẳng thức Holder có

    ||\hat{u}||_1\le C||u||_{W^s}.

    Như vậy, theo Riemann-Lebesgue:

    +) u\in L^\infty\cap C;

    +) ||u||_{\infty}\le C||u||_{W^s};

    +) \lim\limits_{||x||\to\infty}u(x)=0.

    Hơn thế nữa chú ý

    u(x)-u(y)=C\int\limits_{\mathbb R^n}(e^{ix\xi}-e^{iy\xi})\hat{u}(\xi)d\xi.

    Với chú ý trên và đánh giá khéo léo sẽ dẫn đến

    khi 0<2s-n<2 thì

    |u(x)-u(y)|\le C|x-y|^\alpha||u||_{W^s}

    với \alpha=s-n/2.

    Chi tiết các bạn có thể tham khảo

    http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/lipschitz_sobolev.pdf

  2. Pingback: Định lý nhúng – Hàm lũy thừa – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s