Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển

Trong bài
https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/08/19/khong-gian-bat-bien-voi-phep-dich-chuyen/
tôi đã giới thiệu sơ qua không gian bất biến với phép dịch chuyển. Bài này tôi quan tâm đến các toán tử giao hoán với phép dịch chuyển. Trong bài giảng “Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev” tôi đưa ra Định lý sâu sắc của L. Schwartz:

Ánh xạ tuyến tính liên tục L từ \mathcal D vào \mathcal E, giao hoán với phép dịch chuyển

khi và chỉ khi

nó có dạng tích chập với một hàm suy rộng T\in \mathcal D', nghĩa là

Tf=g*f, f\in\mathcal D.

Đây cũng là hướng mà J. F. Colombeau xây dựng lớp hàm suy rộng Colombeau, xem
https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/12/26/ham-suy-rong-colombeau/.

Dưới đây tôi quan tâm đến những chuyện cụ thể hơn: các toán tử giao hoán với phép dịch chuyển trong các không gian đơn giản hơn.

Ta bắt đầu từ ánh xạ tuyến tính trong không gian \ell_2(\mathbb Z_N) các dãy số phức, tuần hoàn chu kỳ N. Mỗi phần tử x\in\ell^2(\mathbb Z_N) là hàm x:\mathbb Z\to\mathbb C tuần hoàn chu kỳ N, nghĩa là x(n)=x(n+N), \forall n\in\mathbb Z. Ánh xạ tuyến tính A: \ell_2(\mathbb Z_N)\to \ell_2(\mathbb Z_N) được gọi là giao hoán với phép dịch chuyển nếu

A\tau_m=\tau_mA, \forall m\in\mathbb Z,

trong đó phép dịch chuyển (\tau_mx)(n)=x(n-m).

Trên không gian \ell_2(\mathbb Z_N) ngoài các phép toán tuyến tính trên trường phức còn có các phép toán:

+ phép nhân thông thường: (xy)(n)=x(n)y(n),

+ tích chập: (x*y)(n)=\sum\limits_{j=0}^{N-1}x(n-j)y(j),

+ biến đổi Fourier rời rạc: \hat{x}(n)=\sum\limits_{j=0}^{N-1}x(n)e^{-2\pi i j n/N}

và biến đổi Fourier ngược rời rạc \breve x(n)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{j=0}^{N-1}x(n)e^{2\pi i j n/N}.

Ta cũng có một số tính chất quen biết như trong hàm suy rộng:

+) (\hat{x})\breve{}=(\breve x)\hat{}=x;

+) (\tau_k x)\hat{}(n)=e^{-2\pi i k n/N}\hat{x}(n);

+) (x*y)\hat{}=\hat{x}\hat{y}.

Đặc biệt ta có tính giao hoán với phép dịch chuyển của phép tích chập:

(\tau_k x)*y=\tau_k(x*y), \forall k\in\mathbb Z.

Nói cách khác, cố định y\in \ell_2(\mathbb Z_N) ta xác định ánh xạ tuyến tính

T_y:\ell_2(\mathbb Z_N)\to \ell_2(\mathbb Z_N)

bởi T_y(x)=x*y.

Khi đó ta nói ánh xạ T_y là toán tử tích chập với y. Toán tử tích chập T_y giao hoán với phép dịch chuyển!

Tiếp theo, giống như Định lý của L. Schwartz đưa ra đầu bài viết, ta sẽ chứng minh chỉ có toán tử tích chập mới là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển. Cụ thể hơn, giả sử T: \ell_2(\mathbb Z_N)\to\ell_2(\mathbb Z_N) là toán tử tuyến tính giao hoán với phép dịch chuyển. Ta sẽ đi tìm y\in\ell_2(\mathbb Z_N) để T=T_y.

Để ý rằng không gian \ell_2(\mathbb Z_N) là không gian N-chiều với cơ sở

e_j, j=0, 1, \dots, N-1

trong đó e_j(n)=1 khi n=j+mN, m\in\mathbb Ze_j(n)=0 trong các trường hợp khác.

Hai ánh xạ tuyến tính bằng nhau khi chúng bằng nhau trên cơ sở. Do đó ta cần tìm y để

Te_j=e_j*y, \forall j=0, 1, \dots, N-1.\;\;\;(1)

Lại nhớ rằng T, T_y giao hoán với phép dịch chuyển, e_j=\tau_j e_0\tau_j:\ell_2(\mathbb Z_N)\to\ell_2(\mathbb Z_N) là một đẳng cấu nên

có (1) khi và chỉ khi

Te_0=e_0*y.

(e_0*y)(n)=\sum\limits_{j=0}^{N-1}e_0(n-j)y(j)=y(n) hay e_0*y=y, do đó

T=T_y khi và chỉ khi y=Te_0.

Vậy toán tử T: \ell_2(\mathbb Z_N)\to \ell_2(\mathbb Z_N) giao hoán với phép dịch chuyển khi và chỉ khi T là toán tử tích chập với Te_0.

Phần tử e_0 còn được gọi là hàm Dirac trong \mathbb Z_N, và cũng được ký hiệu \delta.

Lại để ý từ các tính chất của các phép toán ta có

x*y=((x*y)\hat{})\breve{}=(\hat{x}\hat{y})\breve.

Khi đó, toán tử tích chập với y còn là toán tử có dạng

T_y x= x*y=(\hat{y}\hat{x})\breve.

Toán tử dạng này được gọi là toán tử nhân Fourier (Fourier multiplier operator) với nhân m=\hat{y}.

Trước khi chuyển sang các trường hợp khác, lưu ý \ell_2(\mathbb Z_N) là không gian hữu hạn chiều nên ánh xạ tuyến tính đương nhiên liên tục, để kiểm tra tính đúng đắn của các phép toán trong \ell_2(\mathbb Z_N) ta chỉ cần xem tính tuần hoàn.

Giờ ta chuyển sang toán tử tuyến tính bị chặn trong \ell_1(\mathbb Z). Do với x, y\in\ell_1(\mathbb Z)

||x||_1=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|x(n)|<+\infty||x||_\infty=\sup_{n\in\mathbb Z}|x(n)|\le ||x||_1<+\infty,

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}\sum\limits_{j\in\mathbb Z}|x(n-j)y(j)|=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|x(n-j)y(j)|=||x||_1||y||_1,

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|x(n)y(n)|\le ||x||_\infty||y||_1.

Do đó các phép toán

+) phép nhân: (xy)(n)=x(n)y(n),

+) tích chập: (x*y)(n)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}x(n-j)y(j),

là các phép toán xác định trên \ell_1(\mathbb Z).

Còn biến đổi Fourier

\hat{x}(\theta)=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}x(n)e^{in\theta}

là ánh xạ đi từ \ell_1(\mathbb Z) vào L^\infty[-\pi, \pi].

Lưu ý biến đổi ngược Fourier

\breve{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(\theta)e^{-in\theta}d\theta

không đi từ L^\infty[-\pi, \pi] vào \ell_1(\mathbb Z). Bạn đọc có thể xem

https://datuan5pdes.wordpress.com/2009/08/26/bi%E1%BA%BFn-d%E1%BB%95i-fourier-trong-khong-gian-lp/#comment-132

Tuy nhiên với x\in\ell_1(\mathbb Z) ta có

chuỗi \sum\limits_{j\in\mathbb Z}x(j) e^{i(j-n)\theta} hội tụ đều trên [-\pi, \pi].

Do đó

(\hat{x})\breve{}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \sum\limits_{j\in\mathbb Z}x(j)e^{2\pi i(j-n)\theta}d\theta
=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\int\limits_{-\pi}^\pi x(j)e^{2\pi i(j-n)\theta}d\theta=x(n)

hay (\hat{x})\breve{}=x.

Như vậy, biến đổi Fourier \hat{}: \ell_1(\mathbb Z)\to L^\infty[-\pi, \pi] là đơn ánh, không là toàn ánh.

Ngoài ra ta cũng có

+) (\tau_k x)*y=\tau_k(x*y), \forall k\in\mathbb Z,

+) (x*y)\hat{}=\hat{x}\hat{y}.

Với các tính chất như trên, bạn đọc thử tự chứng minh xem:

Toán tử tuyến tính bị chặn T trong \ell_1(\mathbb Z) giao hoán với phép dịch chuyển khi và chỉ khi nó là tích chập với y=T\delta\in\ell_1(\mathbb Z). Trong đó hàm Dirac \delta xác định trên \mathbb Z bởi \delta(n)=1 khi n=0\delta(n)=0 khi n\not=0.

Lúc đó T cũng là toán tử nhân Fourier với nhân m=\hat{y}, y\in \ell_1(\mathbb Z).

Mọi sự dường như vẫn giống trường hợp dãy tuần hoàn. Ta tiếp tục chuyển sang toán tử tuyến tính bị chặn trong \ell_2(\mathbb Z). Trong \ell_2(\mathbb Z) biến đổi Fourier có tính chất đẹp:

+) biến đổi Fourier \hat{}: \ell_2(\mathbb Z)\to L^2[-\pi, \pi] là đẳng cấu,

– bảo toàn chuẩn (đẳng thức Plancherel)
||x||_2^2=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|x(n)|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi |\hat{x}(\theta)|^2d\theta=||\hat{x}||_2^2;

– bảo toàn tích vô hướng (đẳng thức Parseval)
\langle x, y\rangle=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}x(n)\overline{y(n)}=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \hat{x}(\theta)\overline{\hat{y}(\theta)}d\theta=\langle \hat{x}, \hat{y}\rangle.

Tuy nhiên phép toán nhân và phép tích chập nói chung không còn xác định trên \ell_2(\mathbb Z), mặc dù

|x*y(n)|\le ||x||_2||y||_2\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|x(n)y(n)|\le ||x||_2||y||_2.

Ta chỉ có

+) khi x\in\ell_2(\mathbb Z), y\in\ell_1(\mathbb Z) thì x*y\in\ell_2(\mathbb Z),

||x*y||_2\le ||x||_2||y||_1;

+) khi x\in\ell_2(\mathbb Z), y\in \ell_\infty(\mathbb Z) thì xy\in\ell_2(\mathbb Z),

||xy||_2\le ||y||_\infty^{1/2}||x||_2.

Do đó:

+ với mỗi y\in\ell_1(\mathbb Z) ta có toán tử tích chập với y là toán tử tuyến tính bị chặn và giao hoán với phép dịch chuyển trong \ell_2(\mathbb Z);

+ với mỗi m\in L^\infty[-\pi, \pi] ta có toán tử nhân Fourier với nhân m là toán tử tuyến tính bị chặn và giao hoán với phép dịch chuyển trong \ell_2(\mathbb Z).

Do biến đổi Fourier đi từ \ell_1(\mathbb Z) vào L^\infty[-\pi, \pi] nên toán tử tích chập với y\in\ell_1(\mathbb Z) cũng là toán tử nhân Fourier với nhân m\in L^\infty[-\pi, \pi]. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng!

Người ta đã chứng minh được rằng toán tử tuyến tính giao hoán với phép dịch chuyển trong \ell_2(\mathbb Z) thì nó là toán tử nhân Fourier với nhân m\in L^\infty[-\pi, \pi]. Khi đó nó là toán tử tích chập với y\in \ell_2(\mathbb Z)\hat{y}\in L^\infty[-\pi, \pi].

Với mỗi 1\le p\le +\infty ta ký hiệu M^{(p)} là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và giao hoán với phép dịch chuyển trong \ell_p(\mathbb Z). Khi đó ta có

+) M^{(1)}=\{ Toán tử tích chập với y|\; y\in \ell_1(\mathbb Z)\}
=\{ Toán tử nhân Fourier với nhân m|\; m\in (\ell_1(\mathbb Z))\hat{}\;\};

+) M^{(2)}=\{ Toán tử tích chập với y|\; y\in \ell_2(\mathbb Z)\hat{y}\in L^\infty[-\pi, \pi]\}
=\{ Toán tử nhân Fourier với nhân m|\; m\in L^\infty[-\pi, \pi]\}.

Ta có

M^{(1)}\subset M^{(p)}\subset M^{(2)} khi 1<p<2.

Bằng cách xét đối ngẫu người ta chứng minh được

M^{(p)}=M^{(q)} với 1<p, q<+\infty\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1.

Không khó khăn để thấy M^{(1)}\subset M^{(\infty)}. Tuy nhiên có toán tử T\in M^{(\infty)} không là toán tử tích chập. Thật vậy, xét toán tử trung bình

Tx(n)=\lim\limits_{N\to\infty}\dfrac{1}{2N}\sum\limits_{j=-N}^N x(j)

xác định trên không gian con của không gian \ell_\infty(\mathbb Z) sao cho giới hạn trên tồn tại. Dùng Định lý Hahn-Banach thác triển toán tử T lên toàn không gian \ell_\infty(\mathbb Z). Khi đó T: \ell_\infty(\mathbb Z)\to \ell_\infty(\mathbb Z) là toán tử tuyến tính, bị chặn và giao hoán với phép dịch chuyển. Tuy nhiên trên không gian

c_{00}=\{x=(x_n)_{n\in\mathbb Z}|\; tất cả, trừ ra một số hữu hạn, các chỉ số nx(n)=0\}\subset \ell_\infty(\mathbb Z)

Tx=0, \forall x\in c_{00}.

Ngoài ra với x(n)=1, \forall n\in\mathbb Z ta có Tx=x\not=0.

Như vậy T không thể là toán tử tích chập!

Trường hợp toán tử trong không gian L^p[-\pi, \pi], L^p(\mathbb R) ta cũng có kết quả khá giống như trên.

2 thoughts on “Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển

  1. datuan5pdes

    Như đã biết trong bài

    https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/01/02/ham-suy-r%E1%BB%99ng-tu%E1%BA%A7n-hoan-tren-d%C6%B0%E1%BB%9Dng-th%E1%BA%B3ng-chu%E1%BB%97i-fourier/#more-920

    họ các toán tử dịch chuyển \{T_h\}_{h\in\mathbb R} trong không gian các hàm suy rộng \mathcal D' lập thành một nhóm.

    Tương tự ta cũng có họ các phép dịch chuyển \{\tau_k\}_{k\in\mathbb Z} trong không gian dãy \ell_p(\mathbb Z) lập thành một nhóm:

    +) \tau_0=Id,

    +) \tau_{k}\tau_l=\tau_l\tau_k=\tau_{k+l},

    +) \tau_{-k}=(\tau_k)^{-1}.

    Ngoài ra, \tau_{-k}:\ell_q(\mathbb Z)\to\ell_q(\mathbb Z) là toán tử liên hợp của \tau_k:\ell_p(\mathbb Z)\to \ell_p(\mathbb Z) với \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1, 1<p<\infty.

    Điều này dẫn đến toán tử tuyến tính bị chặn T:\ell_p(\mathbb Z)\to \ell_p(\mathbb Z) giao hoán với phép dịch chuyển khi và chỉ khi toán tử liên hợp T':\ell_q(\mathbb Z)\to \ell_q(\mathbb Z) giao hoán với phép dịch chuyển.

    Trong bài viết chưa mô tả chi tiết tập M^{(p)}, 1<p<2. Ta mới chỉ biết

    M^{(p)}\subset \{ toán tử tích chập với y\in\ell_p(\mathbb Z)|\; \hat{y}\in\ell_\infty(\mathbb Z)\}.

    Liệu có dấu bằng?

  2. Pingback: Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển (tiếp) | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s